高校物理 コンデンサーの合成容量—孤立した接続点の電荷から直列と並列を見分ける｜武蔵野個別指導塾

折れ曲がった配線を同電位の点で描き直し、孤立した接続点の電荷保存から読み解く合成容量。

よくあるのは、折れ曲がった配線図を前に、コンデンサーが直列か並列か迷う場面です。紙面上で横に並んでいても、同じ2点につながっていなければ並列とは限りません。導線で直接つながる部分をひとまとまりにし、その両端に何がつながるかを調べると、図の向きに左右されずに判断できます。

要点（結論から）

• 導線で直接つながる点は同電位としてまとめます。
• 両端を共有する並列では電圧が等しく、容量を足します。
• 初めの正味電荷が零の孤立中間点では、符号つき電荷の和が零です。

どの量が共通なのか

出題には、複数の容量から電源の端子間の合成容量を求める型があります。各コンデンサーの電圧や極板の電荷も求めるときは、合成した結果から逆にたどります。もう一つは、接続点の電位を未知数として、電荷保存の式を立てる型です。見かけの形から直列・並列を決めにくい場合も、こちらなら各端子の接続先を一つずつ確かめられます。

いずれも初めに電荷を持たないコンデンサーを理想導線と理想電源につなぎ、十分時間がたった状態を扱います。漏れや導線の抵抗による電圧降下、周囲との余分な容量は無視します。電源の低電位側を0 Vとし、電源の高電位側を正とします。コンデンサーには直流の定常状態で導線のような電流は流れませんが、充電の途中には導線を電荷が移動します。

電気と電流の学習範囲にある容量と電位の関係を、接続点に注目して使います。切り替え後に電荷が再分配される回路は扱いません。最初から電荷を持つ孤立部分があれば、その正味電荷は零とは限らず、以下の零という条件を置き直す必要があります。

導線をたどって点をまとめる

容量Cの両端の電位差をV、高電位側の極板の電荷をQとすると、Q=CVです。反対側の極板の電荷は-Qです。Cは電荷の貯まりやすさを表し、電荷そのものではありません。μFとVを使えば、積の単位はμCです。

図1のように、同じ文字を付けた部分はコンデンサーを通らず理想導線でつながっています。その範囲には電位差がありません。導線を曲げたり伸ばしたりしても、どの端子がどの点につながるかが変わらなければ回路は同じです。交差する線がある図では、接続点の印があるかという問題の約束も確認します。

図1のAとBを両端とする素子は、紙面上の位置が違っても同じ電圧を受けます。これが並列です。各高電位側の電荷はC₁V、C₂Vなので、電源側から見た電荷は和の(C₁+C₂)Vです。したがって合成容量はC₁+C₂です。並列の容量は各容量より大きく、同じ電圧で受け取る電荷が増えます。

一方、2個が途中の点Xでつながり、Xにほかの枝も電源もつながらないとします。Xを構成する導線と2枚の極板をまとめて系に取ると、この系は外から電荷を受け取れません。初めの正味電荷が零なら、充電後も零です。片方の極板が-Qなら他方は+Qとなり、2個の電荷の大きさが等しくなります。

全電圧Vは各電圧の和なので、V=Q/C₁+Q/C₂です。合成容量をQ/Vと定めれば、1/C合=1/C₁+1/C₂となります。直列の合成容量は各容量より小さく、同じ電荷を蓄えるのに電圧を分けて要することと対応します。電荷が同じなのは孤立した中間点の正味電荷が零という条件からであり、どんな接続点にも無条件で使える性質ではありません。

基本例題：折れた枝を描き直す

図2の回路で、初めは全極板が無電荷です。Aを12 V、Bを0 Vに保ち、十分後の合成容量、各容量の電圧と高電位側の電荷を求めてください。容量はC₁=2 μF、C₂=4 μF、C₃=2 μFです。答えは分数または整数で、容量はμF、電圧はV、電荷はμCで示します。与えた値は計算用の設定です。

図2ではC₁とC₂がともにAとXの間にあり、並列です。曲がった導線もAの一部です。まずAとXの間をまとめます。

C₁₂=2+4=6 μF

この6 μFとC₃はXを挟んで直列です。Xを構成する導線と、その両側に接続された極板の正味電荷は初めも後も零です。よって直列部分の電荷の大きさをQとして、

1/C合=1/6+1/2=2/3

C合=3/2 μF

Q=(3/2)・12=18 μC

合成容量は3/2 μFです。AとXの電圧は18/6=3 V、XとBの電圧は18/2=9 Vです。各素子では、C₁が3 Vで6 μC、C₂が3 Vで12 μC、C₃が9 Vで18 μCです。

