高校物理 力学 鉛直円運動と離脱—張力が消える位置とその後の軌道を分けて考える｜武蔵野個別指導塾

糸が緩む角度を張力とエネルギーから求め、その瞬間の速度を放物運動へ引き継ぎ、鉛直円運動の離脱を追います。

よくあるのは、鉛直面内で回る糸のおもりについて、糸が緩んだ後も円周上を動くとして位置を求める場面です。重力によるエネルギーの保存は緩んだ後も成り立ちますが、支点からの距離が一定という条件は引き継げません。速度の向きも、円周に沿って変わり続けるわけではありません。

糸が張っている間に角度と速さを決め、張力が0になる瞬間の位置と速度を新しい出発点にします。そこから先は重力だけを受ける運動です。どの式がいつまで使えるかを、途中の位置を中心に調べます。

円の途中で何を問われるか

1つ目は、下から上へ進むおもりがどこで糸を緩めるかという問いです。速さは高さに応じて変わり、必要な向心加速度も変わります。エネルギーの式だけでは糸が引っ張る力の符号がわからないので、半径方向の運動方程式と組み合わせます。

2つ目は、離脱した瞬間の速度を使って、その後の位置や高さを求める問いです。離脱点の高さを原点に取ると式は短くなりますが、支点や最下点を原点に取った答えへ戻すときに高さを足し忘れないようにします。

3つ目は、与えた初速で離脱が本当に起こるかを判定する問いです。形式的に張力を0とした角度が出ても、そこへ達する前に速さが0になる場合や、最初から糸が張る条件を満たさない場合があります。式の解を運動の順序に戻す作業が必要です。

半径方向と高さを同じ角度で表す

長さ L、質量 m の小球が軽く伸びない糸で固定された支点につながれています。空気抵抗と支点の摩擦を無視し、重力加速度の大きさを g とします。最下点から右側を上る向きに角度 θ を測り、最下点の速さを u とします。糸が張っている間は支点から球までの距離が L です。

図1のように、球に働く力は支点へ向く張力 T と鉛直下向きの重力 mg です。円の中心向きの加速度は v²/L ですが、それに対応する別の力を付け加えるわけではありません。張力と重力の中心向き成分の和が、必要な加速度を生みます。

図1では θ を下向きの半径から測っています。最下点からの高さは L − L cos θ です。張力は移動方向に直角で仕事をしないため、糸が張る区間で力学的エネルギーを比べると、

(1/2)mu² = (1/2)mv² + mgL(1 - cos θ)
v² = u² - 2gL(1 - cos θ)

となります。両辺の単位は速度の二乗です。最下点の θ = 0 では v² = u² に戻り、上るほど高さが増えるため速さは小さくなります。この式は速さを高さに結び付けますが、円周上を進むこと自体を保証しません。

中心向きを正に取ると、重力の中心向き成分は -mg cos θ です。したがって、

T - mg cos θ = mv²/L
T = m(v²/L + g cos θ)
T = m(u²/L - 2g + 3g cos θ)

です。最下点では T = m(u²/L + g) となり、重力に加えて中心向きの加速度を生む張力が必要です。頂点では重力も中心向きなので、同じ式は T = m(v²/L − g) になります。糸は押せないため、張っている解には T が0以上という条件が付きます。

上昇中に T が正から0へ減るとき、その点が離脱の境界です。T = 0 の式を満たしても、それ以前の速度や張力が条件を満たさなければ、その点は実際の離脱点ではありません。さらに境界で0になるだけで、その直後に再び正の張力が必要になる場合は、直ちに離れるとは限りません。進行方向に沿った変化も調べます。

離脱時の角度を α、速さを V とします。右上へ進む円の接線方向は、右向きを x、上向きを y とした成分で V cos α、V sin α です。離脱点を原点、離脱からの時間を t とすると、糸が弛んで球を引かず、再び張る前の区間では次の式を使います。

x = V cos α・t
y = V sin α・t - (1/2)gt²

速度も初めは接線方向ですが、以後は鉛直成分が重力で変わります。円運動中と離脱後をつなぐのは、同じ瞬間の位置と速度です。加速度は張力の消失によって変化し得ます。位置と速度を連続につなぐことと、同じ円の式を使い続けることは別です。

基本例題：途中で緩む点からの高さ

長さ 1.0 m、質量 0.20 kg の小球を最下点から右向きに速さ 5.0 m/s で動かします。g = 10 m/s² とし、糸は軽く伸びず、空気抵抗を無視します。糸が最初に緩む角度と速さ、そこから到達する最高点の離脱点より上の高さを、角度は度、その他は根号または小数第2位まで求めてください。

図2のように、最下点を出て右側を上る球を考えます。離脱点は支点と同じ高さより上です。

張力の式に数値を入れ、0となる位置を探します。

T = 0.20(25 - 20 + 30 cos θ)
0 = 5 + 30 cos θ
cos α = -1/6

したがって α = arccos(-1/6) 度です。数値では約 99.59 度です。この角度は上昇区間にあり、それ以前の張力は正です。離脱時の速さは、張力0の半径方向の式から V² = -gL cos α = 5/3 です。よって V = √(5/3) m/s です。

