高校物理 力学 反跳と重心の移動—外力の条件から台と物体の変位を別解で照らす｜武蔵野個別指導塾

滑らかな床の台を模型が歩くとき、相対変位と地上変位を分け、運動量と実験の誤差から読み解く反跳と重心。

よくあるのは、滑らかな床の台の上を模型が歩く場面で、台に対して進んだ距離をそのまま地上から見た移動距離とすることです。模型が右へ床を蹴れば台は左へ動きます。地上の目印から見た模型の移動は、台上の目盛りで読んだ移動より短くなります。

台と模型をまとめると、水平方向の外力がない場合には全体の運動量が変わりません。この条件と相対位置の関係を組み合わせれば、歩く速さや途中の細かい動きを知らなくても、初めと終わりの変位を求められます。ここでは質量が変化しない2物体を扱います。

何を基準に距離を測るか

第1の型は、静止していた台の端から模型が一定の距離を歩き、台と模型が地上に対してそれぞれどれだけ移るかを求める問題です。初めも終わりも静止している必要はなく、移動中も水平外力の合力が0であれば変位の関係が成り立ちます。

第2の型は、台と模型が初めから一緒に一定速度で動き、その上を模型が移動する問題です。重心は初期位置にとどまらず、一定速度で進みます。移動時間が与えられなければ、地上からの各変位は決まりません。

第3の型は、床との摩擦などによって水平外力が働く場合を見分ける問題です。内部で押し合う力は全体の運動量を変えませんが、床から台への摩擦力は系の外力です。水平外力の力積が無視できないとき、静止していた重心が元の位置に残るとは限りません。鉛直方向の重力や床の垂直抗力が存在しても、水平成分が0なら以下の水平成分の議論には影響しません。

重心と相対変位の式を作る

質量 M の台と質量 m の模型を系とし、右向きを正の x 軸とします。台の代表点の位置を X、模型の位置を x とし、どちらも地上の同じ原点から測ります。模型の台に対する位置を ξ とすると、位置の関係は x = X + ξ です。台の代表点は台に固定した点で、台は水平に平行移動するとします。

重心の位置 R は、質量による重み付き平均として R = (MX + mx)/(M + m) です。図1のように模型が台に対して右へ動くとき、ξ の変化と地上の変位は同じ量ではありません。質量は正で一定とします。

図1の台上の矢印は相対位置の向き、地上の矢印は座標の正方向です。位置を2時刻で引き算すれば、Δx = ΔX + Δξ です。Δ は終わりの値から初めの値を引いた変化を表し、負の値もとります。同様に重心の変位 ΔR は次のように表せます。

(M + m)ΔR = MΔX + mΔx
(M + m)ΔR = (M + m)ΔX + mΔξ
ΔX = ΔR - mΔξ/(M + m)
Δx = ΔR + MΔξ/(M + m)

水平方向の外力の合力が0なら系の運動量 P は一定です。速度をそれぞれ V、v とすると P = MV + mv であり、重心速度は P/(M + m) です。初めに両者が地上に対して静止していれば P = 0 なので、重心は地上に対して動かず ΔR = 0 です。したがって ΔX = -mΔξ/(M + m)、Δx = MΔξ/(M + m) です。右へ歩く模型に対して台が左に反跳する符号も式に表れます。

運動量からも同じ結果が出ます。任意の短い時間の前後で運動量が0なので、地上変位について MΔX + mΔx = 0 となります。模型が速さを変えても、その時間を十分細かい区間に分けて各区間の関係を足せば、全区間で同じ式です。ここに Δx − ΔX = Δξ を代入すると先ほどの2式に戻ります。運動量保存は速度の関係であり、変位の関係に使うには対象とする時間区間が共通であることが必要です。

式の単位はどれも長さです。台が非常に重ければ m/(M + m) は小さくなり、台はほとんど動かず模型の地上変位は相対変位に近づきます。逆に模型が非常に重ければ、台の変位は相対変位とほぼ逆向きで、模型の地上変位は小さくなります。有限の正の質量では、右へ単調に歩く模型の地上変位は正、台の変位は負です。これは変位に関する結論で、模型が途中で往復する場合の道のりは別に調べます。

基本例題：台上の模型が右へ進む

質量 3 kg の台と質量 1 kg の模型が滑らかな水平床上で静止しています。模型が台に対して右へ 2 m 移ったときの台と模型の地上に対する変位を、符号付きの分数または整数で m を単位として求めます。台は十分長く、模型は台から落ちません。

図2のように右を正とし、台の変位を ΔX、模型の変位を Δx とします。図2の 2 m は台上で測った相対変位です。外力の水平成分が0で、初めの全運動量も0ですから、重心は元の位置にあります。

