高校物理 交差する電場と磁場—力のつり合いから速度選別と偏向を説明する｜武蔵野個別指導塾

直進する速さと符号、速度が外れた粒子の偏向、円軌道から比電荷をたどり、力の向きで読む交差場。

よくあるのは、電子が電場と磁場を直進する条件を求め、負の電荷を代入したので速さも負だと答える場面です。電子に働く電気力は電場と反対ですが、磁気力も同じ正電荷の場合と反対になります。2つの力が両方とも反転することを図に戻して確かめると、速さの大きさと運動の向きを分けて考えられます。

何を選別し、何を測るか

交差した電場と磁場の問題には、主に3つの出方があります。第1は、与えられた向きに粒子が直進する速さを求める問題です。電気力と磁気力が反対向きになる配置を確かめ、力の大きさを等しくします。第2は、その速さより速い粒子や遅い粒子が入射した直後にどちらへ曲がり始めるかを問う問題です。粒子の速度が曲がるにつれて磁気力の向きや大きさも変わるため、入射直後の判断と全軌道の判断は区別します。

第3は、電位差による加速と磁場中の円運動から、電荷の大きさと質量の比を求める問題です。速さを選別してから別の磁場に入れる型と、静止から加速して直接磁場に入れる型では、与えられた情報が異なります。どちらも円の半径は軌道の測定量ですが、曲がる向きからわかる電荷の符号と、半径から求める比の大きさを分けます。

粒子どうしの相互作用と重力は無視し、速さは光速に比べ十分小さいものとします。電場と磁場はそれぞれ静的で一様とし、境界付近の乱れも無視します。ここでの配置は学習指導要領の「電気と磁気」のうち電流と磁界に関わる内容です。

2つの力の矢印を同じ粒子に描く

電場 E（ベクトル）の中に電荷 q があると、電気力は qE です。q が正なら電場と同じ向き、負なら反対向きです。磁束密度 B（ベクトル）の中を速度 v（ベクトル）で動く粒子には、速度と磁場の両方に垂直な磁気力が働きます。速度と磁場が直交するとき、その大きさは |q|vB です。ここで v、E、B はそれぞれ速さ、電場の大きさ、磁束密度の大きさで、負になりません。

図1のように、速度を右、電場を上、磁場を紙面の手前に取ります。丸の中の点は手前を向く矢の先の記号です。正電荷には、電気力が上、磁気力が下に働きます。正電荷について磁気力の向きを右手で決めた後、電子では両方の力の矢印を逆にします。

図1では、正電荷の力がつり合うとき、負電荷でも同じ大きさの力が逆向きに並びます。したがって電荷が零でない粒子の直進条件は次のようになります。

|q|E = |q|vB
v = E/B

電荷の符号が消えるのは、両方の力に同じ q が掛かるからです。質量もこのつり合いの式には出ません。ただし、式を暗記して向きの確認を省くことはできません。同じ右向きの入射でも磁場を紙面の奥に反転すると、正電荷の2つの力は上向きにそろい、この配置のままでは正の速さでつり合いません。

電場と磁場が垂直でも、入射速度まで両者に垂直とは限りません。速度が磁場と斜めなら磁気力の大きさは |q|vB sinθ で、θ は速度と磁場のなす角です。磁場に平行な速度成分は磁気力を受けず、上の単純な選別条件をそのまま使えません。直進には力の大きさだけでなく、ベクトルの和が零であることが必要です。

基本例題：電子の直進と入射直後の曲がり方

図2のように、右向きに入る電子に、上向きの一様電場 E = 6.0 × 10⁴ V/m と、紙面の手前向きの一様磁場 B = 2.0 × 10⁻² T を重ねます。電場と磁場は速度に垂直です。電子の電荷の大きさを 1.6 × 10⁻¹⁹ C とし、重力と端効果を無視します。直進する速さと、そのときの各力の大きさを有効数字2桁で求めてください。また、同じ向きに入る速さが 4.0 × 10⁶ m/s の電子は、入射直後に上下どちらへ曲がり始めますか。

