高校物理 電流の磁場の重ね合わせ—右ねじと対称性から磁束密度の向きを決める｜武蔵野個別指導塾

逆向きの平行電流がつくる磁場を、導線の間と外側で比べて読み解く電流の磁場の重ね合わせ。

よくあるのは、高校生が紙面に垂直な電流の磁場を紙面の奥へ描くという場面です。電流の向きと、それがつくる磁場の向きは別の矢印です。紙面を貫く導線の周囲では、磁場は紙面内で導線を取り巻きます。まず電流を見てから右手を使い、調べる点での接線を描くと、2本以上の導線でも向きを整理できます。

どこで向きが変わるか

出方の1つは、長い平行導線の間と外側で、各導線による磁束密度を合成する問題です。電流が逆向きなら間では同じ向きですが、外側では反対向きです。距離が異なると大きさも異なるので、矢印を描いてから引き算します。もう1つは、円形電流の中心やソレノイドの内側に別の磁場を重ねる問題です。対称性で向きを決め、同一直線上なら符号つきで加えます。

さらに、合成が零になる位置を探す問題があります。大きさの等式から得た位置が、初めに選んだ領域に入るか確かめます。向きが同じ領域では、正の大きさを等しくしても打ち消しにはなりません。式を解く前の図が、不要な解を防ぎます。

右手が示す円と磁束密度

磁束密度 B は向きと大きさを持つ量です。ここで B（ベクトル）の単位は T です。長い直線導線に定常電流 I が流れ、導線からの垂直距離が r の点では、真空中の磁束密度の大きさは B=μ₀I/(2πr) です。μ₀は真空の透磁率です。有限の導線では端からの距離も関係するため、長さに比べて観測点が端から十分離れる近似で使います。r は導線に沿った距離ではありません。

右手の親指を電流の向きに向け、残りの指が曲がる向きが磁場を取り巻く向きです。図1のように、丸の中の点は紙面の手前へ出る電流、丸の中の十字は紙面の奥へ入る電流を表します。点は矢の先、十字は矢の羽を見た形です。磁場の矢印は各円の接線になります。

図1の左の電流では上側の磁場は左向き、右側では上向きです。電流を反転すると円周方向も反転します。導線を紙面内に描く場合には、磁場が紙面に垂直になる点もあります。記号が電流を表すのか磁場を表すのか、その都度添えることが必要です。

直線導線の式で I を2倍にすれば B は2倍、r を2倍にすれば B は半分です。この比例は実験的な法則を、長い直線という対称性の下で表したものです。導線の周囲では、同じ距離の点は回転で重なり、特別な向きがありません。したがって大きさは半径で決まり、方向は円の接線になります。逆比例の係数は対称性だけでは決まらず、電流と磁場の法則を使って得ます。

半径 R の円形導線に電流 I が流れるとき、中心の磁束密度は B=μ₀I/(2R) です。各部分が中心につくる磁場は円の面に垂直で、右手の指を電流に沿って曲げたときの親指の向きにそろいます。N 回密に巻いた同半径の円形コイルなら、各巻きの寄与を足して N 倍と近似します。中心以外ではこの中心の式をそのまま使えません。

十分長く密に巻いたソレノイドの内部では B=μ₀nI です。n は単位長さ当たりの巻数で、単位は 1/m です。指を巻線の電流に沿わせたとき、親指が内部の磁場を向きます。中央付近で内部の磁場がほぼ一様となる近似で、端付近や外部の値までこの式で決めることはできません。鉄心などがある場合は真空の式を無条件に適用しません。

磁場の強さ H と磁束密度 B は異なる量で、単位もそれぞれ A/m と T です。真空では B=μ₀H の関係があります。問題が求める量を確認し、H の値に単位 T を付けないようにします。学習範囲は高等学校学習指導要領解説の物理にある電流と磁界に対応します。

基本例題：間と外側の比較

真空中に十分長い平行直線導線 A、C を 0.20 m 離して固定します。断面図で A は左、C は右にあり、A に 4.0 A の電流が手前向き、C に 4.0 A の電流が奥向きに流れています。両導線の中点 P と、A の左 0.10 m の点 Q における合成磁束密度の大きさと向きを求めてください。μ₀=4π・10⁻⁷ N/A² とし、答えは有効数字2桁とします。導線の太さと端の影響は無視します。

図2のように、P は各導線から 0.10 m、Q は A から 0.10 m、C から 0.30 m です。P では A による磁場は上向き、C による磁場も上向きです。各寄与は次の値です。

