高校物理 力学 単振動の位相と初期条件—開始位置と速度から変位の式を一意に定める｜武蔵野個別指導塾

同じ位置から逆向きに動く運動を円の射影と到着時刻で区別する鍵は、単振動の位相です。

よくあるのは、振動する台車が同じ位置を通る2回の記録を見て、開始位置が同じだから位相も同じだと考える場面です。右へ通過する瞬間と左へ通過する瞬間では、次に向かう端が違います。位置の記録だけから出発してしまうと、振動の式にある角度の候補を1つに絞れません。

ここでは、つり合いの位置から測った変位と、その瞬間の符号付き速度を組にして扱います。円運動の射影を使って式を作り、同じ位置に再び到着する時刻まで追います。振幅と角速度は一定とし、摩擦による振幅の減少は式の外に置きます。

位置と向きから始まる3つの問い

1つ目は、振幅と角速度、開始時の位置と速度から式を決める問いです。位置は円周上の左右を決めますが、上下のどちらに点があるかは速度の符号が決めます。端では速度が0なので、その位置が正の端か負の端かも一緒に見ます。

2つ目は、開始後に指定の位置を通る時刻を求める問いです。1周期の中で端以外の位置を通常2回通ります。最初の正の時刻がどちらの向きの通過かを円上で追い、必要なら周期を足します。開始時刻そのものを含むかどうかは問題文の条件で区別します。

3つ目は、観測された位置と速度が、指定の振幅と角速度に合うかを判定する問いです。式に代入する前に両者が満たす関係を確かめます。合わない条件から位相を無理に作ることはできません。角速度が正で一定、振幅が正という約束も必要です。

回る点の影として位相を選ぶ

原点をつり合いの位置とし、右を正に取ります。半径 A の円上を点が一定の角速度 ω で反時計回りに動くとします。A は正、ω は正です。正の横軸から点までの角を θ とすると、横軸への射影は x=A cos θ です。時刻 t=0 の角を φ とすれば、θ=ωt+φ です。φ を初期位相と呼び、角度はラジアンで表します。

図1のように、右半分では x が正、左半分では負です。上半分の点が反時計回りに動くと影は左へ進み、下半分では右へ進みます。円上の速さは Aω で、接線方向の横成分を取ると v=-Aω sin θ です。これは速度の符号も含む式です。たとえば上端では点の速度が左向きなので v=-Aω となります。

円の中心向きの加速度の大きさは Aω² です。その横成分は a=-Aω² cos θ=-ω²x です。したがって影は原点に向かう加速度を持ち、変位に比例する復元の関係を満たします。これが円運動の射影によって単振動の式を得る道筋です。円そのものを物体が回る必要はありません。

初期条件を x₀、v₀ とすると、cos φ=x₀/A、sin φ=-v₀/(Aω) です。両式の二乗を足せば (x₀/A)²+(v₀/(Aω))²=1 です。この関係は円上に点があるための条件です。左辺が1より大きい場合も小さい場合も、与えた A と ω の円周上には対応する点がありません。測定値なら誤差や理想化を検討し、厳密な問題なら条件が両立しないと判断します。

cos φ だけでは通常2つの角が候補です。sin φ の符号も使えば、φ は2πの整数倍の違いを除いて決まります。例えば φ と φ+2π は書き方が違っても同じ運動です。端で v₀=0 のときも、x₀=A なら φ=0、x₀=-A なら φ=π と選べます。A=0 では静止した原点になり、位相を一意には決められません。

A と ω が未知でも、ω と初期条件が与えられていれば A=√(x₀²+(v₀/ω)²) と求められます。両項は長さの二乗で、単位も一致します。v₀=0 なら A=|x₀| となり、端からの出発に戻ります。周期は T=2π/ω で、位相が2π増える時間です。位相の値そのものと時刻を混同しないよう、角度に ω を掛けるのは時間の側だと意識します。

基本：右側から左向きに出る

振幅 4 cm、角速度 π rad/s の単振動を考えます。t=0 に x=2 cm を左向きに通過します。初期位相を 0 以上 2π 未満に取り、変位を cm、時刻を s で表す式と速度を求めてください。答えは分数と π を用いた厳密な形にします。

図2のように正の位置にあり、速度は負です。cos φ=2/4=1/2、sin φ は正なので、円の上側の φ=π/3 を選びます。よって x=4 cos(πt+π/3) cm、v=-4π sin(πt+π/3) cm/s です。開始時の速度は -2√3π cm/s となります。