3ΔX + Δx = 0
Δx - ΔX = 2
4ΔX = -2
ΔX = -1/2 m
Δx = 3/2 m

台は左へ 1/2 m、模型は右へ 3/2 m 移ります。元の場面に戻すと、模型から見た台の移動を差し引いた相対変位は 3/2 − (-1/2) = 2 m です。また 3・(-1/2) + 1・(3/2) = 0 で重心の位置も変わりません。模型が台上で右に動いても、地上で2 m進むわけではないことを2つの条件で確認できます。

標準例題：動きながら歩く

質量 4 kg の台と質量 2 kg の模型が、滑らかな水平床上をともに右向き 1 m/s で進んでいます。模型が台に対して左へ 3 m 移るのに 2 s かかりました。2 s 間の台と模型の地上に対する変位を、符号付きの整数で m を単位として求めます。外からの水平力は無視し、模型は台上にとどまります。

初めの運動量は (4 + 2)・1 = 6 kg・m/s です。したがって重心は右向き 1 m/s で進み、2 s の重心変位は 2 m です。相対変位は左向きなので Δξ = -3 m と置きます。

ΔX = 2 - 2・(-3)/6 = 3 m
Δx = 3 - 3 = 0 m

台は右へ 3 m、模型は元の地上位置へ戻ります。模型が途中ずっと静止していたとは限らず、0 m は始点と終点の差です。確認すると 4・3 + 2・0 = 12 kg・m であり、重心変位 2 m と全質量 6 kg の積に一致します。模型から台の変位を引けば -3 m となり、左への相対移動も再現します。時間を与えず相対変位だけを示した場合には、重心がどれだけ進むかが決まらないため、この地上変位は一意に求まりません。

発展例題：途中で引き返す

質量 2 kg の台と質量 3 kg の模型が滑らかな水平床上で静止しています。模型は台に対して右へ 5 m 歩いた後、左へ 2 m 戻り、各区間では向きを変えずに進みます。台は十分長く、外から水平力を受けません。各区間の台と模型の変位、および全行程の地上に対する道のりを、符号付きの整数または分数で m を単位として求めます。

重心は静止しており、各時刻で全運動量は0です。相対変位が右向きの区間では台は左、模型は右に動き、左向きの区間では両者の向きも逆になります。最終位置だけを使う方法と、区間ごとに積み上げる方法を比べましょう。

右向き区間: ΔX = -3・5/5 = -3 m
右向き区間: Δx = 2・5/5 = 2 m
左向き区間: ΔX = -3・(-2)/5 = 6/5 m
左向き区間: Δx = 2・(-2)/5 = -4/5 m
台の全変位 = -3 + 6/5 = -9/5 m
模型の全変位 = 2 - 4/5 = 6/5 m

向きが各区間で変わらないので、台の道のりは 3 + 6/5 = 21/5 m、模型の道のりは 2 + 4/5 = 14/5 m です。道のりには負号を付けず、折り返しの前後を足します。地上の模型の道のりは台上で測った道のり 7 m とも違います。

別解では、模型の最終的な相対変位 5 − 2 = 3 m と重心の不動だけを使います。これにより台の全変位 -9/5 m、模型の全変位 6/5 m を直接得ます。ただし最終相対変位から往復の道のりは復元できません。道のりには経路の情報が必要で、区間ごとの方法が適しています。逆に最終変位だけなら、途中の速さや折り返しの回数が不明でも求められます。

各区間を元の条件に戻すと、右向き区間は 2 − (-3) = 5 m、左向き区間は -4/5 − 6/5 = -2 m です。質量を掛けた変位の和も各区間で0です。途中で台上を外れないという条件が成立するだけの台の長さがなければ、このモデルをそのまま使うことはできません。

動く印を測って確かめる

学校の指導の下で、安全に動かせる低速の台と小さな移動物体を使い、地上に固定した目盛りに対して両者の位置を撮影する計画を考えます。床と台の間の摩擦を小さくし、台の上から物体が落ちないようにします。台と物体を同時刻に読み取れるよう、台の代表点と物体の中心に印を付けます。動く部分に手を挟まない配置を取り、衝突を伴う操作は行いません。

独立に変える量を台に対する物体の目標変位 ξ とし、測定量を地上から見た台の変位と物体の変位にします。質量、初期静止、床の状態、移動の方向をそろえ、各目標変位で繰り返します。横軸に相対変位 Δξ、縦軸に台の変位 ΔX を m 単位で取れば、理想的には原点を通る直線で、傾きは -m/(M + m) です。傾きは単位のない負の数です。物体の変位を縦軸にすれば傾きは M/(M + m) となります。

