高校物理 力学 円軌道と公転周期—力のつり合いに見える式から軌道速度と周期を導く｜武蔵野個別指導塾

引力と向心加速度の関係から速度と周期を求め、半径の比と静止軌道の条件をたどる公転周期。

よくあるのは、高校生が円軌道を回る衛星について「引力と速度がつり合う」と説明する場面です。図では引力が中心向き、速度が接線向きに描かれています。向きが直角である以前に、力と速度は単位も異なる量です。何と何を等しく置いているのかを確かめると、公転速度と周期の関係が一つの運動方程式からつながります。

ここでは球対称な天体の外側を、衛星が等速円運動する理想的な場合を扱います。天体の中心を固定できるほど衛星の質量が小さく、他の天体の引力や空気の抵抗は無視します。楕円軌道の詳しい運動や軌道を変える噴射の計算は扱いません。円軌道は初期条件を選んだ場合の運動であり、任意の速さで放した物体が円を描くという意味ではありません。

どの量を比べるか

まず、天体の質量と軌道半径から円軌道の速さや周期を求める型があります。引力を合力として運動方程式を立て、速さが半径にどう依存するかを読みます。衛星の質量が消える理由も式の両辺を見れば説明できます。

次に、同じ天体の周りの2つの軌道を比べる型があります。共通の天体の質量と万有引力定数が比で消えるため、半径比だけから周期比が決まります。ただし、異なる天体の周りなら天体の質量も比較に必要です。高さの比をそのまま半径比にする誤りにも注意します。

さらに、天体の自転と衛星の公転を対応させる型があります。地表の一点の上に衛星がとどまるためには、周期が等しいことに加え、自転軸に垂直な赤道面内を自転と同じ向きに回る必要があります。周期が等しいだけでは位置が固定されるとは限りません。半径が天体の外側にあることも条件です。

中心へ曲がる運動を式にする

天体の質量をM、衛星の質量をm、天体中心から衛星までの距離をr、万有引力定数をGとします。G、M、m、rは正で、衛星は天体の表面より外側を動きます。球対称な天体の外では、引力の大きさは中心に質量Mを集めた場合と同じGMm/r²です。これは外部についての結果として用い、内部の力は求めません。

図1のように、速度は円の接線方向で、引力は衛星に作用して中心を向きます。衛星が円周上を進むと速度の向きが変わり、加速度は中心向きになります。速さが一定でも速度の向きが変わるので、加速度は0ではありません。中心向きの加速度の大きさはv²/rです。

円の中心向きを正として、衛星に働く力を数えます。ここでは引力以外を無視したので、中心向きの合力は引力そのものです。運動方程式は次のようになります。

GMm/r² = mv²/r
v² = GM/r
v = √(GM/r)

最後に正の平方根を取るのは、vが速さだからです。左辺の引力と右辺のmv²/rは別々の2つの力ではありません。右辺は質量と加速度の積です。引力が加速度を生じさせるので、合力は0ではありません。衛星に遠心力を加えてつり合わせる式は、ここで採用した中心を静止とみなす座標系の式とは別の考え方です。

衛星の質量mが両辺にあるため、同じrの円軌道の速さはmによらないと出ます。ただし衛星の質量が中心天体に比べて無視できることなど、最初の条件の下での結論です。例えば推進力が働く間や抵抗が無視できない場合は、引力だけを合力とした式をそのまま使えません。

1周の距離は2πr、速さは一定です。周期をTとすると、T = 2πr/vです。速度の式を代入し、両辺を二乗すると次の関係を得ます。

T = 2πr/√(GM/r)
T² = 4π²r³/(GM)
T²/r³ = 4π²/(GM)

この導出ではrもTも正です。右辺は同じ天体の周りなら一定なので、円軌道について周期の二乗は半径の三乗に比例します。これがケプラーの第3法則の円軌道に限った導き方です。楕円についてまでこの計算だけで証明したことにはなりません。

半径を4倍にすると速さは1/2倍、周の長さは4倍です。1周が長くなるうえに進む速さが小さくなるため、周期は8倍になります。単位も確認しましょう。GM/rの単位はm²/s²で、その平方根はm/sです。T²の右辺はs²となります。半径が大きいと引力は弱く、円運動に必要な速さも小さくなるという傾向は、式の逆向きの変化と一致します。

基本例題：半径を変えた2つの周回

同じ球対称な天体の外側を、小さな衛星A、Bがそれぞれ半径R、4Rの円軌道で回っています。Aの速さをv₀、周期をT₀とします。Bの速さと周期をv₀、T₀を用いて表してください。比は整数または分数で示し、推進力と抵抗は無視します。

