高校物理 誘電体を入れる操作—電池の接続条件で電荷と電圧の変化を分ける｜武蔵野個別指導塾

極板の半分に誘電体を入れる模型を使い、接続と切断で変わる電荷、電圧、エネルギーをたどる誘電体操作。

よくあるのは、高校生が電池につないだまま誘電体を極板間に入れ、電荷一定として式を立てる場面です。式 Q=CV 自体は正しくても、何が一定かを取り違えると、その後の電圧やエネルギーまで変わります。電池がつながっていれば電荷の通り道があり、切り離されていれば極板に残った電荷が移動できる範囲は限られます。操作の前後を図に分けて考えましょう。

要点（結論から）

• まず操作中に電池が接続されているかを見る。
• 全挿入で容量は κ 倍、接続中は V、孤立後は Q が一定です。
• 幅方向の部分挿入は面積ごとの容量を並列に足します。

操作の条件を読む

出方は主に3つあります。誘電体を極板間に全部入れる前後を比べる型、電池をつないだままか切り離した後かを比べる型、さらに幅方向の一部に入れて容量を求める型です。いずれも最初に装置の状態を決め、次に容量を求め、最後に一定量と Q=CV を使います。エネルギーから先に一定量を決めてはいけません。

平行板の間隔を d、重なり面積を S とし、極板の端の電場の乱れを無視します。空気を真空と同じ誘電率 ε₀ と近似し、誘電体は一様で比誘電率 κ、漏れ電流は無視できるものとします。電池と導線は理想的で、挿入は十分ゆっくり行い、各状態は静電平衡にあるとします。正に帯電する極板の電位を負の極板より高く取り、その正の電荷の大きさを Q、電位差を V とします。負極板の電位を零としても、測る V は両板の電位差です。

学習範囲としては、高等学校の物理の電気と電流に対応する内容です。以下の数値は計算用に作ったもので、測定値ではありません。

分極から容量へ

図1のように、正の極板から負の極板へ向かう電場の中で誘電体が分極します。誘電体内部の正負の電荷がわずかに偏り、表面には極板側の電荷と反対符号の束縛電荷が現れます。この束縛電荷がつくる電場は、極板の自由電荷がつくる電場を弱める向きです。誘電体全体が導線のように自由電荷を運ぶと考えるのではありません。

図1のように正極板の自由電荷を固定して全体に誘電体を入れると、板間の電場の大きさは真空時の 1/κ になります。V=Ed なので電圧も 1/κ です。容量は C=Q/V ですから κ 倍になります。真空時の C₀=ε₀S/d と合わせると、全挿入後は C=κε₀S/d=κC₀ です。これは誘電体の性質と形状で決まる関係で、電池の有無によって容量そのものが変わるわけではありません。

電池をつないだままなら V は電池が一定に保ちます。電場 E=V/d も一定です。容量が κ 倍なら Q=CV により電荷は κ 倍となり、増えた正電荷に対応する電荷が電池を通って運ばれます。電池を切り離してから入れるなら、孤立した各極板の正味の自由電荷は保存されます。このとき Q は一定、V と E はそれぞれ 1/κ です。切断時に極板に残っていた電荷を初期値として使います。

蓄積エネルギーは U=QV/2 です。一定電圧のとき U=CV²/2、一定電荷のとき U=Q²/(2C) を使うと比較しやすくなります。式は同じエネルギーの別表現であり、それぞれの文字を操作中も一定とみなす根拠ではありません。電池接続中は電池とのエネルギーのやり取りがあり、切断後も誘電体に力が働いて外部と仕事を交換できます。したがって、コンデンサーのエネルギーだけが常に保存されるわけではありません。

幅方向に一部だけ入れる場合は、境界付近の乱れを無視します。板間を全厚にわたって満たす部分と真空部分は、同じ2枚の極板にはさまれているので電圧が共通です。それぞれの面積に応じた容量を足す並列模型になります。挿入面積の割合を f とすると、C=C₀(1-f)+κC₀f=C₀{1+(κ-1)f} です。これは厚さ方向に層を重ねる場合の式ではありません。

基本例題：電池をつないだまま入れる

真空中で容量 3.0 μF の平行板コンデンサーを、電圧 8.0 V の理想電池につなぎます。比誘電率 4.0 の誘電体を極板間全体にゆっくり入れます。板間隔は 2.0 mm で、端効果と漏れを無視します。挿入前後の容量、正極板の電荷、電場の大きさ、蓄積エネルギーを有効数字2桁で求めてください。電場は正極板から負極板へ向かいます。

図2のように電池は挿入中も接続されているため、電圧は 8.0 V のままです。容量は 3.0 μF から 12 μF に増えます。電荷は次の通りです。

挿入前 Q₀ = 3.0 μF・8.0 V = 24 μC
挿入後 Q = 12 μF・8.0 V = 96 μC

正極板には差の 72 μC が加わります。図2のように電池があるため、これは孤立した極板の電荷保存に反しません。板間隔は 2.0×10⁻³ m ですから、前後とも E=8.0/(2.0×10⁻³)=4.0×10³ V/m です。電場を電池なしの場合と同じく 1/4 にする誤りに注意します。

