高校物理 動く導体棒の誘導起電力—電荷の分離と回路電流を二段階で考える｜武蔵野個別指導塾

開いたレールと閉じたレールを比べ、棒の両端の電位差、電流の向き、外力の仕事から見直す動く導体棒。

よくあるのは、磁場の中でレール上の導体棒を動かす問題で、回路が開いているから棒の電位差も零だと考える場面です。電流が回り続ける道がないことと、棒の両端に電荷が分かれることは別の条件です。まず棒の中の正電荷が受ける力を調べ、次に回路を閉じて電流の通り道を確認しましょう。棒を引く手の仕事がどこへ移るかまで追うと、向きと大きさを同じ図で検査できます。

この話題は、高等学校の物理の「電気と磁気」に含まれる電流と磁界の学習に対応します。ここでは直線の棒が一様な磁場を横切る配置を扱います。

要点（結論から）

• 開回路でも棒に電荷が分離し、十分後に両端の電位差が生じます。
• 垂直配置の起電力は Blv、閉路の電流は全抵抗を使って求めます。
• 電流が流れる棒への磁力は運動を妨げ、一定速度には逆向きの外力が必要です。

何を先に決めるか

出題の一つは開いたレールで棒の端の高電位側を問う型です。回路全体の電流が零でも、動く棒の中では電荷が一時的に移動して端にたまります。十分後の電荷分離から電位差を求めます。もう一つは抵抗でレールを閉じ、電流の方向と棒に働く力を問う型です。端の極性を起点に回路をたどり、電流が受ける磁力を別に調べます。さらに、一定速度で引く外力の仕事と抵抗の発熱を比べる型もあります。

いずれも、図に磁場、棒の速度、棒の向きを先に書きます。磁場は紙面の奥向き、棒は上下、速度は右向きとします。記号 ⊗ は紙面の奥向きを表します。力の方向を正電荷で決めてから、電子の移動方向を考えると、二重に符号を反転する誤りを避けられます。以下ではレールと棒の接触は理想的で、接触が保たれ、棒の速度は非相対論的とします。磁場は棒と回路のある範囲で一様です。

棒の中の電荷を分ける力

図1のように、長さ l の棒が速さ v で右へ動き、磁束密度 B の磁場は紙面の奥を向いています。B、l、v は互いに垂直です。正電荷 q が棒とともに動くと、磁力の大きさは qvB、方向は上です。電子は逆向きに力を受けるため、棒の下側に負電荷が集まり、上側は正に帯電します。

図1のように両端に電荷が分かれると、棒の中には上から下へ電場が生じます。正電荷への電気力は下向きで、上向きの磁力と競います。十分に時間がたって棒に沿う電荷の移動が止まると、電場の大きさ E は qE=qvB より E=Bv です。電場が一様とみなせる理想化では、上端の電位は下端より El=Blv だけ高くなります。これがこの配置の誘導起電力の大きさです。

開回路でも電位差が生じるのは、わずかな電荷の移動で電場ができるからです。初めから電荷が動かないわけではありません。電荷分離が落ち着いた後は棒に沿う電気力と磁力がつり合い、閉路を一周する定常電流はありません。理想的な電圧計は電流を流さずに両端の電位差を示すものとします。現実の計器は有限の抵抗を持つため、接続すればわずかな電流が流れ、理想値からずれることがあります。

レールを抵抗で閉じると、上端から外部回路へ正電荷が流れる向きを電流の向きとできます。回路の中を上端から左へ、抵抗を下へ、下側レールを右へ進み、棒を下から上へ戻ります。紙面では反時計回りです。棒に沿って上向きに流れる電流は、奥向き磁場から左向きの力を受けます。棒の運動を妨げる向きです。棒の位置が右に移り、回路を貫く奥向き磁束が増えることを妨げる向きとしても、同じ電流の向きが得られます。

閉路の自己誘導や電荷分離のごく短い過渡を無視し、抵抗 R が回路全体の抵抗である模型なら、閉じた直後を含めその近似が有効な時点では I=Blv/R です。厳密な切替瞬間の電流を、自己誘導を含む実回路について無条件に断定する式ではありません。速度を一定に保つ外力は右向きで、大きさ F=BIl です。電流による磁力は左向きで、両者がつり合います。

基本例題：開放から接続へ

図2の配置で、棒の長さを 0.50 m、磁束密度を 0.40 T、右向きの一定速度を 3.0 m/s とします。初めレールは開いており、十分後に抵抗 2.0 Ω で閉じます。棒とレールの抵抗、摩擦、自己誘導を無視します。棒の上端と下端のどちらが高電位か、開放時の電位差、閉じた後の電流、一定速度を保つ外力、抵抗の電力を求めてください。数値は有効数字2桁で、向きも答えます。

