高校物理 力学 斜面上の円運動—摩擦の向きが変わる二つの限界速度を求める｜武蔵野個別指導塾

低速と高速で摩擦を描き分け、静止できる場合も含めて速度の境界を調べる題材は斜面上の円運動です。

よくあるのは、高校生が傾いた円形路面の低速側でも、高速側と同じ向きに摩擦力を置いてしまう場面です。速いときには外側へ滑ろうとするのに、なぜ遅いときには内側へ滑ろうとするのでしょうか。車の進行方向は円の接線方向ですが、路面の傾きは円の中心に向かう断面で見ます。その断面に働く力を描くと、摩擦の役割の変化を追えます。

ここでは物体を質点とみなし、一定の高さ、一定の半径、一定の速さで回る条件を調べます。タイヤの回転や車体の傾き、速度を変えるための接線方向の力は扱いません。実際の走行条件を決める計算ではなく、静止摩擦の範囲と運動方程式の関係を学ぶ模型です。

要点（結論から）

• 水平内向きの合力は mv²/r、鉛直の合力は 0 です。
• 摩擦なしの速度は v₀² = rg tan θ です。
• v₀ より低速では上向き、高速では下向きに摩擦が働きます。

どの速度を探す問いか

第1の型は、摩擦がなくても同じ高さを回れる速さを求めるものです。垂直抗力の水平成分が中心向きの加速度を生み、鉛直成分が重力を支えます。摩擦がないという条件から、半径と傾きに対して速さが決まります。

第2の型は、静止摩擦係数が与えられ、滑らずに回れる速度の範囲を調べるものです。低速では斜面下向きへの滑りを防ぐため、摩擦は斜面上向きです。高速では逆に上向きへの滑りを防ぎ、摩擦は斜面下向きです。どちらも限界で大きさが最大静止摩擦力に達しますが、途中では必ずしも最大ではありません。

第3の型では、傾きと摩擦係数の大小によって境界の数を判定します。摩擦が十分大きければ静止も可能なので、正の下限速度はありません。また、理想模型では有限の上限を持たない場合もあります。求めた平方の値が負になったら、負の速さとして採用するのではなく、仮定した境界が存在するかを調べます。

力を水平と鉛直に分ける

路面の断面は、内側が低く外側が高い直線とします。傾斜角を θ、水平な円の半径を r、物体の質量を m、重力加速度の大きさを g、速さを v とします。0 < θ < 90°、r > 0、m > 0、g > 0 とし、静止摩擦係数を μ とします。路面に接触し、路面に対して滑らず、水平面内の円を回る状態を考えます。

図1のように、水平内向きと鉛直上向きを正に選びます。図は力の向きを示す模式図で、接触力を見やすく物体の位置から描いています。重力 mg は鉛直下向き、垂直抗力 N は路面に垂直で上向きかつ内向きです。摩擦力の符号を、斜面上向きすなわち外向きに正の f と定めます。f が負なら摩擦は斜面下向きです。

図1の N は水平内向きに N sin θ、鉛直上向きに N cos θ の成分を持ちます。正の f は水平外向きに f cos θ、上向きに f sin θ の成分を持ちます。重力には水平成分がありません。一定の高さを保つため鉛直加速度は 0 ですが、水平内向きには v²/r の加速度があります。したがって運動方程式は次の2本です。

N sin θ - f cos θ = mv²/r
N cos θ + f sin θ = mg

向心力という別の力を付け足すのではありません。左辺の実際の力の水平成分の合計が、右辺の質量と向心加速度の積です。両式から N と f を求めると、次のようになります。

N = m(g cos θ + (v²/r) sin θ)
f = m(g sin θ - (v²/r) cos θ)

これらは2本の式をそれぞれ sin θ、cos θ 倍して加減すれば得られます。N はこの条件で正です。静止摩擦が実現できる条件は、向きを含めて -μN ≤ f ≤ μN です。静止摩擦力は必要な値を取り、必要な大きさが最大値を超えたときには、同じ高さの円運動という仮定を保てません。

f = 0 とすると v² = rg tan θ です。この速さを v₀ と呼びます。v < v₀ なら f > 0 で斜面上向き、v > v₀ なら f < 0 で斜面下向きです。ちょうど v₀ では摩擦は 0 です。走行の向きを逆にしても、同じ速さなら必要な加速度は円の中心向きなので、この断面の摩擦の向きは変わりません。