図2のように、どちらの半径も天体の中心から測ります。2つの衛星に同じGとMを使えるので、速度の二乗を比べます。

v₀² = GM/R
vB² = GM/(4R)
vB²/v₀² = 1/4
vB = v₀/2

Bの周の長さはAの4倍なので、周期は距離と速さから求められます。

TB/T₀ = 4/(1/2)
TB = 8T₀

別の方法では、周期の二乗の比を使います。TB²/T₀² = 4³ = 64です。周期は正なのでTB/T₀ = 8となり、同じ答えです。答えを場面に戻すと、Bが8T₀の間に進む距離は(v₀/2)・8T₀ = 4v₀T₀です。Aの1周の距離v₀T₀の4倍なので、Bの円周に一致します。引力と必要な中心向きの加速度も、半径4倍と速さ1/2倍を代入するといずれもAの場合の1/16倍です。

標準例題：高さから中心距離へ

半径Rの球対称な天体の外側に、衛星CとDが円軌道を持ちます。Cの地表からの高さはR、Dの高さは7Rです。Cの周期をPとするとき、Dの周期をPで表してください。答えは整数倍とし、天体は静止し、他の力は無視します。

高さは地表から、軌道半径は中心から測ります。Cの半径はR + R = 2R、Dの半径はR + 7R = 8Rです。軌道半径の比は4であり、高さの比7ではありません。

TD²/P² = (8R)³/(2R)³
TD²/P² = 64
TD = 8P

2つの周期はいずれも正なので、負の解は採用しません。結果を速度に戻すと、Dの速さはCの1/2です。Dの円周はCの4倍で、8Pの間にちょうど1周します。いずれも半径がRより大きいので、天体の外側という条件も満たします。

高さが0なら半径が0ではなくRです。地表を貫くような半径を得た場合、計算で正の周期が出ても、この問題で想定する外側の衛星軌道にはなりません。また、半径が異なる2つの衛星を同じ速さで回すことも、引力以外の力を無視した条件とは両立しません。

発展例題：地表の一点にとどまる条件

半径R、質量Mの球対称な天体が、一定の周期Pで自転しています。自転軸に垂直な赤道面内で、衛星が自転と同じ向きの円軌道を回ります。他の力は無視し、天体の中心は固定します。衛星が地表の同じ地点の上にとどまるための軌道半径rを、G、M、Pで表してください。また、軌道が天体の外側にあるためのPの条件を示してください。正の実数の立方根を使って表します。

同じ地点の上にとどまるには、衛星の角速度が天体の自転の角速度と等しくなければなりません。回る向きと面は問題文でそろえてあるため、周期T = Pを使えます。

P² = 4π²r³/(GM)
r³ = GMP²/(4π²)
r = ∛(GMP²/(4π²))

外側を回る条件はr > Rです。G、M、P、Rが正なので、両辺を三乗して整理できます。

GMP²/(4π²) > R³
P² > 4π²R³/(GM)
P > 2π√(R³/(GM))

等号なら軌道は表面に重なり、外側という条件を満たしません。条件よりPが小さいと求めた半径は天体の内部に入り、外部の式を用いた衛星の円軌道としては採用できません。計算結果を元に戻すと、4π²r³/(GM) = P²なので正の周期はPです。面と向きも条件に合うため、初めに同じ経線上に置けば、その後も地表の同じ地点の上にあります。

別解では、角速度をω = 2π/Pとして速さv = rωを先に用います。運動方程式はGMm/r² = mrω²なので、r³ = GM/ω²です。ωを代入すると同じ半径が出ます。こちらは角速度の一致を直接式に表せますが、周期が等しくても向きが逆なら使う前提を満たしません。どちらの解法も衛星の位置を固定するための面と向きの条件が必要です。

模型データで周期の関係を調べる

天体そのものを操作する代わりに、円運動の計算模型を使って関係を調べます。独立変数は中心からの半径r、測定量に相当するものは1周の周期Tです。同じ中心の重力パラメータGMを固定し、半径ごとに円軌道の条件を満たす初速度を設定します。単に同じ初速度で半径だけ変えた計算では、円軌道にならない場合があり、周期の式の検証には使えません。

例えば自作の練習用データとして、半径を基準値の1、4、9倍にしたときの周期を基準周期の1、8、27倍とします。T²は1、64、729倍、r³も1、64、729倍です。横軸をr³、縦軸をT²としてそれぞれ基準値で割った無次元量を取ると、3点は原点を通る傾き1の直線に並びます。これは式から作った例であり、観測結果ではありません。実測量を使うなら横軸はm³、縦軸はs²で表し、傾きは4π²/(GM)という単位s²/m³の量になります。

もし画像から位置を読み取るなら、中心の位置のずれは半径を一方向に偏らせる系統誤差になります。画面が傾いて円が楕円に見えることや、縮尺の誤りも半径の推定に影響します。撮影間隔や位置の読み取りのばらつきは周期の偶然誤差になりえます。複数周の経過時間を周回数で割り、同じ条件で繰り返して散らばりを見ると、1回だけの読み取りに依存せずに済みます。

