高校物理 磁場中の導線の力—電流の成分と作用反作用から力の向きを整理する｜武蔵野個別指導塾

斜めの導線に働く力を垂直成分から求め、平行電流とコイルの回転を区別してたどる磁場中の導線の力。

よくあるのは、高校生が磁場に斜めに置いた導線について、長さ全体に磁束密度と電流を掛けて答える場面です。導線の向きが変わっても同じ力になるのでしょうか。磁場に平行なら力は零で、垂直なら最大です。その間の角度では、磁場を横切る成分を取り出して考えます。

要点（結論から）

• 力の大きさは、磁場内の長さと垂直成分を用いた BIl sinθ です。
• 向きは磁場と電流を描いてから左手の法則で決めます。
• 平行導線では、相手が作る磁場を使い、同方向なら引力です。

どの向きの何を求めるか

出題の一つは、一定の磁場の中にある直線導線の力です。電流の向き、磁場の向き、導線のうち磁場がある部分の長さを図に記し、角度を確認します。大きさと向きは別々に求めると、符号を扱いやすくなります。

もう一つは、2本の長い平行導線が互いに及ぼす力です。片方の導線が作る磁場を、もう片方の位置で求めてから、その磁場による力を求めます。どちらの磁場がどちらに作用するのかを明示しないと、自分自身が作る磁場まで式に混ぜてしまいます。

矩形コイルでは、向かい合う辺の力が逆向きでも、作用する位置が異なるため回転の傾向が残ります。力の合計と回転させる効果は別の問いです。電流と磁場の方向を反転したとき、各辺の力がどう変わるかも比べます。

磁場中の電流と力は、高等学校の物理の電流と磁界に対応する学習範囲です。以下では静止した導線に定常電流が流れ、指定された磁場が一定である模型を扱います。数値は計算のために作ったもので、測定結果ではありません。

磁場を横切る長さに注目する

磁束密度 B は磁場の強さと向きを表す量で、単位は T です。電流 I の単位は A、磁場内にある直線部分の長さ l の単位は m、力 F の単位は N です。電流の向きと磁場の向きのなす角を θ とすると、力の大きさは次の式です。

F = BIl sinθ

図1のように、電流の向きに沿った長さ l を、磁場に平行な成分と垂直な成分に分けます。垂直な成分の長さは l sinθ です。平行な成分は磁場を横切らず、磁力への寄与はありません。角度を反対向きの電流から測っても、sinθ は補角で同じですが、力の向きは逆になります。

図1では磁場を右向きに描き、導線に沿う電流を右上向きにしています。力は紙面の奥向きです。向きはフレミング左手の法則で、人差し指を磁場、中指を電流に向けたときの親指で決めます。3方向は互いに垂直なので、斜めの導線についても電流の垂直成分を使います。

この式を電荷に働く磁力から見ると、電流を運ぶ電荷の速度のうち磁場に垂直な成分に力が働きます。長さ l に含まれる電荷の個数と、その電荷が単位時間に運ばれる量を結ぶと、電荷の符号を含む流れは電流 I にまとまり、BIl sinθ が得られます。電子が電流と逆向きに動く導体でも、電子の電荷が負なので、導線全体の力の向きは電流の向きで決めた結果と一致します。

この式は一様磁場中の直線部分にそのまま使います。磁場が場所によって変化する場合や導線が曲がる場合には、各部分の力の向きと大きさを考えて合成する必要があります。導線の全長が長くても、その一部しか磁場内になければ、式に入れるのは磁場内の長さです。外から与えた磁場と、その導線自身の磁場も区別します。

磁力は動く電荷の速度と垂直なので、磁力そのものは電荷に仕事をしません。それでも導線が動く装置では、電源が電流を保つ際のエネルギーの出入りを含めて考える必要があります。力が導線に作用することと、磁力が電荷に直接仕事をすることは同じ意味ではありません。

基本例題：斜めの部分に働く力

一様な磁場の磁束密度は 0.40 T で、向きは紙面の右向きです。紙面内にある直線導線のうち長さ 0.50 m が磁場内にあり、2.0 A の定常電流が右上向きに流れます。電流と磁場のなす角は 30° です。導線に働く力の大きさを有効数字2桁の N で、向きを紙面の手前または奥で答えてください。

図2のように、磁場と電流を別の矢印で描きます。sin30° = 1/2 なので、磁場に垂直な長さは 0.25 m です。力の大きさを順に求めます。

F = 0.40 × 2.0 × 0.50 × 1/2

F = 0.20 N

電流の上向き成分に注目し、左手の人差し指を右、中指を上に向けると、親指は紙面の奥を向きます。したがって答えは 0.20 N、紙面の奥向きです。元の条件に戻して、垂直部分 0.25 m に対して 0.40 × 2.0 × 0.25 = 0.20 N と求めても一致します。