挿入前 U₀ = 3.0 μF・(8.0 V)²/2 = 96 μJ
挿入後 U = 12 μF・(8.0 V)²/2 = 3.8×10² μJ

最後の値は 384 μJ を最後に丸めました。96 μC を 12 μF で割ると 8.0 V に戻り、接続条件と一致します。電池が送り出す電気的エネルギーは一定電圧と移動電荷の積で 8.0 V・72 μC=576 μJ です。蓄積量は丸める前に 288 μJ 増えます。残りの 288 μJ は、ゆっくり挿入するとき誘電体を引き込む力に抗して外側が受け取る仕事に対応します。摩擦などを無視した理想模型での収支です。

切断後の全挿入と半分の挿入

標準例題：電荷が残る場合

真空中の容量 5.0 μF の平行板を 6.0 V の電池で十分に充電し、電池から両極板を切り離します。次に比誘電率 3.0 の誘電体を板間全体に入れます。板間隔 3.0 mm は変えず、端効果と漏れを無視します。挿入後の Q、V、E、U を有効数字2桁で求めてください。E は正極板から負極板への大きさです。

切断時の正極板の電荷は Q=5.0 μF・6.0 V=30 μC です。外部への通路がないので、挿入後も 30 μC が残ります。容量は 15 μF、よって V=30 μC/(15 μF)=2.0 V、E=2.0 V/(3.0×10⁻³ m)=6.7×10² V/m です。U=30 μC・2.0 V/2=30 μJ となります。電圧と容量を掛け直すと 30 μC に戻り、保存条件を満たします。

別解では、初めの電場 6.0/(3.0×10⁻³)=2.0×10³ V/m を 3 で割り、V=Ed とします。これは電荷固定時の分極による電場の変化からたどる方法です。初めの蓄積量は 90 μJ なので、60 μJ 減ります。準静的に引き込まれる誘電体を外側が支えると、その分の仕事を外側が受け取ります。減少分を消失した電荷と解釈する必要はありません。

発展例題：幅の半分に入れる

真空中で容量 6.0 μF の平行板に、比誘電率 5.0 の板を、極板の重なり面積の半分だけ覆うように入れます。誘電体はその半分の板間を厚さ方向に完全に満たし、境界と端の電場の乱れは無視します。初めに 4.0 V の理想電池で充電します。電池を接続したまま入れる場合と、充電後に両極板を切り離してから入れる場合について、挿入後の容量、電圧、全電荷、蓄積エネルギーを有効数字2桁で求めてください。

真空部分に対応する容量は 6.0/2=3.0 μF、誘電体部分は 5.0・6.0/2=15 μF です。同じ電位差を受けるので合成容量は 18 μF です。誘電体部分の容量を全体の 5 倍にした後で真空部分をさらに足すと、面積を二重に数えます。

接続したままなら V=4.0 V、Q=18 μF・4.0 V=72 μC、U=18 μF・(4.0 V)²/2=144 μJ です。答えは 1.4×10² μJ と丸めます。電荷の内訳は真空側 12 μC、誘電体側 60 μC で、合計は 72 μC です。電圧は両側で 4.0 V と共通です。

切断後なら初めの Q=6.0 μF・4.0 V=24 μC が残ります。したがって V=24/18=4/3 V、U=24・(4/3)/2=16 μJ です。電圧の答えは 1.3 V です。丸める前の電圧を使えば、真空側には 4.0 μC、誘電体側には 20 μC が分かれ、その和は元の 24 μC です。極板上の局所的な電荷の再配置は、極板全体の電荷保存と矛盾しません。

別解として面積割合 f=1/2 を容量の式に入れると C=6.0{1+(5.0-1)/2}=18 μF です。両方法が一致するのは、両部分が同じ電位差を共有し、電荷を足せるためです。境界が大きく影響する形や、誘電体が板間の一部の厚さしか満たさない形には、この結果をそのまま使えません。

実験とグラフで模型を吟味する

学校の指導の下で、間隔と重なりを保った平行板に絶縁板を横から少しずつ入れ、容量計で容量と挿入面積の関係を調べる設計を考えます。挿入量を測る位置を決め、同じ位置で複数回読みます。容量計の接続線や周囲の物体も容量に影響するため、板を入れる前の読みを基準として差を見る工夫が必要です。計器を接続すれば孤立条件を乱す場合があるので、容量測定の回路と、切断後の電荷保存を考える模型を区別します。

横軸を面積割合 f、縦軸を容量 C とすれば、理想模型では切片 C₀、傾き (κ-1)C₀ の直線です。傾きが正なら挿入に伴って容量が増えています。たとえば切片 2.0 μF、f が 0 から 1 までの増加分が 6.0 μF という自作の読みなら、κ=1+6.0/2.0=4.0 です。切片から比誘電率を読むのではなく、増加分と元の容量を比較します。

実際には板が傾けば間隔が場所によって変わり、端や境界の電場も完全には無視できません。挿入割合の読み違いは横軸に、接続線の寄生容量は縦軸に影響します。測定点が直線から外れたとき、直ちに物質の性質が変わったと決めず、位置、間隔、計器の零点と模型の前提を順に点検します。実測値が得られないときは、この理想直線を実測結果として扱いません。