低速の限界では f = μN です。N と f の式を代入し、sin θ − μ cos θ > 0 の場合には次が得られます。

v下² = rg(sin θ - μ cos θ)/(cos θ + μ sin θ)

分母は正です。sin θ − μ cos θ = 0 なら限界は v = 0 で、これを超える摩擦係数では静止も可能です。後者の負の式の値は、存在しない正の下限を示します。

高速の限界では f = -μN です。cos θ − μ sin θ > 0 のとき、次の有限の上限を得ます。

v上² = rg(sin θ + μ cos θ)/(cos θ - μ sin θ)

分母が 0 以下なら、この理想化では有限の上限はありません。実際に f + μN を見ると、v²/r の係数は μ sin θ − cos θ であり、分母が 0 以下のときは速度とともに負にはなりません。したがって単に 0 で割ったり、負の平方を採用したりしないことが重要です。

両方の式は右辺が長さと加速度の積なので、速さの二乗の次元です。μ = 0 では両限界が v₀ に一致します。摩擦が増えると下限は下がり上限は上がりますが、境界が消える条件も同時に確認します。θ を 0 に近づけると v₀ は 0 に近づき、水平面の上限 v² = μrg に対応します。

基本例題：摩擦を使わずに曲がる

水平な円の半径が 30 m の模型路面があります。路面は内側から外側へ上がり、sin θ = 3/5、cos θ = 4/5 です。質量 2.0 kg の小物体が一定の高さで回ります。摩擦を無視し、g = 10 m/s² として、速さを整数の m/s、垂直抗力を整数の N で求めてください。与えた小数は条件の表記であり、答えは指定どおり整数で表します。

図2のように、力は重力と垂直抗力の2つです。半径は路面上の斜めの距離ではなく、回る円の水平半径です。図は断面の模式図で、矢印の長さは力の大きさの比を表していません。

図2を水平内向きと鉛直上向きに分ければ、N sin θ = mv²/r、N cos θ = mg です。まず鉛直の式から N = 25 N です。水平成分は 25 × 3/5 = 15 N となります。

v² = 15 × 30/2
v² = 225
v = 15 m/s

元の場面へ戻すと、鉛直成分は 25 × 4/5 = 20 N で重力 2.0 × 10 = 20 N に一致します。水平成分 15 N は 2.0 × 15²/30 = 15 N に一致し、N は正です。質量が消えるからといって力を省略せず、何が物体を押しているかを図で確認します。

標準例題：両端で摩擦が反転する

半径 11 m の水平円を、質量 1 kg の模型車が一定の速さで回ります。路面の角度は sin θ = 3/5、cos θ = 4/5、静止摩擦係数は 1/2 です。g = 10 m/s² とし、滑らずに回れる速さの範囲を根号を使った m/s で求めてください。

摩擦なしの速さの二乗は 11 × 10 × 3/4 = 165/2 です。低速の境界では上向きの摩擦が限界に達します。上向きの摩擦の鉛直成分も重さを支える一方、その水平成分は中心から外向きです。

v下² = 110 × (3/5 - (1/2) × 4/5)/(4/5 + (1/2) × 3/5)
v下² = 20
v下 = 2√5 m/s

高速の境界では摩擦を下向きにします。今度は水平成分が内向きの力を増し、鉛直成分は下向きです。

v上² = 110 × (3/5 + (1/2) × 4/5)/(4/5 - (1/2) × 3/5)
v上² = 220
v上 = 2√55 m/s

答えは 2√5 m/s ≤ v ≤ 2√55 m/s です。両端を含むのは、静止摩擦の最大値に等しい状態を滑り出す直前の限界として含める模型だからです。摩擦なしの速度の二乗 165/2 は 20 と 220 の間にあります。

場面に戻して両端を確かめます。低速側では N = 100/11 N、f = 50/11 N で、摩擦は上向き、f = N/2 です。水平合力は 3N/5 − 4f/5 = 20/11 N、鉛直合力は 4N/5 + 3f/5 − 10 = 0 です。高速側では N = 20 N、f = -10 N です。水平合力は 20 N、鉛直合力は 0 で、いずれも mv²/r と一致します。N は両端とも正です。

