高校数学I 因数分解の方法選択—共通因数から公式まで手順の分岐を説明する｜武蔵野個別指導塾

全項の共通因数を調べてから平方の差や組分けへ進み、展開による検算と各因数の再点検を行います。

高1の自習で、式を積に直して答えを書いた後、括弧の中にまだ共通因数が残っていると気づく。よくあるのは、形を一度積にしたところで手が止まるという場面です。展開して元に戻るなら等式としては正しくても、因数分解の答えとしては整理が途中かもしれません。どの形を先に探し、どこで完了とするかを、実際の式に沿って考えます。

問いに応じて最初の一手を選ぶ

因数分解では、和や差で表された式を、いくつかの式の積に直します。問題によって求められるのは、答えの積だけとは限りません。最初に共通因数を探す理由、二次式にたすき掛けを選ぶ理由、組分けを変える理由まで説明する問題もあります。

出方は大きく3つに分けられます。第1に、各項に共通する数や文字をくくり出してから、残った式を見る形です。第2に、二次式の係数を手掛かりに積と和を調べる形です。第3に、4項などを組み合わせ、括弧全体を共通因数として取り出す形です。式の見た目だけで方法を決め打ちせず、まず項全体を見ます。

たとえば、項数が3つでも最初に共通因数を取れることがあります。4項なら必ず前から2項ずつ組めるとも限りません。最初の組が不適切でも、元の式の符号を保って並べ替えれば、別の組合せを試せます。得られた積を展開して一致することと、その積がさらに分解できないことは、別々に点検します。

ここで扱う範囲は、整数係数の式について、整数係数の因数を探す方法です。定数の係数として共通する整数を先にくくり、残る各因数を整数係数でさらに分解できない形まで進めます。因数の並び順を入れ替えたり、2つの因数の符号をともに反転したりしても、同じ積を表します。実数係数まで広げた分解可能性を、この判定と混同しないようにします。

因数分解の分岐と完了の条件

因数とは積を作る各式です。たとえば A(B + C) の A と B + C は因数であり、分配法則 A(B + C) = AB + AC を右から左へ使えば、和を積に変えられます。因数分解は展開の逆向きの操作ですが、候補が元の式に一致するかは展開して確かめます。

最初に各項の係数と文字を比較します。全項に共通する数や文字があれば、それを括弧の外に出します。例えば 6x² + 9x は 3x(2x + 3) です。最初の項を 3x でくくって残るのは 2x、次の項では 3 です。全項を同じ因数で割り切れるか、括弧から戻した各項が合うかを確かめます。ここでのくくり出しは分配法則による等式であり、x が 0 の場合にも成り立ちます。

図1のように、共通因数を調べた後は、残る式を見て分岐します。A² − B²という平方の差が見えれば、(A + B)(A − B)に因数分解します。二次式なら係数に合う組を試し、4項なら組分けを検討します。どれも使えなければ、無理に積を作らず、係数の範囲や候補の条件を確認します。

図1の最後にある再点検は、最初の式に戻ってやり直す指示ではありません。得られた各因数に、共通因数やもう一度使える形が残っていないかを見る段階です。たとえば、整数係数の一次式は、係数に共通する整数が残らない形なら、整数係数の正の次数を持つ2つの式には分解できません。2つの正の次数の和は少なくとも2になるためです。

二次式については、先頭係数と定数項の積の候補を調べます。先頭係数が1の x² + bx + c を (x + p)(x + q) と表すなら、展開から p + q = b、pq = c が必要です。逆に整数 p、q がこの2条件を満たせば、その積は元の式に一致します。条件の一方だけを満たす組は不採用です。先頭係数が1でないときも、2つの一次式の先頭係数と定数項を選び、交差する積の和を中項と照合します。

公式の形に見えても、符号まで確かめます。A² − B² は (A + B)(A − B) ですが、A² + B² に同じ操作は使えません。後者にその積を当てると、展開した末項は -B² です。また、式全体をくくる前に個々の項だけで判断すると、共通する括弧を見落とします。共通因数、残りの形、分解後の再点検の順が、迷ったときの道しるべです。

基本例題: 6をくくり、残るx²と9の差を分解する

次の式を整数係数の因数の積に分解し、選んだ順序と展開による確認を示してください。

6x² − 54

まず2項の係数 6 と -54 に共通する正の整数を調べます。最大の共通因数は 6 です。文字 x は定数項に含まれないので、全項の共通因数にはしません。各項から 6 を取り出すと、次のようになります。

6x² - 54
= 6(x² - 9)
= 6(x² - 3²)
= 6(x + 3)(x - 3)

2行目は分配法則の逆です。3行目では 9 を 3² と見直し、4行目で平方の差を使いました。図2のように、外の 6 を保ったまま、括弧の中をさらに2つの因数に分けます。

図2で x² − 9 をそのまま答えの因数として残すと、等式は正しいものの、整数係数で分解できる部分が残ります。最後の2つは一次式で、各係数に共通する整数も残りません。したがって、ここで分解を終えます。