代入して戻すと、x₀=4・1/2=2 cm です。速度が負なので、図の左向きとも一致します。振幅と速度の関係でも 2²+(-2√3π/π)²=16 cm² となります。右向きの角 5π/3 を選ぶと位置は一致しますが速度が正となり、問題の場面に戻りません。

標準：同じ位置へ戻るまで

振幅 6 cm、角速度 π/2 rad/s の物体が、t=0 に正の端から出発します。x=3 cm を初めて通る時刻と、その次に通る時刻を、秒を単位として分数で求めてください。正の端から出るので x=6 cos(πt/2) です。

位置の条件は cos(πt/2)=1/2 です。反時計回りに円を追うと、開始後の最初の1周では角が π/3、5π/3 の順です。したがって時刻はそれぞれ 2/3 s、10/3 s です。周期は 4 s なので両者はその範囲にあります。最初は速度が負、次は正です。各角を元の式へ戻すと両方とも x=3 cm となり、通過する向きも円上の位置に合います。

時刻を求める際に cos の値から π/3 だけを取ると、戻りの通過を落とします。一方、角に 2π を足す操作は時間に 4 s を足す操作です。角度の候補と時刻の候補を別の行に書くと、単位の取り違えを防げます。

発展：初期条件の整合と別の表現

角速度 2 rad/s の振動について、t=0 に x=3 cm、v=8 cm/s とします。振幅と、初期位相を 0 以上 2π 未満にした変位の式を求めてください。さらに開始後に x=3 cm を初めて再び通る時刻を、逆三角関数を使わずに表してください。角 α を cos α=3/5、sin α=4/5 を満たす鋭角と定義します。答えは根号、α を使った厳密な形にします。

振幅は A=√(3²+(8/2)²)=5 cm です。cos φ=3/5、sin φ=-4/5 なので、φ=2π-α です。従って x=5 cos(2t-α) cm と書けます。初期位相を範囲内に示すなら 2π-α ですが、式の中で 2π を引いても同じです。

開始時に位相は -α とみなせ、次に同じ余弦の値を取る角は α です。位相は 2α 進むので、初めて再び通る時刻は α s です。開始時には v=8 cm/s と右向き、再通過時には v=-8 cm/s と左向きです。x=5 cos α=3 cm に戻ることも確かめられます。α は正なので得た時刻は正で、2α は1周未満です。

別解として加法定理を使うと x=3 cos 2t+4 sin 2t cm です。開始時に x=3 cm、速度は -6 sin 2t+8 cos 2t cm/s から 8 cm/s と読み取れます。この形は初期値を係数に直接結べる反面、振幅や次の到着時刻は位相を使う方が追いやすいです。両式は同じ初期状態を表します。位置と速度の関係は 3²+(8/2)²=5² であり、振幅を指定していない条件にも戻ります。

記録から位相を推定する

滑らかな水平面上で小さな振幅のばね付き台車を動かし、位置を等間隔の時刻で記録する観察を考えます。装置の取り扱いは学校の指導の下で行い、可動範囲に手を入れないようにします。ばねと台車、つり合い位置、位置の正方向をそろえ、開始位置と押し出す向きを変えて記録を比べます。変える量は開始条件、測る量は時刻ごとの位置です。途中で振幅が目立って減る場合は、一定振幅のモデルとのずれとして別に扱います。

横軸を時刻 t/s、縦軸を変位 x/cm とするグラフでは、上り坂が正の速度、下り坂が負の速度に対応します。始点の高さが同じでも傾きが逆なら位相は異なります。端から端までの時間を2倍するか、同じ向きで同じ位置を通る複数回の時間差を回数で割って周期を推定します。隣り合う同じ位置の通過間隔は一般に半周期とは限らないため、向きも記録します。

たとえば練習用に、同じ向きの通過が 0.20 s と 4.20 s に記録されたとします。この2点の時間差から周期は 4.00 s と推定できます。これは実測値ではなく読み取りの例です。反復して周期のばらつきを見れば偶然誤差の大きさを見積もれますが、常に同じ向きへずれる時計の校正誤差は反復平均だけでは消えません。

原点のずれはグラフ全体の上下移動として現れ、振幅と初期位置の読み取りを偏らせます。位置の目盛りに対する視線のずれや撮影方向の傾きも調べます。時間刻みが粗いと端を通過した瞬間を見逃し、最大値を小さく読んだり通過時刻を前後の記録の間にしか絞れなかったりします。隣接点の差から速度の符号を推定するときは、端付近の小さな差が測定誤差に埋もれる場合にも注意します。