図2のように、電子への電気力は下、磁気力は上です。つり合いの条件に単位つきで値を入れます。

v = E/B
  = (6.0 × 10⁴)/(2.0 × 10⁻²)
  = 3.0 × 10⁶ m/s

各力の大きさは電気力から求められます。

|q|E = (1.6 × 10⁻¹⁹)(6.0 × 10⁴)
     = 9.6 × 10⁻¹⁵ N

磁気力も (1.6 × 10⁻¹⁹)(3.0 × 10⁶)(2.0 × 10⁻²) = 9.6 × 10⁻¹⁵ N です。上下の合力が零になり、右向きの初速度は変わりません。磁場の単位を N/(C・m/s) と見ると、E/B の単位は m/s になり、速さとして整合します。

速い電子では電気力は同じですが、磁気力は 1.3 × 10⁻¹⁴ N です。丸める前の値は 1.28 × 10⁻¹⁴ N なので、電気力より大きく、入射直後は上へ曲がり始めます。逆に速さが選別値より小さければ、入射直後は下へ曲がり始めます。正電荷なら両力が反転し、速い粒子の曲がり始めは下です。最初の向きとその後の軌道を混同しないよう、図2の矢印は入射時の力を表しています。

標準例題：選別後の半径から比電荷へ

右向きに進む正のイオンを、上向きの電場 1.2 × 10⁵ V/m と紙面の手前向きの磁場 4.0 × 10⁻² T の選別領域へ入れます。直進して通過した粒子が、次に電場のない領域へ右向きに入り、紙面の手前向きの一様磁場 5.0 × 10⁻² T の中で半径 0.30 m の円弧を描きます。境界で速さは変わらず、重力と端効果は無視します。比電荷 |q|/m を有効数字2桁で求め、曲がる向きも答えてください。

選別領域での速さは、1.2 × 10⁵ ÷ (4.0 × 10⁻²) = 3.0 × 10⁶ m/s です。次の領域には電場がなく、速度に垂直な磁気力が円の中心向きの力になります。半径を r、次の領域の磁束密度を B₂ とすると、運動方程式は次のようになります。

|q|vB₂ = mv²/r
|q|/m = v/(B₂r)
       = (3.0 × 10⁶)/((5.0 × 10⁻²)(0.30))
       = 2.0 × 10⁸ C/kg

入射時の正電荷の磁気力は下向きなので、円の中心は入射点の下側です。答えを場面に戻し、(2.0 × 10⁸)(5.0 × 10⁻²)(0.30) を計算すると選別された速さ 3.0 × 10⁶ m/s に戻ります。式中の磁場は選別用の値と円運動用の値で異なるため、添字を残してから数値を入れることが要点です。

別解として、円運動側の関係から v = (|q|/m)B₂r と書き、選別側の v = E/B₁ と等置しても同じ比になります。この方法は両領域の速さが等しいことを結び目にします。間に加速電場がある場合は速さが変わるので、そのまま等置すると失敗します。磁気力は常にその瞬間の速度に垂直で仕事をしないため、磁場しかない境界なら速さをつなげます。

発展例題：加速電圧と円軌道の関係

正の粒子を静止から 900 V の電位差で加速し、電場のない領域にある紙面の手前向きの一様磁場 3.0 × 10⁻² T に、その磁場と垂直な右向きに入射させます。円軌道の半径は 0.20 m でした。重力と端効果を無視し、非相対論の範囲とします。|q|/m を有効数字2桁で求め、半径が2倍の粒子が同じ電圧で静止から加速され、同じ磁場に垂直に入るときの比を比較してください。

電場のする仕事は運動エネルギーの増加に等しく、初速が零なので |q|V = mv²/2 です。一方、円運動では v = (|q|/m)Br です。2つを組み合わせると次の式が得られます。

2(|q|/m)V = v²
2(|q|/m)V = (|q|/m)²B²r²
|q|/m = 2V/(B²r²)
       = 1800/((3.0 × 10⁻²)²(0.20)²)
       = 5.0 × 10⁷ C/kg

