高校物理 磁束変化とレンツの法則—面の法線を固定して誘導電流の向きを決める｜武蔵野個別指導塾

負の磁束が増える場合と減る場合を比べ、面の傾きや磁場の変化から電流の向きを判定する鍵は磁束変化。

よくあるのは、高校生がコイルを貫く磁束の値が負であることを見て、すぐに誘導電流の向きを決める場面です。ところが、負の磁束が零に近づく場合と、さらに負になる場合では、誘導電流の向きが逆になります。まず面の表裏に正の向きを決め、その向きを最後まで変えずに、前後の磁束を比較しましょう。

どの変化が問われるか

問題の出方は大きく3つあります。磁場の強さが変わる問題では、面積と面の向きを固定し、磁束密度の法線方向成分の変化を追います。コイルを傾ける問題では、磁場が一定でも面を貫く成分が変わります。磁束の時間グラフが与えられる問題では、縦軸の値そのものではなく、線の傾きから起電力を読みます。

いずれも最初に、面を貫く向きと回路を一周する向きを対応させます。右手の親指を正の法線方向に向けたとき、残りの指が曲がる向きを電流と起電力の正方向とします。この約束があれば、マイナスの符号を図の向きに戻せます。問題の図を裏返して見たときに時計回りが逆になることにも注意してください。

学習範囲の確認として、磁束の変化による電磁誘導は、高等学校学習指導要領解説の物理にある電流と磁界に関わる内容です。以下では固定した閉回路の磁束と誘導を扱い、コイル自身がつくる磁束の変化は数値計算では無視します。

法線を決めると磁束に符号が付く

平面の面積をS、一様な磁束密度の大きさをB、正の法線と磁場のなす角をθとします。1巻を貫く符号つき磁束Φは、Φ = BS cosθです。単位はWbで、1 T・m² = 1 Wbです。法線は面に垂直な向きであり、磁場と面そのものの角度をθとして入れてはいけません。面との角が与えられたら、法線との角に直してから使います。

図1のように紙面上の輪を手前から見て、手前向きを正の法線とします。輪に沿う反時計回りを正の周回方向に取ると、右手の指の向きと親指の向きが一致します。図の点は手前向きの磁場、丸の中の十字は奥向きの磁場を表します。法線を奥向きに選んでも物理現象は変わりませんが、そのときは正の周回方向も時計回りに変えます。

この式の意味は、磁場に垂直な面へコイルを投影した面積を使うことです。磁場と法線が平行なら貫く量は最大、垂直なら正負を合わせた磁束は零です。角度が90°を超えると磁場は選んだ法線と反対側から貫き、cosθが負になります。磁束は磁場そのものではなく、選んだ面を貫く量です。面の向きが変われば、磁場が一定でも磁束は変わります。

巻数Nの各巻を同じ磁束が貫くとき、時間Δtの間の平均誘導起電力を、正の周回方向に符号を付けて表すと、次のようになります。

平均起電力 ε = -NΔΦ/Δt
ΔΦ = 終わりのΦ - 初めのΦ

これはファラデーの電磁誘導の法則です。各巻で生じる起電力が同じ向きに加わるため、1巻の磁束変化に巻数を掛けます。問題がすでに全巻の磁束の和を与えている場合は、もう一度Nを掛けません。磁束が各巻で異なる場合も、一律にN倍するのではなく各巻の変化を足します。

式の負号はレンツの法則に対応します。抵抗を通る誘導電流がつくる磁場は、原因となる磁束の変化を妨げる向きです。これは元の磁場そのものを常に打ち消すという意味ではありません。磁束が正でも一定ならΔΦは零で、誘導起電力は生じません。負でも増加中なら正の向きの変化を妨げるため、誘導電流は負の法線方向の磁場をつくります。

変化を助ける向きに電流が生じると仮定すると、コイルの向きを変えるなどの原因をさらに助長し、抵抗の発熱を外部からの仕事なしに増やし続けられることになります。実際は変化を起こす側が仕事をし、そのエネルギーが発熱などに移ります。磁力は個々の電荷の速度に垂直で仕事をしませんが、固定コイルで磁場が変わる場合は誘導電場が電荷に仕事をします。磁場を変える装置がそのエネルギーを供給します。