検算では括弧の積を先に展開します。

6(x + 3)(x - 3)
= 6(x² - 3x + 3x - 9)
= 6(x² - 9)
= 6x² - 54

交差する -3x と +3x が打ち消し合い、元の2項に戻ります。たとえば x = 0 でも、元の式と答えはともに -54 です。ただし1つの値で一致することは、すべての x で一致する証明にはなりません。展開による係数の一致まで見ることが必要です。

もし先に x² − 9 の形だけを見つけても、外の 6 を落としてはいけません。反対に、6 をくくった直後で終えれば、さらに分解できることを見逃します。式の全体と、それぞれの因数の両方を順番に見ることが、この例の判断です。

標準例題: 係数を整理してから積と中項を合わせる

次の式を整数係数の因数の積に分解してください。候補を選ぶ根拠と、元の式に戻る確認も示します。

6x² + 21x + 15

3項の係数 6、21、15 はいずれも 3 の倍数です。文字 x は定数項にないため、共通因数には含めません。先に 3 をくくると、残りの係数が小さくなります。

6x² + 21x + 15
= 3(2x² + 7x + 5)

残った二次式について、先頭の 2x² は 2x と x の積として作れます。定数項 5 は正なので、定数の符号は両方正か両方負です。中項が正であることを踏まえ、まず正の組 1 と 5 を試します。配置には次の2通りがあります。

(2x + 1)(x + 5) = 2x² + 11x + 5
(2x + 5)(x + 1) = 2x² + 7x + 5

1つ目は先頭と定数が合っていても、中項が 11x なので不採用です。2つ目の交差する積は 2x と 5x で、和は 7x です。よって元の 3 を戻し、答えは次の積です。

6x² + 21x + 15
= 3(2x + 5)(x + 1)

積を開いて確かめます。

3(2x + 5)(x + 1)
= 3(2x² + 2x + 5x + 5)
= 3(2x² + 7x + 5)
= 6x² + 21x + 15

すべての係数が元と一致します。2つの一次因数には、係数と定数に共通する整数が残っていません。この例では最初からたすき掛けをしても答えに到達できますが、共通因数を先に取り出すと候補が少なく、最後に数の因数を残し忘れにくくなります。

候補の見分けでは、先頭と末尾が合うことと中項が合うことを別々に考えます。負の定数の組を2つ選ぶと中項は負になるため、この式には合いません。整数の組を絞る理由を言葉にすると、候補が偶然当たったのか、条件を満たして選んだのかを区別できます。

発展例題: 組分けが行き詰まったら並べ替える

次の式を整数係数の因数の積に分解してください。最初の2項と残りの2項を組む方法が適切かも調べます。

2x² + 3x + 4xy + 6y

4項の係数には全体の共通因数がなく、各項に共通する文字もありません。項数が4つなので、2組に分けて共通の括弧を作れるか試します。前から2項ずつにすると、次のようになります。

2x² + 3x + 4xy + 6y
= x(2x + 3) + 2y(2x + 3)
= (2x + 3)(x + 2y)

1行目から2行目では、前の組から x、後ろの組から 2y をくくりました。どちらにも 2x + 3 が残るので、分配法則を逆向きに使って3行目を得ます。x や y が 0 でも、この等式は分配法則から成立します。

別の組を試すと、同じ答えが得られることもあります。元の項と符号を保ち、2x² と 4xy、3x と 6y を組むと、

2x² + 3x + 4xy + 6y
= 2x² + 4xy + 3x + 6y
= 2x(x + 2y) + 3(x + 2y)
= (2x + 3)(x + 2y)

となります。共通の括弧が x + 2y に変わっても、積は同じです。一方、2x² + 6y と 3x + 4xy に分けると、このままでは両組に共通の括弧を作れません。1つの組分けが進まないときは、項そのものを変更せず組合せを戻して選び直します。

検算は全項を掛け合わせて行います。

(2x + 3)(x + 2y)
= 2x² + 4xy + 3x + 6y
= 2x² + 3x + 4xy + 6y

元の4項とそれぞれの係数が一致します。どちらの因数も文字全体について一次で、係数の共通整数も残りません。したがって、整数係数の積としてここで完了です。別の組分けで同じ括弧を得られることは、選択肢が複数あっても展開で同じ式へ戻ることを示しています。

誤答から、等式と完了を分けて直す

6x² − 24 を因数分解する際に、次の答えを書いたとします。

6x² - 24 = 3(2x² - 8)

これは展開すれば元の式に戻ります。しかし 2x² − 8 の2項には共通因数 2 があり、さらに平方の差も残っています。図3のように、等式の正しさと、分解を終えたかどうかを別の点検として扱います。

図3で示した途中の積から、次のように直せます。

3(2x² - 8)
= 3・2(x² - 4)
= 6(x² - 2²)
= 6(x + 2)(x - 2)

最後の積を展開すると 6(x² − 4) = 6x² − 24 で、元の式に戻ります。どちらの一次式も係数に共通する整数がないため、途中の形より整理が進んでいます。最初から最大の共通因数 6 を出せば、1つ目の再整理を省けます。