Bₐ=(4π・10⁻⁷)・4.0/(2π・0.10)=8.0・10⁻⁶ T

したがって P では 1.6・10⁻⁵ T、上向きです。Q では A による磁場が下向き、C による磁場が上向きです。C の寄与は A の寄与の 1/3 なので、差を取ります。

B(Q)=8.0・10⁻⁶ − (8.0/3)・10⁻⁶

よって Q では 5.3・10⁻⁶ T、下向きです。計算途中の 8.0/3 は丸めずに使いました。求めた向きを元の2本の矢印に戻すと、Q では近い A の寄与が強く、下向きが残ります。符号の付け方を変えて上向きを負にしても、物理的な向きは同じです。

標準例題：零になる領域

真空中の十分長い平行導線 D、E を 0.30 m 離して置きます。断面で D は左、E は右です。D に 2.0 A の手前向き、E に 6.0 A の奥向きの定常電流を流します。2本を結ぶ直線上で合成磁束密度が零になる点を、D からの距離と左右の向きで答えてください。距離は有効数字2桁とし、導線の太さと端を無視します。

導線の間では両方の磁場が上向きなので零にはなりません。左側と右側では互いに逆向きです。左側で D からの距離を x m とすると E からは x+0.30 m です。共通の μ₀/(2π) を消して、

2.0/x=6.0/(x+0.30)

2.0(x+0.30)=6.0x

x=0.15 m

したがって D の左 0.15 m です。右側では E の方が近く、電流も大きいため E の寄与が必ず勝ちます。右側の距離を y として等式を作る方法でも、正の y は得られません。

答えを元の場面に戻すと、両導線からの距離は 0.15 m と 0.45 m で、電流と距離の比はそれぞれ 2.0/0.15 と 6.0/0.45 です。大きさが等しく、右手で判定した向きが反対なので零です。零点で各導線の磁場が消えているわけではありません。

発展例題：異なる形の電流を合わせる

真空中で、半径 0.10 m の円形導線の中心 O を通り、その面に垂直な軸上に十分長いソレノイドを置きます。円の面とソレノイドの軸は垂直で、O はソレノイド中央付近です。円形導線には O から見て反時計回りに 2.0 A、ソレノイドには O で円形導線の磁場と逆向きになるよう 1.0 A が流れます。ソレノイドの単位長さ当たりの巻数は 10π 回/m です。両者の磁場が互いを変えないとして、O の合成磁束密度の大きさと向きを求めてください。μ₀=4π・10⁻⁷ N/A² とし、有効数字2桁で答えます。

円形導線の寄与は μ₀・2.0/(2・0.10)=4.0π・10⁻⁶ T で、O から見て手前向きです。ソレノイドの寄与は μ₀・10π・1.0=4.0π²・10⁻⁶ T で、奥向きです。後者が大きいので差は 4.0π(π-1)・10⁻⁶ T、約 2.7・10⁻⁵ T の奥向きです。逆向きの寄与を加える際には、大きい方の向きを答えに残します。

別解として手前を正に選ぶと、合成は 4.0π(1-π)・10⁻⁶ T です。負号が奥向きを示します。結果の大きさに円形導線の寄与を加えるとソレノイドの寄与へ戻るため、差と向きを同時に照合できます。両方の式は各装置単独の近似を前提としており、端に近い点や鉄心の影響が無視できない場合は、この計算値をそのまま測定値とはみなせません。

測る計画とグラフの意味

学校の指導の下で、長い直線導線の中央付近を磁気センサーで調べる計画を考えます。電流を一定に保ち、導線からの垂直距離を変えて磁場の成分を読みます。電流を切ったときの背景磁場を別に測り、同じ向きの成分として差し引きます。導線の位置やセンサーの向きがずれると、距離や成分の読みが系統的にずれます。電流による温度上昇で条件が変化することにも注意します。

横軸を 1/r、縦軸を背景を引いた磁束密度の接線方向成分にすれば、理想模型では原点を通る直線で、傾きは μ₀I/(2π) です。横軸を r にした場合は直線ではありません。測定値が原点からずれたとき、背景の引き残し、位置の原点の誤り、導線の有限長などを区別して調べます。直線に近いことは模型を支持しますが、端の影響が完全に零である証明にはなりません。

間違いの矢印を直す

図3は、手前向きの電流に対する磁場を考えるときの点 P を示します。電流そのものを表す点を磁場の向きと取り違え、P の磁場も手前向きと答えるのが1つ目の誤りです。右手の親指を手前に向けると、P では指が上を向くので、紙面内の上向きに直します。