基本例題：負の磁束が零に近づくとき

紙面内の同じ面積の輪を20巻重ねた固定コイルが、抵抗4.0 Ωを含む閉回路をつくっています。各巻の面積は0.040 m²で、紙面の手前を正の法線、手前から見た反時計回りを正の周回方向とします。面に垂直な一様磁場の法線方向成分が、2.0 sの間に一定の割合で -0.30 Tから -0.10 Tへ変化します。コイル自身の磁場と導線の抵抗は無視します。平均起電力と電流を符号つきで有効数字2桁で求め、電流の向きも答えてください。

図2のように磁場は両時刻とも紙面の奥向きですが、その大きさは減少しています。1巻の磁束の前後を計算してから、変化を引き算します。

初めのΦ = 0.040 × (-0.30) = -0.012 Wb
終わりのΦ = 0.040 × (-0.10) = -0.0040 Wb
ΔΦ = -0.0040 - (-0.012) = +0.0080 Wb
ε = -20 × 0.0080/2.0 = -0.080 V
I = -0.080/4.0 = -0.020 A

符号が負なので、電流は手前から見て時計回りです。電流の大きさは0.020 Aです。右手の指を時計回りに曲げると親指は奥へ向き、弱まる奥向きの磁場を補うことがわかります。正の磁束が増えるのを妨げる、という表現でも同じ向きに到達します。

別の確かめ方として、各巻の奥向き磁束の大きさは0.012 Wbから0.0040 Wbへ0.0080 Wb減ります。20巻では合計0.16 Wbの減少なので、2.0 s当たりの起電力の大きさは0.080 Vです。4.0 Ωに0.020 Aを流す電圧は0.080 Vで、求めた値が回路の条件に戻ります。大きさの計算とレンツの法則による向きの判定を分けても、符号つきの計算と一致します。

標準例題：磁束のグラフから傾きを読む

固定した10巻のコイルの各巻に同じ符号つき磁束が貫き、抵抗5.0 Ωの閉回路に接続されています。正の法線は手前、正の周回方向は手前から見た反時計回りです。磁束の時間変化は、時刻0 sで -0.060 Wb、2.0 sで -0.020 Wb、5.0 sで -0.020 Wb、8.0 sで -0.080 Wbです。隣り合う点の間は直線で結ばれます。自己誘導と導線抵抗を無視し、各区間の起電力と電流を符号つきで有効数字2桁で求めてください。折れ曲がる瞬間は求めません。

区間ごとに右端の磁束から左端の磁束を引き、経過時間で割ります。横軸は時刻なので、縦の差を右端の時刻だけで割らないようにします。

0〜2.0 s: ΔΦ/Δt = 0.040/2.0 = +0.020 Wb/s
ε = -10 × 0.020 = -0.20 V、I = -0.040 A
2.0〜5.0 s: ΔΦ/Δt = 0 Wb/s
ε = 0 V、I = 0 A
5.0〜8.0 s: ΔΦ/Δt = -0.060/3.0 = -0.020 Wb/s
ε = +0.20 V、I = +0.040 A

初めの区間は負の磁束が増えるので時計回り、最後は負の磁束が減るので反時計回りです。中央では磁束が -0.020 Wbと非零でも一定なので、電流は流れません。両端の区間は磁束の値こそ異なりますが、傾きの大きさが同じため起電力の大きさも同じです。

答えを時間幅に戻すと、最初の0.20 Vを10巻と2.0 sに対応させた1巻の変化量は0.040 Wbです。最後も0.20 Vを10巻と3.0 sに対応させると0.060 Wbとなり、グラフの端点の差に一致します。抵抗に0.040 Aが流れるときの電圧も0.20 Vです。折れ点ではグラフの左右で傾きが異なるため、その瞬間を片側の直線の傾きとして扱わないことが条件の読み取りになります。

発展例題：傾けた後に磁場を変える

各巻の面積が0.12 m²の30巻コイルを抵抗6.0 Ωの閉回路に接続します。各巻には同じ一様磁場がかかり、自己誘導と導線抵抗を無視します。手前を正の法線、手前から見た反時計回りを正の周回方向とします。初め磁束密度は0.50 Tで、磁場と正の法線の角は60°です。まず磁場を一定に保ち、3.0 sかけて角を120°まで変えます。次に角を120°に固定し、2.0 sかけて磁束密度を0.20 Tまで減らします。各操作の平均起電力と平均電流を符号つき、有効数字2桁で求め、向きを答えてください。電流の瞬間値は角度と時間の関係が与えられていないため求めません。