図2では磁場が奥向き、棒は右向きです。正電荷への磁力は上向きなので、上端が高電位です。開放時の上端と下端の電位差は

Blv = 0.40 × 0.50 × 3.0
    = 0.60 V

閉路をつくると、起電力は外部の抵抗に電流を流します。理想的な導線では電位降下を無視できるので、抵抗の両端にも 0.60 V がかかります。

I = 0.60 / 2.0
  = 0.30 A

電流は棒の中を下から上へ、抵抗を上から下へ流れます。磁力は左向きで、その大きさは

BIl = 0.40 × 0.30 × 0.50
    = 0.060 N

速度を一定にするには、右向きに 0.060 N の外力が必要です。抵抗の電力は I²R=0.30² × 2.0=0.18 W です。外力のする仕事の割合も Fv=0.060 × 3.0=0.18 W で一致します。棒は一定速度なので運動エネルギーは増えず、外力から供給されたエネルギーが抵抗の熱になります。

別解として磁束の変化を使えます。棒が時間 Δt に進む距離は vΔt、回路面積の増加は lvΔt です。磁束の増加の大きさは BlvΔt なので、単位時間あたりの変化は Blv です。電荷への磁力をたどる方法は端の極性を直接示し、磁束の方法は回路全体の誘導を確認します。どちらも棒がレールと接して閉路をつくるという条件を確認して使います。

速度を変えたときの比較

標準例題です。長さ 0.80 m の棒を、奥向きの一様磁場 0.25 T の中で右へ動かします。閉路の全抵抗は 4.0 Ω です。摩擦、棒とレールの抵抗、自己誘導は無視し、外力で速さをそれぞれ 2.0 m/s と 4.0 m/s に保ちます。各場合の起電力、電流、外力、発熱の電力を有効数字2桁で求め、比べてください。

Bl=0.20 T・m なので、2.0 m/s では起電力 0.40 V、電流 0.10 A、外力 0.020 N、電力 0.040 W です。4.0 m/s では起電力 0.80 V、電流 0.20 A、外力 0.040 N、電力 0.16 W です。向きは先の配置と同じで、電流は棒を上へ、外力は右です。速さを2倍にすると起電力、電流、外力は2倍ですが、電力は4倍です。抵抗の電圧を電流に戻すと、0.10 × 4.0=0.40 V、0.20 × 4.0=0.80 V と起電力に一致します。

この比較では、速度を横軸、起電力を縦軸にしたグラフは原点を通る直線です。傾きは Bl であり、傾きが大きいほど同じ速さで生じる起電力は大きくなります。一方、電力と速さのグラフは直線ではありません。P=(Blv)²/R なので、速度が2倍のとき縦の値が4倍になる曲線です。グラフから傾きを読む際には、両軸の単位と、横軸が速度なのか時間なのかを確かめます。時間に対する位置の傾きが速度であることと、速度に対する起電力の傾きが Bl であることは別です。

発展例題です。長さ 0.60 m の棒を奥向き磁場 0.50 T の中で右へ 2.0 m/s で引き、全抵抗 3.0 Ω の閉路をつくります。理想化の条件は同じで、磁力に逆らって 5.0 s 間一定速度で動かします。移動距離、外力の仕事、発熱量を有効数字2桁で求め、エネルギーの出入りを説明してください。

起電力は 0.50 × 0.60 × 2.0=0.60 V、電流は 0.20 A です。棒への磁力は左向きに 0.50 × 0.20 × 0.60=0.060 N ですから、外力は右向きに同じ大きさです。5.0 s の移動距離は 2.0 × 5.0=10 m、外力の仕事は 0.060 × 10=0.60 J です。発熱量は 0.20² × 3.0 × 5.0=0.60 J です。求めた距離を時間で割ると元の速さに戻り、熱と外力の仕事も一致します。

磁力は個々の電荷の速度に垂直に働くため、磁力自体は電荷に仕事をしません。それでも抵抗が熱くなるのは、棒を動かす外力がエネルギーを供給するからです。棒内部での電荷の運動と棒全体の運動を分けて考えると、磁力が仕事をしないことと外力が仕事をすることは矛盾しません。電流がある棒には運動を妨げる力が働き、その力に逆らって棒を進める仕事が回路へ移ります。

測定を考えるときの条件

学校の指導の下で、棒の速さと開放時の電位差を比べる測定を考えます。磁場と棒の長さを一定にし、速さを複数に変えて各値を記録します。電圧計の極性を固定し、棒の運動を逆にしたときの符号も調べると、装置に固有の零点のずれを見分ける助けになります。安全な装置と測定範囲は指導者が選び、ここでは配線や装置の製作を家庭向けに指示しません。

理想模型なら電位差は速度に比例しますが、接触の不安定さ、磁場の場所による違い、速度の読み取り、計器の有限抵抗はずれの原因になります。一直線から外れた点を見て直ちに法則の誤りとするのではなく、速度を一定に保てたか、棒が磁場を横切る向きに動いたかを確かめます。測定点の散らばりと原点からの一方向のずれも区別します。前者は繰り返しのばらつき、後者は零点や接続の影響を調べる手がかりです。