2つ目は、2本の電流が逆向きだから磁場も必ず打ち消すとする誤りです。各導線の回り方を別々に描くと、間では逆向きの電流による接線がそろいます。外側で反対になった場合も、距離と電流が異なれば大きさは等しくありません。向きの判定と大きさの計算を別の段階にします。

3つ目は、磁場の零点を求めるとき、距離を両方とも同じ文字で置く誤りです。各導線から点までの長さを図に記入し、導線間の距離を加減してから式に入れます。解が負なら、負の距離を採用せず、仮定した領域に正の解がないと読み直します。図3のように電流と磁場を別々の記号で示す習慣は、これらの誤りの確認にも役立ちます。

練習問題

以下は真空中の定常電流を扱い、導線の太さと端の影響を無視します。必要なとき μ₀=4π・10⁻⁷ N/A² を使い、数値は有効数字2桁で答えてください。方向が必要な場合は紙面の上下または手前と奥で答えます。

1. 紙面に垂直な長い直線導線に 3.0 A が手前向きに流れます。導線の右 0.050 m の点での磁束密度を求めてください。
2. 左右に 0.40 m 離れた長い平行導線に、左は 1.0 A、右は 3.0 A がいずれも手前向きに流れます。中点の合成磁束密度を求めてください。
3. 左右に 0.60 m 離れた長い平行導線に、左は 3.0 A の手前向き、右は 6.0 A の奥向きの電流が流れます。2本を結ぶ直線上で合成磁束密度が零となる位置を左の導線からの距離と向きで答えてください。
4. 半径 0.20 m、巻数 5 の円形コイルに 0.80 A が流れ、手前から見て時計回りです。中心の磁束密度を求めてください。
5. 十分長いソレノイドの中央付近で、巻数密度が 500 回/m、電流が 0.20 A です。内部の磁束密度を求めてください。巻線電流に沿って右手の指を曲げると親指は紙面の右を向きます。

答えと途中の判断

1. 右手から上向きです。B=(4π・10⁻⁷)・3.0/(2π・0.050)=1.2・10⁻⁵ T です。この値は距離を2倍にした点の値の2倍となり、逆比例と一致します。
2. 中点では左の寄与が上、右の寄与が下です。大きさはそれぞれ 1.0・10⁻⁶ T と 3.0・10⁻⁶ T なので、合成は 2.0・10⁻⁶ T の下向きです。下向きの残りに上向きの寄与を戻すと右の寄与になります。
3. 間は同方向で、右側は強い右の導線に近いため零になりません。左側の距離を x m とすると 3.0/x=6.0/(x+0.60) から x=0.60 m です。左へ 0.60 m の点では両距離が 0.60 m と 1.20 m で、電流と距離の比が等しく向きは反対です。
4. 中心では各巻きの向きが奥向きにそろいます。B=μ₀・5・0.80/(2・0.20)=4.0π・10⁻⁶ T、約 1.3・10⁻⁵ T の奥向きです。1巻の寄与を5倍した値に戻せます。
5. B=μ₀nI=(4π・10⁻⁷)・500・0.20=4.0π・10⁻⁵ T です。約 1.3・10⁻⁴ T、右向きです。巻数密度と電流の積は 100 A/m で、B/μ₀ はこの値に戻ります。

手元に残す要点

• 直線電流の磁場は導線を囲み、各点で円の接線を向きます。
• 逆向きの平行電流では、間の寄与は同方向、外側では逆方向です。
• 合成は向きを含めて行い、零点は距離と領域を吟味します。
• 円形電流は中心、長いソレノイドは中央付近という適用条件を守ります。
• B と H は単位も異なり、真空では B=μ₀H です。

つまずきを見分けるには

最初に、導線1本と観測点1つだけを描き、電流と磁場の矢印を別々に説明できるか見ます。向きは合っても大きさが違う場合には、垂直距離の取り方と、どの公式がどの形に対応するかを確かめます。2本の問題で式だけが合わない場合は、各寄与の矢印と距離を紙面上に戻して、足すか引くかを言葉にします。

個別指導では、解答の負号を消す前に正方向を確認し、零点の候補を元の配置に戻して両寄与を比べます。式、図、言葉のどこで食い違ったかが見えれば、次の配置でも判断をやり直せます。重ね合わせは、それぞれの磁場の向きから始まります。