最初と各操作の終わりの磁束をそれぞれ求めます。cos60° = 1/2、cos120° = -1/2です。

初め: Φ = 0.50 × 0.12 × 1/2 = +0.030 Wb
角度変更後: Φ = 0.50 × 0.12 × (-1/2) = -0.030 Wb
磁場変更後: Φ = 0.20 × 0.12 × (-1/2) = -0.012 Wb
角度変更: ε = -30 × (-0.060)/3.0 = +0.60 V
平均電流 = +0.60/6.0 = +0.10 A
磁場変更: ε = -30 × (+0.018)/2.0 = -0.27 V
平均電流 = -0.27/6.0 = -0.045 A

角度変更の平均電流は反時計回り、磁場変更では時計回りです。後者では磁束密度の大きさが減りますが、法線と反対向きの成分が減るので、符号つき磁束は増えます。磁場の大きさの増減だけで電流を決めず、固定した法線に対する成分へ戻すことが要点です。

場面への逆算も行います。最初の平均起電力0.60 Vを3.0 sの間に30巻で生じさせるには、1巻当たり0.060 Wbの磁束減少が必要で、+0.030 Wbから -0.030 Wbへの変化に合います。次の操作では0.27 × 2.0/30 = 0.018 Wbの増加となり、-0.030 Wbから -0.012 Wbへの差と一致します。それぞれの抵抗の電圧も6.0 Ωと平均電流の積で再現できます。

測定とグラフに含まれるずれ

学校の指導の下で、固定したコイルに対して磁場を変え、時間ごとの誘導起電力を記録する測定を考えます。面積と巻数を控え、正の法線に対応する計器の正方向を先に定めます。同じ向きの磁場を異なる速さで変化させ、同じ磁束の変化量でも所要時間が短い方ほど平均起電力の大きさが増すか比べます。磁場の変化と面の回転を同時に起こすと原因を分けにくいため、一方を固定して比較します。

磁場が面内で一様でなければ、中心の磁束密度に全面積を掛ける近似はずれます。巻線の各位置で磁場が異なる場合も、全巻に同一のΦを仮定できません。計器の零点のずれや時刻の読み取り幅も傾きに影響します。変化前後の差を長い時間幅で測ると読み取り誤差を抑えやすい一方、時間中に向きが反転すれば平均で互いに打ち消されます。平均値が零でも、途中の瞬間値まで零とは限りません。

磁束を縦軸、時刻を横軸に置くと、上り坂は正の磁束変化、下り坂は負の磁束変化です。横線が零以外の高さにあっても傾きは零です。逆に磁束が零を通過する瞬間でも、そこに傾きがあれば起電力は零ではありません。符号だけでなく、軸の単位と各区間の幅まで読んでください。

誤答を変化量から直す

図3のように、初めと終わりがともに負でも、終わりが零に近ければΔΦは正、より負になればΔΦは負です。「磁束が負だから電流は時計回り」と一律に答えると、後者の向きを間違えます。両端の値を並べ、終わりから初めを引いてから負号を付けましょう。右手の対応で答えを図に戻せば、符号を単に記号として処理する誤りも見つかります。

「磁束が大きいほど起電力も大きい」という誤答は、磁束の高さとグラフの傾きを取り違えています。大きな一定磁束の区間では起電力は零です。対して小さな磁束でも急に変化すれば、起電力の大きさは大きくなり得ます。区間の両端を読み、磁束の差と時間の差を別々に書いてください。

「誘導磁場は常に元の磁場と逆」という誤答もあります。元の磁場が弱まるときは、その減少を妨げるため同じ向きの磁場をつくります。強まるときと弱まるときの両方を並べ、どちらも変化を妨げているか確かめます。回路が開いていれば起電力が生じても定常的な周回電流は流れないので、向きの説明で起電力と電流を区別します。

練習：5つの場面で符号を確かめる

次の問題では、各巻の磁束は同じで、回路は閉じ、自己誘導と導線抵抗を無視します。正の法線は手前、正の周回方向は手前から見た反時計回りです。数値を含む答えは有効数字2桁とし、向きも求めてください。各量は問題のための値です。