円運動の式に戻すと速さは 3.0 × 10⁵ m/s です。その二乗は 9.0 × 10¹⁰ m²/s² で、2(|q|/m)V と一致します。半径が2倍なら、その比は元の1/4の 1.3 × 10⁷ C/kg です。最後に有効数字2桁へ丸める前は 1.25 × 10⁷ C/kg です。半径が大きい粒子ほど、同じ加速電圧と磁場では比電荷が小さくなります。

この式は初速がある粒子にはそのまま使えません。初めの運動エネルギーも加算しなければ、同じ半径から推定する比がずれます。また、負電荷を加速するには電位の向きを逆にする必要があります。電圧の正負を一律に当てはめず、電場が粒子にした仕事が正かどうかを先に確認します。

装置の読み取りと測定の限界

速度選別器の模型では、入射方向に沿って入口と出口の穴を並べます。穴を通った粒子の軌跡を比べ、電場や磁場を変えたときに直進に近い軌跡がどの条件へ移るかを見る設計です。実験を行う場合は学校の指導の下で、装置の操作と安全上の条件を確かめます。ここでの数値は計算のために作ったもので、装置の実測値ではありません。

例えば磁場 B を一定にして、直進する粒子の速さ v を横軸、電場 E を縦軸に表せば、理想的には E = Bv の原点を通る直線です。傾きは E の増加量を v の増加量で割った値で、磁束密度に対応します。傾きが負になるような並べ方なら、軸に大きさを取ったのか符号つきの成分を取ったのか、また粒子が本当に直進しているのかを調べます。

穴には幅があるため、少し曲がった粒子も通過し得ます。したがって通過の有無だけでは、速さが厳密に E/B だと断定できません。入射方向のずれ、電場の端での乱れ、磁場の一様性、軌道の太さや半径の読み取りも誤差の原因です。磁場を反転したのに電場を直さず通過量が減った場合は、検出器の故障と決める前に力の向きがそろった可能性を調べます。逆に両方を反転すると2つの力はともに反転し、理想的な直進条件は保たれます。

ずれた答えを力の図へ戻す

図3は、電子について符号だけを一方の力に付けてしまう誤りと、その修正を表します。電場の矢印と電気力の矢印は同じものではありません。正電荷の力を先に描き、負電荷なら電気力と磁気力の両方を反転します。

図3の左のように片方だけ反転すると、実際には反対向きの力を同じ向きだと誤認します。右の図では大きさが等しい場合に上下が打ち消し合います。修正の手順は、粒子の電荷を確認し、速度と磁場から正電荷の磁気力を決め、電荷が負なら両力を反転することです。

もう1つの誤りは、電荷 q の負号を速さの値に残すことです。速さは大きさなので負にならず、向きは速度の矢印か成分で表します。たとえば右を正にした速度成分が負なら左向きという意味ですが、それを負の速さとは呼びません。

直進の式を使えない配置もあります。2つの力が同じ向きなら、いくら大きさを等しくしても合力は零になりません。電場を零にした場合は、磁場に垂直な速度を持つ荷電粒子は曲がり始めます。また、磁場が零のときに E/B を計算することはできず、電場が零でなければ直進条件も満たせません。式の分母や向きが成立するかを見ることが、計算の前の点検です。

練習：向きと条件を先に判定する

各問では、粒子間の力、重力、端効果を無視し、電場と磁場は静的で一様とします。速さは光速に比べ十分小さいものとします。数値は自作の計算条件です。答えの数値は指示がある場合を除き有効数字2桁で表してください。