点が直線から外れたときは、直ちに法則を捨てず、時刻と位置の対応、中心の選び方、軌道が円に近いかを順に点検します。反対に、点が少なく誤差が大きい場合は直線に見えても関係が厳密に成立すると断定できません。模型は条件を指定できる利点がありますが、他の天体や抵抗を無視したモデルの限界も持ちます。装置を実際に回す観察は安全を確保し、学校の指導の下で行います。

「つり合う」の言葉を直す

図3のように、「引力と速度がつり合うので衛星が回る」という説明では、速度を力と同じ種類の量に扱っています。引力の単位はN、速度はm/sですから、両者を足して合力を作ることも、等号で結ぶこともできません。

原因は、式の左右に同じ大きさが並ぶことを、2つの力のつり合いと取り違える点にあります。修正すると「衛星に働く中心向きの引力が、質量と中心向き加速度の積に等しい」です。左側に実際に衛星が受ける力を、右側にmaを置いています。速度は加速度の大きさv²/rを決める量として入ります。

もう一つの誤答は、半径を2倍にしたとき周期も2倍とするものです。円周が2倍でも、速さは一定ではなく1/√2倍になります。周期は2√2倍です。条件を変えた後も引力が円運動の加速度を与えるかを調べると、円周だけで結論を出す誤りを避けられます。半径比を使うときは、まず中心からの距離を書き出してください。

練習：円を描く条件を読み取る

次の5問では、中心天体を球対称とし、その中心を固定します。衛星は天体の外側を等速円運動し、引力以外の力は無視します。比は整数、分数または根号で正確に表し、途中で丸めません。各問の衛星の質量は中心天体に比べて十分小さいものとします。

1. 同じ天体の周りで衛星Eの軌道半径は衛星Fの9倍です。Fの速さをu、周期をQとするとき、Eの速さと周期をu、Qで表してください。
2. 半径aの天体の外側で、衛星Gの高さは2a、衛星Hの高さは11aです。Gの周期をSとして、Hの周期をSで表してください。
3. ある天体の外側の半径bの軌道で、速さw、周期Uの衛星があります。同じ半径の別の軌道上で、衛星の質量を3倍にした場合の速さと周期をw、Uで表してください。
4. 天体X、Yの質量はそれぞれM、4Mです。両天体の外側で、同じ半径cの円軌道を回る衛星の周期をそれぞれTX、TYとします。TY/TXを求めてください。
5. 同じ天体の外側の軌道で、衛星Jの周期は衛星Kの周期の8倍です。Jの軌道半径をKの半径dで表し、Jの速さをKの速さzで表してください。

解答と確かめ

1. 速度の二乗は半径に反比例します。vE²/u² = 1/9なので、速さはu/3です。周の長さは9倍なので、周期は9/(1/3) = 27倍、すなわち27Qです。元の場面で(u/3)・27Q = 9uQとなり、Eの円周はFの9倍です。引力と加速度はそれぞれFの場合の1/81倍です。

2. Gの半径はa + 2a = 3a、Hの半径はa + 11a = 12aです。比は4なので、周期の二乗の比は4³ = 64です。周期は正なのでHは8Sです。速さはGの1/2となり、8Sで進む距離はGの円周の4倍です。半径はどちらもaより大きく、外側という条件も満たします。

3. 運動方程式では衛星の質量が消えるため、速さはw、周期はUです。確認として、質量を3倍にすると引力もmaも3倍になります。同じ半径と速さなら円周を進む時間も変わりません。衛星が十分軽いという前提は、質量を変えた後も必要です。

4. 同じ半径ではT²が中心天体の質量に反比例します。TY²/TX² = M/(4M) = 1/4です。周期は正なのでTY/TX = 1/2です。Yの引力は同じ衛星についてXの4倍で、速さは2倍です。同じ円周を2倍の速さで進むため、周期は半分と確かめられます。

5. 周期比を二乗すると64です。半径比の三乗が64なので、Jの半径は4dです。速度の二乗の比は1/4だから、Jの速さはz/2です。Jの円周はKの4倍で、速さは半分なので、周期は指定どおり8倍です。周期比から直接半径を8倍にしてしまわないようにします。

持ち帰る関係

• 衛星に働く引力が中心向きの加速度を生じさせます。
• 円軌道ではv² = GM/r、T² = 4π²r³/(GM)です。
• 同じ天体ならT²/r³は一定で、半径は中心から測ります。
• 地表の一点にとどまるには周期に加え、軌道面と向きが必要です。

式を覚えていても、引力と速度を矢印で結んでしまうなら、まず衛星を取り出し、衛星が受ける力を1本描いてください。次に加速度の向きを描き、合力 = 質量・加速度を言葉で説明します。周期比が合わないときは高さから半径への変換と、二乗した後に正の値を選ぶ手順を確認します。個別指導で確かめる場合も、図に中心と半径を記し、式の各辺が何を表すかを自分の言葉で示すと、どこで考えが変わったかを追えます。円軌道の周期は、中心に向かう加速度から決まります。