もう1つの誤りは、平方の和にも差の公式を当てることです。たとえば x² + 16 を (x + 4)(x − 4) と書くと、右辺は x² − 16 です。定数の符号が合わないため、この操作は成立しません。符号を見直し、整数係数の一次因数を探すなら、定数の積が 16、交差する項の和が 0 という条件を同時に満たすか調べます。この場合、実数である2つの定数の和が 0 なら積は 0 以下ですから、正の 16 にはならず、該当する組はありません。

展開して元と違ったときは、どの係数が違うかを特定します。元にはない項が出たなら交差する積を、定数が違うなら括弧内の数と符号を調べます。展開が合った後も、共通因数や平方の差をもう一度探すことが、途中で止まる失敗を防ぎます。

自分で試す5問

各式を整数係数の因数の積に分解し、各因数についてさらに分解できる部分が残らない形で答えてください。最初の操作を選んだ理由と、答えを展開して元の式に戻る確認も書きます。

1. 8x² − 72
2. 4x² + 20x + 24
3. 3x² + 11x + 6
4. 3x² + 2x + 9xy + 6y
5. x⁴ − 81

5問目は x² をひとまとまりと見て平方の差を探します。まず自分で5問を解き、その後で解答の順序と見比べてください。式が違えば、最初に使う手順も変わります。

5問の解答と考え方

1. 数をくくってから平方の差

両項に共通する整数 8 を先に出します。残った式は x² と 3² の差です。

8x² - 72
= 8(x² - 9)
= 8(x + 3)(x - 3)

戻して確かめると、(x + 3)(x − 3) = x² − 9 なので、全体は 8x² − 72 です。8(x² − 9) で止めると平方の差が残ります。文字 x は定数項にないので、最初に x をくくることはできません。

2. 共通因数の後に二次式

係数 4、20、24 の共通因数 4 を取り出します。残る二次式では、積が 6、和が 5 となる整数 2 と 3 を選びます。

4x² + 20x + 24
= 4(x² + 5x + 6)
= 4(x + 2)(x + 3)

(x + 2)(x + 3) を展開すると x² + 5x + 6 です。外の 4 を掛け直せば 4x² + 20x + 24 に戻ります。積が 6 でも和が 5 と異なる組は、中項が合わないので使えません。

3. 交差する積の和を比較

3、11、6 に共通する整数は 1 です。そこで 3x² と定数 6 を作る一次式を考えます。定数を 2 と 3 に分け、交差する積を足すと 9x + 2x = 11x です。

3x² + 11x + 6
= (3x + 2)(x + 3)

右辺を展開すると 3x² + 9x + 2x + 6 で、元の式に一致します。例えば定数の配置を交換して (3x + 3)(x + 2) とすると、中項は 9x です。先頭と定数だけが合う候補を、そのまま答えにしないようにします。

4. 共通する括弧を作る

4項全体では数にも文字にも共通因数がありません。前の2項と後ろの2項から、それぞれ x と 3y をくくると同じ括弧が現れます。

3x² + 2x + 9xy + 6y
= x(3x + 2) + 3y(3x + 2)
= (3x + 2)(x + 3y)

最後の積を開くと 3x² + 9xy + 2x + 6y となり、並べ替えれば問題の4項に戻ります。後ろの組をくくるとき、6y を 3y で割った残りは 2 です。ここを 6 とすると展開後の係数が変わります。

5. 分解した後にもう一度見る

x⁴ は (x²)²、81 は 9² です。平方の差を使ってから、x² − 9 にも同じ形が残ることを見ます。

x⁴ - 81
= (x² + 9)(x² - 9)
= (x² + 9)(x + 3)(x - 3)

まず (x + 3)(x − 3) = x² − 9 です。したがって全体を戻すと (x² + 9)(x² − 9) = x⁴ − 81 となります。x² + 9 について、整数係数で一次式2つに分けるには、定数の積が 9 で和が 0 の整数の組が必要です。和が 0 なら積は 0 以下なので、該当する組はありません。残る一次式にも共通する整数はなく、ここで完了です。

覚えておくこと

• 全項に共通する数や文字を最初に調べます。
• 残った式の形から、平方の差、二次式、組分けを選びます。
• 候補は先頭と定数だけでなく、中項も合わせます。
• 積を展開して全項と係数を戻し、因数に分解の余地がないか確認します。

手が止まる場所を見分ける

最初の一手が出ないときは、各項を縦に見て共通する数と文字を丸で囲んでみます。括弧を作れた後に迷うなら、括弧の中に平方の差や共通因数が残っていないかを調べます。答えが元に戻らない場合は、各因数のどの項同士を掛けたかを順に書き、中項と定数のどちらからずれたかを探します。

個別指導で確かめるなら、完成した答えだけでなく、最初に試した組と採用しなかった理由を見せると、選択のどこで迷ったかが見えてきます。正しい積に戻す検算と、分解を終えたかの判定は、それぞれ違う問いです。