1. 8巻のコイルで、1巻の磁束が4.0 sの間に -0.050 Wbから -0.010 Wbまで一定の割合で変わります。抵抗は2.0 Ωです。起電力と電流を符号つきで求めてください。
2. 15巻のコイルで、1巻の磁束は3.0 sの間、+0.070 Wbのままです。抵抗は3.0 Ωです。起電力と電流を求め、電流の向きを答えてください。
3. 12巻のコイルで、1巻の磁束が6.0 sの間に+0.080 Wbから+0.020 Wbまで一定の割合で変わります。抵抗は4.0 Ωです。起電力と電流を符号つきで求めてください。
4. 面積0.20 m²の各巻からなる5巻コイルを固定します。正の法線向きの一様磁束密度が0.10 Tから0.40 Tまで5.0 sで一定の割合で増えます。抵抗は3.0 Ωです。起電力と電流を符号つきで求めてください。
5. 1巻の面積が0.10 m²の40巻コイルを、一定の一様磁場0.30 Tの中で動かします。正の法線と磁場の角が0°から90°まで4.0 sで変わります。抵抗は2.0 Ωです。平均起電力と平均電流を符号つきで求めてください。

答えと途中の判断

1. ΔΦ = -0.010 − (-0.050) = +0.040 Wbです。ε = -8 × 0.040/4.0 = -0.080 V、I = -0.080/2.0 = -0.040 Aで時計回りです。逆に0.080 × 4.0/8 = 0.040 Wbとなり、与えられた磁束の増加量に戻ります。抵抗の電圧も0.040 × 2.0 = 0.080 Vです。
2. ΔΦ = 0なのでε = 0 V、I = 0 Aです。電流は流れず、周回の向きはありません。磁束が+0.070 Wbであることと変化量が零であることは両立します。始めと終わりを差し引けば零に戻ります。
3. ΔΦ = +0.020 − (+0.080) = -0.060 Wbです。ε = -12 × (-0.060)/6.0 = +0.12 V、I = +0.12/4.0 = +0.030 Aで反時計回りです。0.12 × 6.0/12 = 0.060 Wbが減少量に一致し、抵抗の電圧も0.030 × 4.0 = 0.12 Vです。
4. 1巻の磁束は初め0.20 × 0.10 = +0.020 Wb、終わり0.20 × 0.40 = +0.080 Wbです。ε = -5 × 0.060/5.0 = -0.060 V、I = -0.060/3.0 = -0.020 Aで時計回りです。0.060 × 5.0/5 = 0.060 Wbの増加を再現し、抵抗の電圧も0.020 × 3.0 = 0.060 Vです。
5. 初めの磁束は0.30 × 0.10 × cos0° = +0.030 Wb、終わりはcos90° = 0より0 Wbです。ε = -40 × (-0.030)/4.0 = +0.30 V、平均電流は+0.30/2.0 = +0.15 Aで反時計回りです。0.30 × 4.0/40 = 0.030 Wbの減少となり、面を貫く成分が初めの値から零になった条件に戻ります。角度の時間変化は与えられていないため、瞬間の電流が常に0.15 Aとは限りません。

覚えておくこと

• 符号つき磁束は、固定した正の法線と磁場の角を使いΦ = BS cosθで表します。
• 誘導起電力は磁束の値でなく変化率から求め、各巻が同じなら平均でε = -NΔΦ/Δtです。
• 右手で法線と周回方向を対応させ、計算の符号を実際の向きに戻します。
• 磁束が非零でも一定なら誘導起電力は零です。
• 電流がつくる磁場は、元の磁束の変化を妨げます。

つまずきの位置を見つける

答えの向きが合わないときは、まず輪の横に正の法線と正の周回方向を書けるかを確かめます。ここが対応していなければ、正しい式を使っても時計回りと反時計回りを逆に読んでしまいます。次に前後の磁束を符号つきで書き、終わりから初めを引けるかを見ます。図は合っているのに式でつまずく場合は、負の値の引き算を数直線に置くと原因が見えます。

個別指導では、同じ負の磁束から出発して、零に近づく場合と遠ざかる場合を説明してもらいます。その後、一定磁束の横線と、零を横切る斜線を比べ、どちらで起電力があるかを理由とともに確かめます。公式を覚えていることに加えて、符号を図へ戻し、逆向きの変化を妨げることまで言葉でつなげられれば、傾きの異なる問題にも判断を移せます。