元の回路へ戻すと、X側のC₁とC₂の極板はそれぞれ-6 μCと-12 μC、C₃のX側は+18 μCです。和は零で、電源の両端に沿った電圧の和は3+9=12 Vです。A側の電荷も6+12=18 μCで、合成容量から求めた値と一致します。図をまとめる操作は、この元の接続点を忘れないための途中段階です。

接続点の電位から解く

標準例題です。初めに無電荷の3個の容量P=3 μF、R=6 μF、S=3 μFを用意します。PはAとXの間、RはXとBの間、SはAとBの間につなぎます。Aを18 V、Bを0 Vに保ち、定常状態のXの電位、各容量の電荷の大きさ、Aから見た合成容量を求めてください。答えは整数で、V、μC、μFを用います。

Xの電位をx Vとします。XにつながるP側の極板の電荷は3(x-18) μC、R側は6x μCです。Xの正味電荷は零なので、

3(x-18)+6x=0

9x=54

x=6 V

Pの電圧は12 V、Rの電圧は6 Vで、どちらの電荷の大きさも36 μCです。Sの電圧は18 V、電荷は54 μCです。Aに接する正極板の電荷の和は36+54=90 μCですから、合成容量は90/18=5 μFです。

別解では、PとRを先に直列にし、3・6/(3+6)=2 μFを得ます。これとSが並列なので2+3=5 μFです。前者は接続点の保存則を直接使い、後者は部分回路を縮約します。元の条件へ戻すと、PとRの電圧は12+6=18 V、X側の電荷は-36+36=0 μCです。SはAとBに直接つながり、18 Vを受けています。

発展例題です。初めに無電荷の容量D=2 μF、E=3 μF、F=6 μFを、DがAとXの間、EとFがともにXとBの間となるようにつなぎます。Aを22 V、Bを0 Vに保った定常状態で、Xの電位、各電荷の大きさと合成容量を求めてください。答えは分数または整数で、単位はV、μC、μFとします。

EとFの並列容量は9 μFです。これとDの直列容量は2・9/(2+9)=18/11 μFです。Aからの電荷は(18/11)・22=36 μCですから、XとBの電圧は36/9=4 Vです。したがってXは4 V、Dの電荷は36 μC、Eは12 μC、Fは24 μCです。Dの電圧18 Vと並列部分の4 Vを加えると22 Vです。Xの正味電荷も-36+12+24=0 μCとなり、枝をまとめる前の保存則を満たします。

電位を直接求めても、2(x-22)+3x+6x=0からx=4 Vです。接続点に3枚の極板があるので、各電荷の大きさを同じとは置けません。保存するのは符号を含めた和です。値の確認で誤りが出た場合は、最初に電位差の向きと、Xに属する極板の範囲を見直します。

測定を考えるときの限界

学校の指導の下で、低電圧の電源と適切な測定器を使い、同じ接続の電圧と電荷の対応を調べる計画を考えます。電圧を段階的に変え、十分落ち着いた後の端子間電圧Vと電源側の電荷Qを記録します。部品の定格や測定器の扱いは指導者の指示に従います。電源を切り替えて電荷を再分配する操作はここでは行いません。

横軸にV、縦軸にQを取れば、理想模型では原点を通る直線で、その傾きΔQ/ΔVが合成容量です。2点の差を使えば、読み取りの一定のずれが傾きへ及ぶ影響を減らせます。ただし、ばらつきのある2点の選び方で傾きは変わるので、複数点を見て直線からのずれも調べます。負の傾きが出たら、極性や軸の取り方を確認します。

実際には容量の公称値と実際の値の差、導線や測定器の余分な容量、漏れ、読み取りの分解能が結果に影響します。電荷計をつなぐことで回路自体の容量が変わることもあります。直線にならないからといって、直ちに保存則が破れたと結論せず、測定器の影響や十分に落ち着いたかを先に調べます。ここに挙げた傾向は測定の設計上の見通しであり、実測値ではありません。