誤答をほどく

図3のように、接続状態と孤立状態のどちらにも「Q一定」と書くと、最初の分岐で誤ります。電池接続では電圧一定、切断では各極板の正味の自由電荷一定と書き分けます。誘電体の分極に現れる束縛電荷と、導線を通って極板に出入りする自由電荷も別に数えます。

図3の接続側に Q一定を置いた失敗は、電池が電荷を運ぶ経路を図に描き足すと修正できます。逆に切断側で V一定とした場合は、電圧を固定する電池が操作時に存在するかを確認します。切断後の電圧が変化しても、切断前の電池の電圧と矛盾しません。

半分挿入で C=κC₀/2 とする誤答は、残りの真空部分を捨てています。2つの面積を合わせて S に戻し、それぞれの容量を足します。さらに、U=CV²/2 で C が増えたから U も必ず増えるという判断も危険です。切断後は V も変化するので、Q²/(2C) に直して比較すれば U は減ります。どの式を使うにしても、変化する文字を固定していないかを確かめます。

練習：条件を見てから量を選ぶ

次の5問は互いに独立です。空気は真空と同じとし、端効果と漏れを無視します。電池と導線は理想的で、挿入は十分ゆっくり行います。各極板の正味電荷は最初に充電した値とし、電荷は正極板の大きさで答えてください。指定した値は計算用の値です。

1. 真空中の容量 2.0 μF、電圧 10 V の平行板を電池につないだまま、比誘電率 2.5 の誘電体で全体を満たします。後の容量と電荷を有効数字2桁で求めてください。
2. 真空中の容量 4.0 μF の平行板を 9.0 V で充電して両極板を切り離し、比誘電率 6.0 の誘電体を全挿入します。後の電圧とエネルギーを有効数字2桁で求めてください。
3. 真空中の容量 8.0 μF の平行板の面積の 1/4 に、板間を完全に満たす比誘電率 3.0 の誘電体を入れます。面積方向の並列模型で合成容量を有効数字2桁で求めてください。
4. 板間隔 5.0 mm の平行板を 15 V の電池から切り離した後、比誘電率 3.0 の誘電体を全挿入します。切断直前の電圧は 15 V です。後の電場の大きさを有効数字2桁で求め、向きを答えてください。
5. 真空中の容量 10 μF の平行板を 12 V の電池につないだまま、比誘電率 2.0 の誘電体を全挿入します。電池から正極板に移る電荷と、蓄積エネルギーの増加を有効数字2桁で求めてください。

答えと途中式

1. 容量は 2.5・2.0=5.0 μF、電圧は 10 V のままなので Q=5.0・10=50 μC です。50 μC/(5.0 μF)=10 V となり、電池の電圧に戻ります。初めの 20 μC との差は電池から運ばれます。

2. 切断時の電荷は 4.0・9.0=36 μC、後の容量は 6.0・4.0=24 μF です。V=36/24=1.5 V、U=36・1.5/2=27 μJ です。24 μF・1.5 V=36 μC となり、孤立極板の電荷が保存されています。

3. 真空部分は 8.0・3/4=6.0 μF、誘電体部分は 8.0・1/4・3.0=6.0 μF です。和は 12 μF です。2つの面積割合 3/4 と 1/4 の和が 1 になり、元の面積を重複なく数えています。

4. 固定された電荷の下では電圧が 1/3 となり、V=5.0 V です。E=5.0/(5.0×10⁻³)=1.0×10³ V/m、向きは正極板から負極板です。電場と間隔の積は 5.0 V で、元の 15 V の 1/3 に戻ります。

5. 初めの電荷は 10・12=120 μC、後は 20・12=240 μC です。移動する電荷は 120 μC、すなわち 1.2×10² μC です。初めと後のエネルギーはそれぞれ 720 μJ、1440 μJ なので増加は 720 μJ です。後の電荷を容量で割ると 12 V に戻ります。電池の供給 12 V・120 μC=1440 μJ は、蓄積増加と外側が受け取る仕事 720 μJ の和です。

要点

• まず操作中に電池が接続されているかを見る。
• 全挿入で容量は κ 倍、接続中は V、孤立後は Q が一定です。
• 幅方向の部分挿入は面積ごとの容量を並列に足します。
• エネルギーは条件に合う式で求め、電池と外部の仕事も考えます。

どこで立ち止まったか

個別指導では、まず操作前後の回路を描き、電池の線がつながっているかを本人に指で示してもらいます。次に一定とした量の横に、その根拠を「電池が電圧を保つ」「孤立極板から自由電荷が出入りしない」と書けるかを見ます。式だけが合っていても、切断の時点や保存する範囲が曖昧なら、条件を変更した問いで確かめ直します。

部分挿入で止まる場合は、各部分の両端が同じ2枚の極板につながることを図で追い、共通の電圧と足し合わせる電荷を言葉にします。最後に答えを元の接続条件へ戻し、電荷の合計や電位差を照合します。誘電体の操作は、変わらない量の根拠から読むと筋道が通ります。