誤答から向きを直す

図3のように開いた状態と閉じた状態を並べると、判断が分かれる位置を見つけやすくなります。開放時に「電流が零だから電位差も零」とする答えは、電流が流れ続ける条件と、電荷分離による電場を混同しています。正電荷への磁力を上へ書き、分離後の電気力を下へ書いてつり合いを立て直します。開放時の電流が零でも、上端と下端の電位は等しいとは限りません。

図3の閉路で「電流の向きは上端から棒の下端へ」とすると、棒内部で正電荷を押し上げる磁力を見落とします。棒の外側では上端から抵抗を通って下端へ進み、棒の内側では下から上へ戻ります。閉路全体を矢印で一周してみると、途中で矢印が途切れる誤りも見つけられます。

さらに「磁力が運動を助ける」とした場合は、上向き電流と奥向き磁場から棒への力を描き直します。右向きの運動を助ける力なら、外力なしで電流と熱が生まれながら棒が加速することになり、エネルギーの出どころが説明できません。反対に、左向きの磁力に逆らう右向きの外力を入れると、その仕事と発熱を照合できます。運動方向を反転した場合は電荷分離、電流、磁力の方向を順に反転し、抵抗による力が常に運動を妨げるか確認します。

自分で確かめる5問

各問とも棒、レール、接触は理想的で、摩擦と自己誘導を無視します。棒は上下、磁場は紙面の奥向き、棒の速度は右向きです。数値は有効数字2桁で答え、電流や力には向きも添えてください。

1. 開放された装置で、棒の長さ 0.30 m、磁束密度 0.20 T、速さ 5.0 m/s です。十分後の棒の両端の電位差と高電位側を求めてください。
2. 別の閉路で、棒の長さ 0.40 m、磁束密度 0.50 T、速さ 6.0 m/s、全抵抗 6.0 Ω です。起電力と電流を求めてください。
3. 別の閉路で、棒の長さ 0.70 m、磁束密度 0.30 T、電流 0.20 A が棒を上向きに流れます。棒への磁力と、一定速度を保つ外力を求めてください。
4. 別の閉路で、全抵抗 5.0 Ω に 0.40 A が 3.0 s 流れます。抵抗の電圧と発熱量を求めてください。
5. 別の装置で、棒の長さ 0.25 m、磁束密度 0.80 T です。開放時の電位差の大きさが 0.80 V になる速さを求めてください。右向きの運動で上端と下端のどちらが高いかも答えてください。

5問の答えと照合

1. 0.20 × 0.30 × 5.0=0.30 V で、上端が高電位です。0.30 V を棒の長さで割ると電場は 1.0 V/m、これは Bv=0.20 × 5.0 に一致します。
2. 起電力は 0.50 × 0.40 × 6.0=1.2 V、電流は 1.2 / 6.0=0.20 A です。棒の中を上向きに流れます。抵抗での電圧降下 0.20 × 6.0=1.2 V が起電力と一致します。
3. 磁力は 0.30 × 0.20 × 0.70=0.042 N で左向きです。一定速度なら外力は右向きに 0.042 N です。二つの力の和が零なので、速度一定という条件に戻ります。
4. 電圧は 0.40 × 5.0=2.0 V、発熱量は 0.40² × 5.0 × 3.0=2.4 J です。電力を電圧と電流の積で求めても 2.0 × 0.40=0.80 W で、3.0 s では 2.4 J です。
5. 速さは 0.80 / (0.80 × 0.25)=4.0 m/s です。上端が高電位です。求めた速さを戻すと 0.80 × 0.25 × 4.0=0.80 V です。

要点を手元に残す

• 開回路でも棒に電荷が分離し、十分後に両端の電位差が生じます。
• 垂直配置の起電力は Blv、閉路の電流は全抵抗を使って求めます。
• 電流が流れる棒への磁力は運動を妨げ、一定速度には逆向きの外力が必要です。
• 理想模型では外力の仕事の割合 Fv と抵抗の発熱の割合 I²R が等しくなります。

つまずきの位置を見分ける

図を描く段階で止まる場合は、紙面の奥を表す記号、速度、棒の向きをそれぞれ指して説明できるか確かめます。向きを正しく描けても開放時の電位差を零とする場合は、電荷が移動し終えるまでの過程を言葉にして、電気力と磁力のつり合いを確認します。式に数値を入れる前に、長さは磁場に垂直な棒の長さか、抵抗は閉路全体の値かを点検します。

個別指導で確かめるなら、開いたときと閉じたときの同じ棒を並べ、電荷、電流、力の矢印を生徒自身に描いてもらいます。最後に電力を二通りで求め、結果が合わなければ電流の通路と外力の向きに戻ります。棒の両端から始めて回路を一周し、仕事の出どころまで説明できれば、式の意味がつながります。