高校物理 導体棒の運動と誘導電流—加速と終端速度を力と電力の両面から調べる｜武蔵野個別指導塾

落下する導体棒の速度ごとの力と発熱を比べ、重力の仕事が続く終端速度へ迫ります。

よくあるのは、高校生が鉛直レール上の棒について、終端速度では加速度が零だから重力のする仕事もなくなると考える場面です。棒はその間も下がっています。重力は下向きに働き、移動も下向きなので仕事は続きます。速度が一定であることと、力が働かないことは別です。

導体棒の運動と誘導電流では、速度が変わると電流が変わり、その電流が棒を押し戻す力も変わります。この連鎖を力のつり合いとエネルギー収支の両方から追うと、終端速度の意味を説明できます。

要点（結論から）

• 誘導電流は速度に比例し、その磁力は運動を妨げます。
• 終端速度では磁力と外力または重力がつり合います。
• 加速度が零でも、移動していれば力の仕事は続きます。

何が変化し、何がつり合うか

出題の一つは、ある瞬間の速度から誘導電流と加速度を求める型です。運動方程式の力はその瞬間の値を使い、重力と磁場から受ける力の向きを区別します。もう一つは、十分時間がたった後の一定速度を求める型です。速度が一定なら加速度は零ですが、電流も重力も零とは限りません。

さらに、重力のする仕事と抵抗の発熱を比較する型があります。速さが増している間は、重力の仕事の一部が運動エネルギーの増加に回ります。一定速度になれば運動エネルギーは増えず、理想化した装置では重力の仕事が抵抗の熱に移ります。この区別は、電力という単位時間あたりの仕事で書くと明瞭です。

速度から電流、電流から力へ

図1のように、鉛直な2本のレールの上端を抵抗でつなぎ、水平な導体棒を接触させます。紙面に垂直で奥向きの一様磁場が装置全体にあります。棒は下向きに動き、レールとの接点は保たれるとします。棒の有効長を l、磁束密度を B、回路全体の抵抗を R、棒の質量を m、下向きの速さを v とします。R は正で一定、導線の抵抗はこの R に含め、自己誘導と摩擦、空気抵抗を無視します。

図1では棒の下降により回路面積が増し、紙面の奥向き磁束が増えます。その増加を妨げるよう、誘導電流は手前向きの磁場をつくる反時計回りです。したがって棒の中では電流が左から右へ流れ、棒が受ける磁力は上向きです。電流の向きを決めるときは磁場の向きそのものでなく、磁束の増減を調べます。

短い時間 Δt に棒が vΔt だけ動いたと考えると、面積の増加は l vΔt、磁束の増加の大きさは B l vΔt です。時間で割れば、その瞬間の誘導起電力の大きさは B l v です。これは速度が変わるときも、十分短い時間で速度をその瞬間の値とみなした関係です。オームの法則から、電流の大きさと棒に働く磁力の大きさは順に次のようになります。

I = B l v / R
F = B l I = B² l² v / R

下向きを正にとると、運動方程式は m a = m g − B² l² v / R です。ここで a は下向きを正とする加速度です。静止から放す直後は v = 0 なので、模型では電流と磁力が零で、加速度は g です。速度が上がれば磁力も増え、加速度は小さくなります。磁力と重力が等しくなる速さを終端速度 vₜ とすると、次の式です。

m g = B² l² vₜ / R
vₜ = m g R / (B² l²)

この式は、初速が終端速度を超える場合も瞬間の力を判定できます。その場合は磁力が重力より大きく、加速度は上向きです。静止からの落下なら下向き加速度が次第に小さくなり、終端速度に近づきます。いつ正確に到達するかを、このつり合いの式だけから求めることはできません。

基本例題：落下中の3つの速さ

質量 0.20 kg、長さ 0.50 m の棒を、磁束密度 2.0 T の一様磁場中で静止から放します。回路全体の抵抗は 2.0 Ω、重力加速度は計算用に 10 m/s² とします。図1と同じ向きと理想化を用います。速さが 0、2.0、4.0 m/s の各瞬間の電流、磁力、加速度と終端速度を求めてください。数値は有効数字2桁、向きも示します。

図2のように、抵抗を上端に置いた回路を考えます。下降する棒の電流は右向き、磁力は上向きです。磁場や抵抗が変わらないので、速さに比例して電流と磁力が増えます。

m g = 0.20 × 10 = 2.0 N
I = 2.0 × 0.50 × v / 2.0 = 0.50 v A
F = 2.0 × 0.50 × I = 0.50 v N
vₜ = 2.0 / 0.50 = 4.0 m/s

例えば 2.0 m/s の行では、合力は下向きに 2.0 − 1.0 = 1.0 N です。質量 0.20 kg に戻すと加速度は 5.0 m/s² です。4.0 m/s の行では上下の力がともに 2.0 N なので、加速度が零と確認できます。電流はそのときも 2.0 A あります。