鉛直上向きの成分の二乗は V² sin² α = (5/3)(35/36) = 175/108 です。離脱後の最高点では鉛直速度が0なので、上昇高さはこれを 2g で割った 35/432 m、約 0.08 m です。最高点は円の頂点ではなく、離脱後の軌道上にあります。

戻して確かめると、離脱点は最下点から 7/6 m 上にあり、エネルギー式の右辺は V² + 2g・7/6 = 5/3 + 70/3 = 25 です。初速の二乗に一致します。張力も V²/L + g cos α = 5/3 − 5/3 = 0 です。

標準例題：離脱後の横移動

長さ 0.80 m の糸のおもりを最下点から速さ 4.0 m/s で右向きに動かします。g = 10 m/s²、空気抵抗なしとします。糸が緩む角度、離脱の速さ、離脱後に離脱点と同じ高さへ戻るまでの時間と水平変位を、角度は度、他は根号または分数で求めてください。糸が再び張る前までの運動を考えます。

0 = u²/L - 2g + 3g cos α
0 = 20 - 20 + 30 cos α
α = 90 度
V² = -gL cos α = 0

この結果は速さ0を示します。接線方向も瞬間の速度では決まりません。ここは離脱後に右上へ飛ぶ例ではなく、水平位置で静止し、重力により下へ戻る境界です。糸が緩んで放物線を描くという前提を採用できないため、求める正の戻り時刻と水平変位は存在しません。緩んだとする計算を続けて0秒を答えると、別の時刻に戻るという条件を失います。

この境界では上昇中の張力は正で、水平点で0です。その後、球が左側へ戻るのではなく来た円弧を下るとき、張力は再び正になります。初めから自由落下へ切り替える根拠はありません。速度が0の位置では、進行方向の変化まで検討することが必要です。

発展例題：離脱が可能な初速の範囲

長さ L の糸の小球を最下点から右向きに速さ u で動かします。g は正、空気抵抗は無視します。上昇途中で、速さが正のまま糸が緩むための u² の範囲と、離脱位置の cos α を L、g、u で表してください。等号を含むかも判定します。

張力0の候補は cos α = (2gL − u²)/(3gL) です。そこでの速度の二乗は -gL cos α なので、速さが正なら cos α は負です。候補が頂点より手前にあるためには cos α > -1 です。この2つを合わせると、

-1 < (2gL - u²)/(3gL) < 0
2gL < u² < 5gL

です。下端では水平点で速さ0となり、上の標準例題の境界です。上端では頂点で張力0になりますが、頂点を過ぎても張力は再び正になり、そこで離脱するとは限りません。したがって、途中で速さを保って緩む範囲にはどちらの等号も入りません。

別の見方では、上昇中の張力の式が cos θ とともに減ることを利用します。水平点で T = m(u²/L − 2g) が正で、頂点で T = m(u²/L − 5g) が負なら、その間で0を通ります。さらに水平点では v² = u² − 2gL が正ですから、止まる前に候補へ達します。張力0の点に向かう間は張力が正であり、エネルギー式によってその間の速さも正と確かめられます。

頂点まで到達しても、T が負と出る円運動は実現しません。一方、u² が 2gL より小さいと、水平点より前で速さ0となり、球は円弧上を戻ります。この場合も途中で張力が0になる候補を形式的に出せますが、その候補は停止点より先です。候補角での v² が負になることが、到達できないという警告です。

観察の設計と測定のずれ

落下物を伴う観察は学校の指導の下で、安全な範囲に区画し、装置から距離を取って行います。支点と球の中心を同じ平面に収め、背景に長さの基準を置きます。初速を変える比較では、糸の長さ、球、支点位置、撮影方向をそろえます。各試行を繰り返し、映像の連続する位置から離脱前後の動きを読みます。

独立に変える量は最下点での速さ、測る量は離脱付近の位置と速度です。離脱の瞬間を1枚の画像で決めるのは難しいため、糸のたるみと円からのずれを複数の時刻で照合します。映像の間隔が長いと変化の始まりを挟む区間が広くなります。見かけのずれが小さい場合は離脱時刻を一点に断定せず、区間で示します。

練習用の自作データとして、離脱点から右方向の位置が 0.00、0.10、0.20 m のとき、鉛直位置が 0.00、0.15、0.20 m とします。これは実測値ではありません。横軸を x（m）、縦軸を y（m）にすると、増分は最初が 0.15 m、次が 0.05 m です。同じ横幅で増分が減るため、上に凸の曲線が想定されます。点を円の一部として決め打ちするのではなく、離脱後の式に合うか比較します。