1. 正の粒子が右向きに入る領域で、電場は下向きに 8.4 × 10³ V/m、磁場は紙面の奥向きに 3.0 × 10⁻³ T です。両場と速度は直交します。直進する速さを求め、両力の向きも答えてください。
2. 問1と同じ方向の3つの矢印を持つ別の領域で、電場が 7.2 × 10³ V/m、磁場が 4.0 × 10⁻³ T です。負の粒子が右向きに 1.2 × 10⁶ m/s で入射するとき、入射直後の合力は上向きと下向きのどちらですか。速さの大小を根拠にしてください。
3. 正の粒子が右向きに入ります。電場は上向き、磁場は紙面の奥向きで、どちらも零でありません。正の有限な速さを選べば直進できますか。正電荷に働く2つの力の向きから答えてください。
4. 直進する負の粒子が選別器を出た後、速さを変えずに電場のない磁場へ垂直に入ります。選別時の電場は 4.8 × 10⁴ V/m、磁束密度は 6.0 × 10⁻² T、次の磁束密度は 2.0 × 10⁻² T、円弧の半径は 0.40 m です。|q|/m を求め、磁場が紙面の手前、入射が右向きなら円の中心が上下どちらにあるか答えてください。
5. 静止した正の粒子を 500 V で加速し、磁束密度 5.0 × 10⁻² T の磁場に垂直に入れると半径 0.10 m の円を描きました。|q|/m を求めてください。また、初速が未知である別の粒子に同じ式を適用してよいか、理由を答えてください。

練習の答えと確かめ

1. 正電荷の電気力は下、磁気力は上です。つり合う速さは (8.4 × 10³)/(3.0 × 10⁻³) = 2.8 × 10⁶ m/s です。戻して vB = (2.8 × 10⁶)(3.0 × 10⁻³) = 8.4 × 10³ V/m となり、与えた電場の大きさに一致します。
2. つり合う速さは (7.2 × 10³)/(4.0 × 10⁻³) = 1.8 × 10⁶ m/s です。入射速度はこれより小さいので磁気力が弱く、負電荷の電気力が向く上へ曲がり始めます。vB = 4.8 × 10³ V/m は E より小さく、大小関係を元の条件でも確かめられます。
3. 直進できません。正電荷への電気力は上、右向き速度と紙面の奥向き磁場による磁気力も上です。両者が零でないため、大きさを等しくしても合力は加算されます。電場か磁場の向きを反転すれば、対向する配置へ変更できます。
4. 選別された速さは (4.8 × 10⁴)/(6.0 × 10⁻²) = 8.0 × 10⁵ m/s です。比電荷は v/(Br) = (8.0 × 10⁵)/((2.0 × 10⁻²)(0.40)) = 1.0 × 10⁸ C/kg です。負電荷への磁気力は入射時に上を向き、円の中心も上です。比から v = (1.0 × 10⁸)(2.0 × 10⁻²)(0.40) と戻せば、選別された速さになります。
5. 比は 2V/(B²r²) = 1000/((5.0 × 10⁻²)²(0.10)²) = 4.0 × 10⁷ C/kg です。これから v = (4.0 × 10⁷)(5.0 × 10⁻²)(0.10) = 2.0 × 10⁵ m/s となり、v² = 2(|q|/m)V を満たします。初速が未知なら初めの運動エネルギーを評価できず、この式をそのまま適用できません。

手元に残す4行

電気力と磁気力は、正電荷で向きを決め、負電荷なら両方を反転します。
互いに垂直で力が対向する配置では、直進する速さは E/B です。
選別値から外れた粒子は、入射直後に強い力の側へ曲がり始めます。
磁場中の円運動には |q|vB = mv²/r を使い、加速の条件とつなぎます。

どこで判断が止まったかを見る

式が立たないときは、紙面の手前と奥、速度、電場を別々に指さし、正電荷の力を描けるかを確かめます。正電荷で描けても電子で片方しか反転しなければ、負号の扱いが原因です。力の図が正しいのに負の速さが出る場合は、速さと符号つき速度成分を分けて書き直します。

個別指導では、まず直進する配置と2力が同方向になる配置を並べ、式を使う前に違いを説明してもらいます。次に選別値より速い場合と遅い場合を比べ、最後に磁場が別の値に変わる円運動まで追います。計算が合った場合も、得られた半径や速さを元の装置の条件に戻し、入射方向と単位を確かめます。交差場の選別は、力の向きと大きさを同時に読むところから始まります。