図2の力の向きは、電流を逆にすれば紙面の手前に変わります。磁場と電流を両方逆にすれば力は元の向きです。角度を 0° に近づけると垂直成分も零に近づくため、計算値が 0.40 N のまま変わらない答えは、角度の扱いを点検できます。

平行導線と回転するコイル

標準例題：2本の導線の間

十分長い平行な直線導線 A、B の間隔は 0.20 m です。A に 3.0 A、B に 5.0 A の定常電流が同じ向きに流れます。真空中の計算用近似値を μ₀ = 4π × 10⁻⁷ N/A² とし、端の影響を無視します。B の長さ 0.40 m あたりに働く力の大きさを有効数字2桁の N で、向きを A に近づくか遠ざかるかで答えてください。

A が B の位置に作る磁束密度は、長い直線電流の式より次のようになります。

Bₐ = μ₀Iₐ/(2πr)

Bₐ = 3.0 × 10⁻⁶ T

この磁場は B の電流に垂直です。B が受ける力は次の通りです。

F = BₐIᵦl

F = 3.0 × 10⁻⁶ × 5.0 × 0.40 = 6.0 × 10⁻⁶ N

右ねじの法則で A の磁場を描き、左手の法則を B に適用すると、力は A に向きます。同方向の電流は引き合います。A と B を入れ替えると、同じ長さの A が B から受ける力も 6.0 × 10⁻⁶ N で、向きは B 方向です。作用反作用は別の導線に働くので、1本の力を打ち消すために足してはいけません。

別の求め方では、単位長さあたりの力を μ₀IₐIᵦ/(2πr) としてから 0.40 m を掛けます。式は2本の電流を入れ替えても変わらず、等しい長さに働く力が等しいことを確認できます。電流の一方を逆向きにすると力は反発に変わりますが、大きさは同じです。距離を2倍にすれば磁束密度と単位長さあたりの力は半分です。

発展例題：力の対を読む

1巻きの剛体の矩形コイルが一様磁場中にあります。磁場は右向き、コイル面は紙面内で、上下辺は磁場に平行です。左右の辺の長さは 0.30 m、左右辺の間隔は 0.20 m、磁束密度は 0.50 T、電流は 2.0 A です。電流は上辺を右向きに流れます。各辺の力の大きさを有効数字2桁の N で、左右辺の向きは紙面の手前か奥で答えてください。またコイルの中心を通り左右辺に平行な軸のまわりの力のモーメントの大きさを有効数字2桁の N・m で答えてください。軸の摩擦と重力は無視します。

上辺と下辺の電流は磁場に平行または反平行ですから、sinθ = 0 で力は零です。右辺の電流は下向き、左辺は上向きなので、両辺に働く力の大きさはそれぞれ次の通りです。

F = 0.50 × 2.0 × 0.30 = 0.30 N

右辺は紙面の手前、左辺は紙面の奥に押されます。各力の軸からの距離は 0.10 m で、どちらも同じ回転方向に働きます。したがってモーメントは 0.30 × 0.10 + 0.30 × 0.10 = 0.060 N・m です。2つの力の合計は零でも、同じ点に働くわけではありません。

別解では、反対向きの力の間隔 0.20 m に片方の力 0.30 N を掛けます。0.30 × 0.20 = 0.060 N・m と一致します。各辺を元の電流方向に戻して確認すると、右辺と左辺の力は反対向きで、大きさも等しく、並進させる合力は零です。電流を逆にすると回転の向きが逆になります。

コイル面の向きを変えると、力の大きさが同じでも、回転軸から力の作用線までの垂直距離は変わります。この距離が零となる向きでは回転のモーメントも零です。常に面積と力を機械的に掛けるのではなく、どの軸に対する距離かを図に描きます。

測定値とグラフから模型を吟味する

学校の指導の下で、一定の磁場内の導線に流す電流と力の関係を調べる設計を考えます。導線の配置と磁場内の長さ、角度を固定し、電流を変えて力を測ります。電流の向きを逆にした値も測り、磁力の向きに沿った成分を符号付きで記録します。発熱で条件が変わらないよう測定条件にも注意します。

縦軸を力の成分 F、横軸を符号付き電流 I とするなら、理想模型は原点を通る直線 F = Bl sinθ・I です。傾きは Bl sinθ で、単位は N/A です。測定器の零点のずれが一定なら直線の切片に現れ得ます。一方、角度や磁場内の長さの見積もりのずれは傾きに影響します。切片があるという事実だけで原因を一つに決めることはできません。

電流が増えるほど直線から系統的に外れる場合は、導線の温度や位置の変化、磁場の一様性、測定器の範囲を調べます。各点のばらつきが大きい場合は複数回測り、読み取りの幅を比較します。電流を逆にしても同じ向きのずれが残るなら、磁力とは別に働く一定の力や零点を疑えます。十分長い導線の式を短い導線の端付近に適用することも、模型と実際の食い違いの原因になります。