電力も確かめましょう。2.0 m/s では重力の電力は 2.0 × 2.0 = 4.0 W、抵抗の発熱は 1.0² × 2.0 = 2.0 W です。差の 2.0 W は運動エネルギーの増加率で、合力と速度の積 1.0 × 2.0 と一致します。4.0 m/s では重力の電力も発熱も 8.0 W です。図2の棒が動いている限り、重力の仕事が零にはなりません。

抵抗を変えると終端速度はどう変わるか

標準例題です。質量 0.30 kg、棒の長さ 0.40 m、磁束密度 1.5 T、回路の抵抗 0.60 Ω とし、静止から鉛直下向きに動かします。重力加速度は計算用に 9.6 m/s² とします。先と同じ理想化の下で終端速度、終端時の電流と発熱の電力を有効数字2桁で求め、抵抗を 2倍にした場合の終端速度も答えてください。

m g = 0.30 × 9.6 = 2.88 N
B² l² / R = 1.5² × 0.40² / 0.60 = 0.60
vₜ = 2.88 / 0.60 = 4.8 m/s
Iₜ = 1.5 × 0.40 × 4.8 / 0.60 = 4.8 A
P = 4.8² × 0.60 = 13.824 W ≒ 14 W

終端速度は下向き 4.8 m/s です。電流は棒の中で右向き、発熱は 14 W です。途中の値を丸めずに重力の電力を計算すると 2.88 × 4.8 = 13.824 W で、発熱と一致します。抵抗を 2倍にすると、同じ速さでの電流は半分です。重力とつり合う磁力を得るには速さが 2倍必要なので、終端速度は 9.6 m/s です。

別の見方では、終端時の力の条件 B l Iₜ = m g から、Iₜ = m g / (B l) と直接求められます。抵抗を変えても終端時の電流は同じです。ただしその電流を流す起電力 Iₜ R は変わり、必要な速度も変わります。同じ速さでの電流の比較と、終端時の電流の比較を混ぜないことが重要です。

一定の力で引く場合と電力の別解

発展例題です。水平なレール上の質量 0.50 kg の棒を、レール方向に一定の外力 1.2 N で静止から引きます。磁場はレール面に垂直、磁束密度 0.80 T、棒の有効長 0.50 m、全抵抗 0.40 Ω です。自己誘導、摩擦と空気抵抗を無視します。引く向きを正とし、速さ 2.0 m/s のときの加速度と、終端速度を有効数字2桁で求めてください。

B² l² / R = 0.80² × 0.50² / 0.40 = 0.40
F磁 = 0.40 × 2.0 = 0.80 N
加速度 = (1.2 - 0.80) / 0.50 = 0.80 m/s²
終端速度 = 1.2 / 0.40 = 3.0 m/s

加速度は引く向きに 0.80 m/s²、終端速度は同じ向きに 3.0 m/s です。2.0 m/s では起電力が 0.80 V、電流が 2.0 A、発熱が 1.6 W です。外力の電力 2.4 W と発熱の差 0.80 W は、合力 0.40 N と速さの積です。終端速度では磁力が 1.2 N となり、外力の電力 3.6 W が発熱 3.6 W に一致します。

別解として、終端時に外力の電力と発熱を等置することもできます。速度を v とすると 1.2 v = (0.40 v)² / 0.40 です。ただし v = 0 もこの式を満たします。静止直後は力がつり合わず加速するので、零でない解を選びます。電力がともに零という条件だけでは力のつり合いを判定できないからです。

計測とグラフで模型を試す

学校の指導の下で、磁場のある区間を棒が移動する模型を観察すると考えます。位置を時間ごとに記録し、短い区間の移動距離を所要時間で割って平均速度を出します。抵抗や棒の質量を変えるときは、それ以外の条件をそろえます。磁場が一様である範囲を外れた記録は、上の式と同じ条件のデータとして扱えません。

速度を縦軸、時間を横軸にとると、静止からの落下では曲線の傾きが加速度を表します。速度が増えるにつれて傾きは小さくなり、横ばいに近づきます。グラフの高さは速度であって加速度ではありません。終端速度付近では高さが残っても、傾きは零に近づきます。

測定には時間の読み取り、接点の抵抗の変動、レールと棒の摩擦、磁場のむらが影響します。短すぎる区間では位置と時刻の読み取りのずれが平均速度に占める割合を大きくします。区間を変えて結果の安定性を比べ、繰り返しのばらつきと模型からのずれを分けて考えます。観測した横ばいが磁力と重力だけのつり合いとは限らず、摩擦があれば同じ式で求めた値より小さくなる場合があります。

間違いを力と仕事に戻す

図3のように、終端速度でも重力と磁力はそれぞれ働きます。合力が零という事実から、個々の力が零だと結論することはできません。

誤答「加速度が零だから重力の仕事も零」を調べます。力の合計が零なら運動エネルギーの変化は零ですが、各力の仕事の合計が零という意味です。下降距離を d とすると重力の仕事は m g d、磁力の仕事は -m g d です。回路では対応するエネルギーが熱になります。図3の矢印を残し、重力と移動の向きを見比べて直します。