発展例題：下限が消えるときの見分け方

半径 10 m の円形の模型路面で、sin θ = 3/5、cos θ = 4/5、静止摩擦係数 μ = 1 とします。g = 10 m/s²、質量 1 kg として、滑らずに同じ高さを保てる速さの範囲を根号を使った m/s で求めてください。v = 0 は同じ位置に静止する極限として含めます。

まず静止を調べます。斜面方向の重力成分は 6 N、垂直抗力は 8 N です。必要な上向き摩擦 6 N は最大値 8 N 以下なので、静止できます。低速境界の分子は 3/5 − 4/5 < 0 ですから、その式に負の値が出ても正の下限速度はありません。

一方、cos θ − μ sin θ = 1/5 > 0 なので、有限の上限があります。

v上² = 100 × (3/5 + 4/5)/(4/5 - 3/5)
v上² = 700
v上 = 10√7 m/s

答えは 0 ≤ v ≤ 10√7 m/s です。上限では v²/r = 70 m/s²、N = 8 + 42 = 50 N、f = 6 − 56 = -50 N です。摩擦は下向きで大きさが N に等しく、水平成分の合計は 30 + 40 = 70 N、鉛直成分の合計は 40 − 30 − 10 = 0 です。N が正であることも満たします。

別の調べ方として、速さを x = v²/r で表し、限界速度の公式を先に使わずに不等式を解けます。この例では N = 8 + 3x/5、f = 6 − 4x/5 です。f ≤ N は x ≥ -10、f ≥ -N は x ≤ 70 を与えます。x は速さの二乗から 0 以上なので、0 ≤ x ≤ 70 です。公式による境界と一致し、負の下限を採用しない理由も見えます。この方法は摩擦係数と角度の組が変わって境界が消える場合にも使えます。

模型で調べる速さと誤差

学校の指導の下で、小さい模型車と傾斜を固定できる円形の模型路面を使い、速さを変えたときに一定の半径付近を保てるかを観察する計画を立てます。回転部分や走行物体に触れない方法を選び、装置の端から飛び出さないようにします。危険な速さまで上げて限界を探す必要はありません。

独立に変える量を速さ v とし、同じ半径 r、傾斜角、車、路面の状態を保ちます。一定の区間の通過時間と距離から速さを求め、撮影画像から高さや半径の変化を読み取ります。速さを測る区間と滑りを観察する区間を対応させ、同じ設定で繰り返します。横軸に v²/r（m/s²）、縦軸に必要な摩擦力 f（N）を取れば、理想式 f = mg sin θ − m(v²/r) cos θ は右下がりの直線です。縦軸との交点は mg sin θ、傾きは -m cos θ です。

これは式から描いた予測で、滑った後も摩擦を測った直線ではありません。実際に力を直接測れない場合、走行画像だけから f の値が測定できたとは言えません。半径の変化や速さの測定から理想条件に近い区間を選び、滑り始めの範囲と予測を比較します。模型車の車輪の転がり、路面の継ぎ目、駆動力にはこの質点模型が含まない影響があります。

角度の読み違いや距離の目盛りのずれは測定値を同じ方向へずらす系統誤差になりえます。画像で中心位置を選ぶばらつきや通過時刻の読み取りには偶然誤差があります。反復で散らばりを調べても、目盛りのずれは自動的には消えません。角度の基準と距離の尺度を別に点検し、端の位置が曖昧なら結果を幅で示します。速さが一定でない、車が振動する、画像がぼけて半径を追えない場合は、その回を限界の証拠に使わず条件を整えて測り直します。

向きを間違えた答案を直す

図3のように、低速と高速で摩擦の向きを同じ下向きに描く誤りを考えます。原因は「円の中心へ向く力が必要」という事実から、摩擦も常に中心向きだと思い込むことです。垂直抗力にも内向き成分があり、低速で必要な向心加速度は小さいため、摩擦はそれを打ち消す向きに働く場合があります。

図3の低速側では、摩擦がなければ下り坂を内側へ滑ろうとするので、摩擦は上向きです。高速側では外側へ上がろうとする傾向を抑えるため下向きです。進行方向と摩擦の断面内の向きを混同しないよう、まず v₀ と比較します。

別の誤りは、あらゆる速さに f = μN を代入することです。原因は最大値と実際に必要な値を同一視することです。修正には符号つきの f を未知数として2方向の式を解き、最後に大きさが μN 以下かを確かめます。例えば v = v₀ では f = 0 であり、路面が粗くても最大摩擦が必ず働くわけではありません。