誤答を接続点へ戻して直す

図3のように、AとXの間の2個と、XとBの間の1個を見ます。3個が紙の上で横に並ぶから直列だとすると、途中のXで枝が分かれることを見落とします。直列の式を3個に一度に使う前に、各端子の接続先をA、X、Bと書き込みます。AとXを共有する2個は並列です。

別の誤りは、Xにつながる極板がそれぞれ無電荷だとすることです。X全体の正味電荷が零でも、極板ごとには正負の電荷が現れます。基本例題では-6、-12、+18 μCの和が零でした。保存する対象を導線と接続された極板を含む一体の導体として囲み、符号つきで足せば修正できます。

また、並列の2個に電荷が等しいと決める誤りもあります。共通なのは電圧であり、容量が異なればQ=CVによる電荷は異なります。反対に、直列では各電圧が同じとは限りません。同じ大きさの電荷を異なる容量で割るので、容量が小さい方の電圧が大きくなります。電源の電圧と各部分の電圧を同じ欄に書かず、端点を添えて区別します。

練習：まず接続先を記す

各問とも初めは無電荷で、理想導線と理想電源を用い、十分時間がたった状態です。Bを0 Vとします。答えは分数または整数で、容量はμF、電圧はV、電荷はμCとします。数値は自作の設定です。

1. 5 μFと10 μFをAとBの間に並列につなぎ、Aを6 Vとします。合成容量と各電荷の大きさを求めてください。
2. 4 μFと12 μFをAとBの間に直列につなぎ、Aを8 Vとします。合成容量と各電圧を求めてください。
3. 6 μFと3 μFをAとXの間に並列につなぎ、9 μFをXとBの間につなぎます。Aを10 Vとしたとき、Xの電位と3個の電荷の大きさを求めてください。
4. 8 μFをAとXの間、8 μFをXとBの間、5 μFをAとBの間につなぎます。Aを14 Vとしたとき、合成容量とA側の全電荷を求めてください。
5. 4 μFをAとXの間、2 μFと6 μFをそれぞれXとBの間につなぎます。Aを15 Vとしたとき、Xの電位とXにつながる3枚の極板の符号つき電荷を求めてください。

練習の答えと確かめ

1. 15 μF、30 μC、60 μCです。共通電圧6 Vに各容量を掛けます。合計90 μCを6 Vで割ると15 μFとなり、元の並列回路の電荷の和に戻ります。
2. 4・12/(4+12)=3 μFです。電荷の大きさは3・8=24 μCで、電圧は順に24/4=6 V、24/12=2 Vです。2つの電圧の和は8 V、中間点の極板の電荷は-24 μCと+24 μCで和が零です。
3. AとXの容量は6+3=9 μFです。同容量の直列なので両方の電圧は5 V、Xは5 Vです。各電荷は順に30 μC、15 μC、45 μCです。X側は-30-15+45=0 μCで、電圧の和も10 Vです。
4. 8 μF同士の直列は4 μF、これと5 μFの並列で9 μFです。A側の全電荷は9・14=126 μCです。元の枝では直列側が56 μC、5 μF側が70 μCで、和は126 μCです。直列側の電圧は7 Vずつで合計14 Vです。
5. Xの電位をx Vとすると、4(x-15)+2x+6x=0です。12x=60よりx=5 Vです。X側の電荷は順に-40 μC、+10 μC、+30 μCです。和は零で、AからXの電圧10 VとXからBの5 Vを足すと15 Vです。

要点

• 導線で直接つながる点は同電位としてまとめます。
• 両端を共有する並列では電圧が等しく、容量を足します。
• 初めの正味電荷が零の孤立中間点では、符号つき電荷の和が零です。
• 枝のない直列では電荷の大きさが等しく、容量の逆数を足します。
• 最後に元の回路へ戻し、電圧の和と接続点の電荷を照合します。

つまずきを見分ける

同電位の印を付けられないときは、素子を通らず導線だけを指でたどり、端子に同じ文字を置けるか確かめます。描き直した図で端子の組が変わっていないかも見ます。式は立つのに答えが合わないときは、電位差の順序と極板の符号を声に出して対応させます。

個別指導では、まず一つの接続点を囲み、そこに含めた極板の電荷を符号つきで説明できるかを確かめます。そのうえで、求めた電圧を元の電源電圧と比較し、なぜ和を取る場所と等しく置く場所が異なるのかを言葉にします。配線の形が変わっても、接続点の電荷は計算を支える手がかりです。