誤答「磁力は荷電粒子に仕事をしないから発熱しない」も、系の区別が必要です。磁場によるローレンツ力は各荷電粒子の瞬間の速度に垂直で仕事をしません。一方、重力や外力が棒を動かすことでエネルギーを供給し、回路内の電荷を動かして抵抗で熱が生じます。棒全体に働く磁力の機械的な仕事と、個々の電荷に働く磁力の仕事を同じ対象として扱わないでください。

誤答「速さが2倍なら終端速度も2倍」は、瞬間の状態と装置の性質の混同です。固定した装置で速さを変えても、m、g、R、B、l から定まる終端速度は変わりません。まずその瞬間の磁力を求め、重力との大小を比較してください。初速が終端速度を超えれば加速度は上向きです。

自分で確かめる5問

以下は互いに独立した自作の模型です。磁場は面に垂直で一様、回路は閉じており、自己誘導、摩擦と空気抵抗を無視します。答えは指定した向きと有効数字2桁で示してください。

1. 水平レール上の長さ 0.30 m の棒を 3.0 m/s で動かします。磁束密度は 2.0 T、全抵抗は 0.90 Ω です。誘導起電力と電流の大きさ、運動に逆らう磁力を求めてください。
2. 鉛直レール上の質量 0.40 kg、長さ 0.50 m の棒が下向きに 1.0 m/s で動いています。磁束密度 1.0 T、全抵抗 0.50 Ω、計算用の重力加速度 10 m/s² とします。加速度の大きさと向きを求めてください。
3. 質量 0.15 kg、長さ 0.20 m の棒が鉛直に落ちます。磁束密度 3.0 T、全抵抗 0.80 Ω、計算用の重力加速度 9.6 m/s² です。終端速度とそのときの発熱の電力を求めてください。
4. 同一の鉛直装置で磁束密度を 2倍、他の条件を一定にします。終端速度と終端時の電流は元の何倍ですか。比は分数で答えてください。
5. 水平レール上の棒に一定外力 2.0 N が働き、ある瞬間に運動方向へ 3.0 m/s で動いています。その瞬間の磁力の大きさは 0.50 N です。外力の電力、発熱の電力、運動エネルギーの増加率を求めてください。

解答と照合

1. 起電力は 2.0 × 0.30 × 3.0 = 1.8 V、電流は 1.8 / 0.90 = 2.0 A です。磁力は 2.0 × 0.30 × 2.0 = 1.2 N で運動と逆向きです。磁力の電力 1.2 × 3.0 = 3.6 W は、発熱 2.0² × 0.90 = 3.6 W と一致します。

2. 電流は 1.0 × 0.50 × 1.0 / 0.50 = 1.0 A、上向きの磁力は 0.50 N です。重力は 4.0 N なので、加速度は (4.0 − 0.50) / 0.40 = 8.75 m/s²、指定に従い下向き 8.8 m/s² です。丸める前の加速度に質量を掛けると合力 3.5 N に戻ります。

3. 終端速度は 0.15 × 9.6 × 0.80 / (3.0² × 0.20²) = 3.2 m/s で下向きです。終端電流は 3.0 × 0.20 × 3.2 / 0.80 = 2.4 A、発熱は 2.4² × 0.80 = 4.608 W、すなわち 4.6 W です。重力の電力も 0.15 × 9.6 × 3.2 = 4.608 W です。

4. 終端速度は B² に反比例するので 1/4 倍です。終端電流は m g / (B l) なので 1/2 倍です。磁場を2倍、電流を1/2倍にした積 B l I は元と等しく、重力とのつり合いを保ちます。

5. 外力の電力は 2.0 × 3.0 = 6.0 W、発熱は 0.50 × 3.0 = 1.5 W です。増加率は差の 4.5 W です。合力 1.5 N と速さ 3.0 m/s の積も 4.5 W となり、元の力の条件に戻して照合できます。

要点

• 誘導電流は速度に比例し、その磁力は運動を妨げます。
• 終端速度では磁力と外力または重力がつり合います。
• 加速度が零でも、移動していれば力の仕事は続きます。
• 供給された電力は運動エネルギーの増加率と発熱に分かれます。

どこで止まったかを見分ける

電流の向きが決まらないときは、磁束の向きと増減を別々に図に書いてみます。電流の矢印が描けるのに力が逆になるなら、棒を流れる電流と磁場の方向を使って力の向きを確かめます。計算が合っても終端時の仕事を零と答えるなら、速度と加速度をそれぞれ矢印で表すと誤りの場所が見えます。

個別指導では、まず速度が異なる2つの瞬間を選び、各瞬間の電流と力を言葉と式の両方で説明できるかを確かめます。次に仕事の対象と時間を指定し、重力の仕事、磁力の仕事、抵抗の発熱を対応させます。終端速度の式を覚えているかより、力が変わる仕組みからその式を立て直せるかが判断の手がかりです。