誤答を図から直す

図3のように、導線を磁場と平行に置いた場合と垂直に置いた場合を比べます。どちらも長さ l、電流 I、磁束密度 B が同じなら、垂直な場合の力は BIl ですが、平行な場合は零です。図3の比較は、角度を無視した式が両方に同じ値を与えることへの反例です。

誤答の一つは「斜めでも長さ全体に B と I を掛ける」です。これは導線の磁場に垂直な成分を取り落としています。直すには、磁場と電流の角度を記し、l sinθ を図に描きます。角度が垂直方向から示されている場合は、その角度の余弦に相当することにも注意します。

別の誤答は「向かい合うコイルの辺の力は逆向きなので回転しない」です。合力が零という判断は正しくても、作用線が異なればモーメントは残ります。軸を描き、各力が時計回りか反時計回りかを別々に調べてから足します。

さらに「同方向の電流は引き合う」という結論を、磁場の向きとして覚えると失敗します。右ねじの法則で磁場を先に描き、その場所の電流と磁場から力を決めます。2本の電流が逆向きのときも、同じ手順なら反発を導けます。力を作る磁場の源と、力を受ける導線を記号で分けることが修正の出発点です。

自分で試す5問

各問の数値は自作です。直線部分の磁場は一様、電流は定常とします。大きさは指定の形と単位で、向きは文章で答えてください。

1. 右向きの磁場 0.30 T の中で、長さ 0.40 m の導線に 5.0 A が上向きに流れます。力の大きさを有効数字2桁の N で、向きを紙面の手前か奥で答えてください。
2. 磁場 0.60 T と導線の電流がなす角は 60°、磁場内の長さは 0.20 m、電流は 3.0 A です。力の大きさを根号を含む形の N で答えてください。
3. 長い平行導線の間隔を一定とし、片方の電流を3倍、もう片方を半分にします。単位長さあたりの力の大きさは何倍ですか。正の分数で答えてください。
4. 一様磁場に平行な軸のまわりではなく、その磁場に垂直な軸を考えます。等しい 0.80 N の反対向きの力が、軸からそれぞれ 0.15 m の距離で同じ回転方向に働きます。合力の大きさとモーメントの大きさをそれぞれ有効数字2桁の N、N・m で答えてください。力は軸からの位置に垂直です。
5. 一様磁場中の直線導線で、電流と磁場が直交するときの力が 0.12 N です。磁場と長さを変えず、電流を2倍にし、なす角を 30° にします。新しい力を有効数字2桁の N で答えてください。

答えと途中の確認

1. F = 0.30 × 5.0 × 0.40 = 0.60 N です。上向きの電流と右向きの磁場から、力は紙面の奥です。垂直なので sin90° = 1 を使っています。逆に 0.60/(5.0 × 0.40) = 0.30 T と戻り、磁場の条件に一致します。
2. sin60° = √3/2 なので、F = 0.60 × 3.0 × 0.20 × √3/2 = 0.18√3 N です。垂直配置なら 0.36 N なので、√3/2 倍という結果はその値より小さく、角度の条件に合います。
3. 力は2つの電流の積に比例するので、3 × 1/2 = 3/2 倍です。片方を元の値に戻せば倍率も 1/2 倍に戻り、もう片方だけを変えた場合に一致します。電流の向きを変える操作ではないため、引力か斥力かは変わりません。
4. 反対向きで等しい力の合力は 0 N、モーメントは 0.80 × 0.15 × 2 = 0.24 N・m です。作用線の間隔は 0.30 m なので、0.80 × 0.30 でも元の配置から同じ値が得られます。
5. 電流を2倍にすると力は2倍、角度の係数は 1 から 1/2 に変わります。よって 0.12 × 2 × 1/2 = 0.12 N です。新しい条件から垂直配置へ戻すと、電流を半分にし角度の係数を2倍にするので、元の 0.12 N に戻ります。

要点を手元に残す

• 力の大きさは、磁場内の長さと垂直成分を用いた BIl sinθ です。
• 向きは磁場と電流を描いてから左手の法則で決めます。
• 平行導線では、相手が作る磁場を使い、同方向なら引力です。
• 合力が零でも、作用線が異なれば回転のモーメントが残ります。
• 一様磁場、長い導線、磁場内の長さという条件を先に確かめます。

つまずきの位置を見つける

角度の問題で式が立たないときは、まず図に磁場と電流の矢印を描き、平行成分と垂直成分を別の線で示せるかを確かめます。大きさが合っても向きが逆なら、電流と電子の移動方向を混ぜていないか、紙面の手前と奥の表記が一貫しているかを見ます。

平行導線の問題では、どの導線が磁場を作り、どの導線が力を受けるかを声に出して説明すると、式の B の意味が明確になります。コイルでは、合力と軸まわりのモーメントを別々に書き、回転方向を辺ごとに確かめます。個別指導では、完成した式だけでなく、矢印、成分、作用点を描く途中を確認します。導線の力は、向きと作用する場所をそろえると読み解けます。