取り違えを円に戻して直す

「x₀=A/2 だから φ=π/3」と途中で止めた答案を考えます。位置の式は満たしますが、速度が指定されていれば判定が不足しています。図3のように、円の上下の点は同じ横座標を持ちます。上側は左向き、下側は右向きです。右向きの条件なら φ=5π/3 を選びます。

原因は、cos の値が同じ角を一方しか書かなかったことです。修正するときは、まず位置から候補を並べ、次に v=-Aω sin φ に速度の符号を入れます。速度の大きさも指定されているなら最後にその値へ戻します。例えば大きさが Aω を超える条件なら、どの位相を選んでも成立しません。

もう1つの誤りは、同じ位置に着いた2回の時刻差を必ず T/2 とすることです。原点を通る2回なら半周期ですが、端に近い位置では端を折り返す2回が近接します。円周上で対応する角の差を求めて ω で割れば、特別な位置に依存しない答えが得られます。端では2つの候補が重なるため、同じ瞬間を2回と数えないことも必要です。

練習：開始状態と通過を読む

いずれも角速度は正で一定、振幅も一定です。時刻は秒、変位は cm とし、指定の形で答えてください。

1. 振幅 8 cm、角速度 2 rad/s。t=0 に x=-4 cm を右向きに通過します。初期位相を 0 以上 2π 未満とし、変位の式を π を使って表してください。
2. 振幅 10 cm、角速度 π rad/s。正の端から出発します。開始後に x=-5 cm を通る最初の2時刻を、分数で求めてください。
3. 角速度 3 rad/s、初期位置 -4 cm、初速度 -9 cm/s の振動の振幅を、整数で求めてください。
4. 振幅 5 cm、角速度 2 rad/s と指定された振動で、初期位置 4 cm、初速度 8 cm/s は両立しますか。理由も示してください。
5. 振幅 7 cm、角速度 4 rad/s。初期位置が原点で速度が負です。初期位相を 0 以上 2π 未満で求め、開始後に正の端へ初めて着く時刻を π を使って表してください。

解答と確認

1. cos φ=-1/2、右向きなので sin φ<0 です。第3象限の φ=4π/3 から x=8 cos(2t+4π/3) cm です。代入すると x₀=-4 cm、v₀=8√3 cm/s となり、右向きに戻ります。速度は振幅と角速度から許される最大値 16 cm/s より小さい値です。

2. x=10 cos πt より cos πt=-1/2 です。最初の1周での角は 2π/3 と 4π/3 なので、時刻は 2/3 s と 4/3 s です。両方を式へ戻すと -5 cm です。前者は左向き、後者は右向きで、周期 2 s 内の異なる通過です。

3. A=√((-4)²+(-9/3)²)=5 cm です。逆に 5²=(-4)²+(-9/3)² と戻せます。位置は負、速度も負なので、対応する円周上の点は左上にあり、条件に合う位相が存在します。

4. (4/5)²+(8/(5・2))²=32/25 です。1にならないので両立しません。実際、x=4 cm における速度の大きさは 2√(25-16)=6 cm/s で、指定の 8 cm/s に戻りません。位相の選択ではこの差を埋められません。

5. cos φ=0、速度が負なので sin φ>0 です。φ=π/2 となります。正の端に次に着く角は 2π であり、進む角 3π/2 を角速度 4 rad/s で割ると 3π/8 s です。開始時の速度は -28 cm/s、到着時の位置は 7 cm、速度は0で、どちらも場面に合います。

持ち帰る関係

• x=A cos(ωt+φ)、v=-Aω sin(ωt+φ) です。
• 初期位置と速度の符号を合わせて位相を選びます。
• 同じ位置への通過は円上の角を時間順に並べます。
• 指定値が (x₀/A)²+(v₀/(Aω))²=1 を満たすか確かめます。
• 位相が2π異なる式は同じ運動です。

位置の式は作れても向きの説明で止まるなら、円の上側と下側に同じ横座標の点を描き、接線の横向きを矢印で示してみてください。通過時刻で迷うなら、開始角から反時計回りに候補をたどり、進んだ角を ω で割ります。個別指導で確認するときも、式の値だけでなく、初期速度の符号と次の折り返し位置を言葉にすると、どの段階で位相が入れ替わったか見つけやすくなります。位置と向きの組が、その後の振動を定めます。