さらに、計算した N が負でも続行する答案があります。路面は物体を引っ張れないので、負の垂直抗力は接触の仮定の失敗を意味します。この模型では導いた N は正ですが、他の力を加えた設定では独立に確認が必要です。分母が 0 以下の境界式を機械的に計算する失敗も、元の不等式に戻して防ぎます。

自分で試す5問

各問で物体は質点、路面は内側が低い円形の斜面とし、水平円の半径を r とします。接触を保ち、滑らず、一定の高さと速さで回ります。g = 10 m/s² とし、根号を含む答えは根号を使って正確に表してください。数値は計算用の自作条件です。

1. 摩擦のない模型路面で r = 40 m、sin θ = 4/5、cos θ = 3/5 です。必要な速さを m/s で求めてください。
2. r = 20 m、sin θ = 3/5、cos θ = 4/5、質量 2 kg、v = 10 m/s です。必要な垂直抗力と摩擦力の大きさを N の分数で求め、摩擦の向きも答えてください。
3. r = 8 m、sin θ = 3/5、cos θ = 4/5、μ = 1/4 です。低速側の限界速度を m/s で求めてください。
4. r = 5 m、sin θ = 3/5、cos θ = 4/5、μ = 1/2 です。高速側の限界速度を整数の m/s で求めてください。
5. sin θ = 4/5、cos θ = 3/5、μ = 3/4 です。静止できるかを判定し、必要な摩擦力とその最大値の比を分数で答えてください。

答えと確かめ

1. 摩擦が 0 のため v² = rg tan θ = 40 × 10 × 4/3 = 1600/3 です。速さは 40√3/3 m/s です。代入すると v²/r = 40/3 m/s² で、N = mg/(3/5) の水平成分を質量で割った値 g × 4/3 に一致します。N は正です。

2. v²/r = 5 m/s² です。N = 2(10 × 4/5 + 5 × 3/5) = 22 N、f = 2(10 × 3/5 − 5 × 4/5) = 4 N です。摩擦は斜面上向きです。分数では N = 22/1 N、摩擦の大きさは 4/1 N です。水平合力 22 × 3/5 − 4 × 4/5 = 10 N は 2 × 5 N と等しく、鉛直合力 22 × 4/5 + 4 × 3/5 − 20 = 0 です。摩擦係数が与えられていないので、この力を実現するには μ ≥ 2/11 が必要です。

3. 低速側では摩擦は上向きです。v² = 80 × (3/5 − 1/5)/(4/5 + 3/20) = 640/19 なので、v = 8√190/19 m/s です。代入すると v²/r = 80/19 m/s²、N/m = 200/19 m/s²、f/m = 50/19 m/s² です。よって f = N/4、N > 0 で、元の2方向の運動方程式を満たします。

4. 高速側では摩擦は下向きです。v² = 50 × (3/5 + 2/5)/(4/5 − 3/10) = 100 なので、v = 10 m/s です。v²/r = 20 m/s² を戻すと N/m = 20 m/s²、f/m = -10 m/s² です。摩擦の大きさが N/2 に等しく、水平加速度は 20 m/s²、鉛直加速度は 0、N は正です。

5. 静止時に必要な摩擦力は mg sin θ = 4mg/5、垂直抗力は mg cos θ = 3mg/5 です。最大静止摩擦力は (3/4) × (3mg/5) = 9mg/20 です。必要な力と最大値の比は 16/9 で、必要な力が大きいため静止できません。最大値の上向き成分では斜面下向きの重力成分を相殺できず、この条件の静止を仮定したことが成立しないと確認できます。

要点と、次に確かめること

• 水平内向きの合力は mv²/r、鉛直の合力は 0 です。
• 摩擦なしの速度は v₀² = rg tan θ です。
• v₀ より低速では上向き、高速では下向きに摩擦が働きます。
• 静止摩擦は必要な大きさを取り、限界で μN に達します。
• 分母や分子の符号と N ≥ 0 を調べて速度の範囲を決めます。

図に摩擦を描けないときは、まず摩擦なしの速さを求め、与えられた速さと比べてみてください。式が合っても範囲が決まらないときは、f と N をそれぞれ求め、不等式の両端を点検します。個別指導の場では、力の矢印を描いて各成分がどちらを向くか、自分の言葉で説明できるかを確かめられます。摩擦の向きは速さと路面の傾きの関係から決まります。