カメラが運動面に斜めだと長さの縮みや角度のずれが系統的に生じます。支点や球の中心を選ぶ位置が画像ごとに揺れることは偶然誤差の一例です。画面の尺度を確認し、撮影方向を整え、同じ条件の反復でばらつきを調べます。糸の質量、伸び、空気抵抗も理想化との差になります。たるみを見落とした試行では円運動の式を後まで当てはめず、時刻の範囲を見直します。

円の式を使い続ける誤答を直す

誤答例は、離脱点から先も支点までの距離を L として、最高点の高さを円の頂点に置くことです。エネルギー保存そのものは離脱後も使えますが、距離一定の条件は糸が引いていることに依存します。エネルギーの式だけでは位置と方向を一意に決められません。

図3のように、離脱点で速度を接線方向に分け、そこを原点として重力による落下を重ねます。円の延長と放物運動を描き分けると、取り違えた条件が目に見えます。

別の誤りは T = 0 とした後、v = 0 とすることです。張力が消えても速度は残り得ます。半径方向の式では、重力の中心向き成分がその瞬間の向心加速度を担います。まず v² = -gL cos α を使い、角度に応じて速度を求めます。

また、求めた cos α が -1 未満でも角度を作ろうとする誤りがあります。実数の角度に対応せず、頂点まで張力が正のまま進む条件かを調べ直します。逆に v² が負ならその点へ達せず、停止点と張力を比較します。負の張力を糸が押す力として採用しないことも同じ条件の確認です。

自分で区間をつなぐ5問

いずれも軽く伸びない糸、点状の小球、固定支点、空気抵抗なしとします。g = 10 m/s² とし、最下点から右向きに動かします。数値は整数または分数で、必要なら根号を使って答えてください。

1. L = 0.60 m、u² = 18 m²/s² のとき、糸が緩む角度の余弦と速さの二乗を求めてください。
2. L = 1.20 m、u² = 28 m²/s² のとき、離脱角の余弦と離脱点の最下点からの高さを求めてください。
3. 離脱点で水平右向き速度が 3 m/s、鉛直上向き速度が 4 m/s です。離脱点と同じ高さへ戻る正の時刻と水平変位を求めてください。再び糸が張る前とします。
4. L = 0.50 m、u² = 8 m²/s² のとき、上昇中に速さが初めて0となる角度の余弦と、その点の張力を質量 m を用いて求めてください。
5. L = 2.0 m、u² = 120 m²/s² のとき、頂点での速さの二乗と張力を質量 m を用いて求め、上昇中に糸が緩むか判定してください。

5問の答えと道筋

1. cos α = (12 − 18)/18 = -1/3、V² = -10・0.60・(-1/3) = 2 m²/s² です。離脱点の高さは 0.60・(4/3) = 0.80 m です。V² + 2g・0.80 = 18 と初速に戻り、張力は m(2/0.60 − 10/3) = 0 です。それ以前の張力は正です。

2. cos α = (24 − 28)/36 = -1/9、高さは 1.20・(10/9) = 4/3 m です。V² = 4/3 m²/s² として戻すと、4/3 + 20・4/3 = 28 です。張力も m((4/3)/(6/5) − 10/9) = 0 です。角度は上昇途中にあります。

3. y = 4t − 5t² = 0 より、出発時刻を除くと t = 4/5 s です。x = 3・(4/5) = 12/5 m です。戻した高さは 4・(4/5) − 5・(4/5)² = 0 で、水平速度が一定なので距離も条件に一致します。鉛直速度はこの時刻に -4 m/s で、下降して戻っています。

4. v² = 8 − 10(1 − cos θ) = 0 から cos θ = 1/5 です。その点で T = mg cos θ = 2m N です。正の張力があるため、停止まで糸は張っています。高さは 0.50・(4/5) = 0.40 m で、2g・0.40 = 8 と初速の二乗を回収できます。速度0で糸が緩むと決めないことが要点です。

5. 頂点の高さは 4.0 m なので v² = 120 − 2・10・4 = 40 m²/s² です。頂点で T = m(40/2 − 10) = 10m N です。上昇中の張力は頂点に向かって減り、最小でも正なので緩みません。40 + 2・10・4 = 120 となり、元の速さに戻ります。

持ち帰る条件

• 糸が張る間はエネルギーと中心向きの運動方程式を併用します。
• 離脱候補は T = 0 から出し、速度と到達順序を調べます。
• 糸が押すという負の張力は採用できません。
• 離脱点の位置と接線速度を放物運動の初期条件にします。
• 境界で速度が0の場合は、その後の運動を別に判定します。

途中式で止まったら、球に働く2つの力と、中心向きの正方向を図に書いてみてください。角度を最下点から測ったかも確認します。個別指導で確かめるなら、求めた張力が0になる前に球が到達できるか、離脱時の速度成分をどう置いたかを、自分の図と式を使って説明すると、区間の切り替えが見えます。糸が緩む瞬間は、円から放物線へ条件を受け渡す境目です。