たとえば自作の練習用データとして M = 3 kg、m = 2 kg、相対変位が 1、2、3 m のとき台の変位が順に -0.4、-0.8、-1.2 m なら傾きは -0.4 です。これは実測結果ではありません。台の変位を負で記録しなければ、反跳方向の確認ができません。直線が原点からずれる場合は、変位を取る前の基準位置や2つの印の読み取り時刻を調べます。

床の摩擦は系統的に反跳を小さくし得ますが、向きや運動の経過によって影響は変わります。床の傾きによる外力も重心を移すため、台と物体を一緒に見た重心位置が時間とともに動くか確認します。位置の読み取りのばらつきは偶然誤差の例です。繰り返しの散らばりを記録し、目盛りの角度や画面のゆがみなど同じ向きのずれを生む原因と区別します。反復平均は偶然のばらつきを抑えますが、基準の傾きまで消すとは限りません。

撮影間隔が粗いと折り返しを見落とし、道のりを短く評価することがあります。始点と終点だけなら変位は読めても、その間の経路は決められません。測定値が理想直線から外れたら、まず時刻の対応と外力を調べ、質量比の式に無理に合わせないことが必要です。

誤答を図で直す

図3のように、台が左へ動いたのに模型の地上変位を台上の移動量と等しく置く誤答があります。原因は、模型の位置と台の位置を異なる基準から読んだまま引き算していることです。右向きを正にした数直線上で、台の地上変位に模型の台に対する変位を足してください。

図3の関係は Δx = ΔX + Δξ です。左向きの ΔX は負なので、右向きの相対変位に足すと模型の地上変位が小さくなります。台を固定したと想定できるのは、実際に固定され外力を受ける場合か、台の質量が十分大きい近似を認める場合です。前者では模型と台だけの系に固定具からの外力が働き、重心不動の式を同時には使えません。

もう1つの誤りは、床が滑らかであるという条件だけで重心位置を一定にすることです。初めの運動量が0でなければ重心は等速で移動します。まず系を囲み、水平外力と初期運動量を確認してから、重心位置一定か重心速度一定かを選びます。物体と台の間に働く摩擦は両者を含む系の内力であり、存在自体は水平運動量保存を妨げません。

自分で解く5問

いずれも台は十分長く水平に平行移動し、台と物体の質量は一定です。別に指定がない限り床は滑らかで、初めは地上に対して静止しています。変位は右向きを正とし、答えは整数または分数で示してください。

1. 5 kg の台上の 1 kg の物体が台に対して右へ 6 m 移ります。台と物体の地上変位を m で求めます。
2. 1 kg の台上の 3 kg の物体が台に対して左へ 4 m 移ります。台と物体の地上変位を m で求めます。
3. 3 kg の台上の 2 kg の物体が移動し、台が地上に対して左へ 2 m 移りました。物体の地上変位と台に対する変位を m で求めます。
4. 2 kg の台と 2 kg の物体がともに右向き 2 m/s で動いています。物体が台に対して右へ 4 m 移るのに 3 s かかるとき、両者の地上変位を m で求めます。
5. 4 kg の台上の 1 kg の物体が台に対して右へ 5 m 進み、左へ 10 m 戻ります。各区間で向きを変えないとき、台と物体の地上変位と道のりを m で求めます。

解答と確認

1. 相対変位は 6 m、重心変位は0です。台は -1・6/6 = -1 m、物体は 5・6/6 = 5 m です。差は 5 − (-1) = 6 m、質量を掛けた和は 5・(-1) + 1・5 = 0 で、台上の移動と重心不動を再現します。

2. 相対変位は -4 m です。台は -3・(-4)/4 = 3 m、物体は 1・(-4)/4 = -1 m です。差は -1 − 3 = -4 m、質量を掛けた和は 1・3 + 3・(-1) = 0 です。物体が左へ動けば台は右へ反跳します。

3. 重心不動から 3・(-2) + 2Δx = 0 なので、物体の地上変位は 3 m です。相対変位は 3 − (-2) = 5 m です。相対変位を式に戻すと台の変位は -2・5/5 = -2 m、物体は 3・5/5 = 3 m となり、与えられた台の移動に戻ります。

4. 重心速度は右向き 2 m/s なので、3 s 間の重心変位は 6 m です。台の変位は 6 − 2・4/4 = 4 m、物体の変位は 6 + 2・4/4 = 8 m です。差は 8 − 4 = 4 m で、質量を掛けた和は 2・4 + 2・8 = 24 kg・m です。これは全質量 4 kg と重心変位 6 m の積に等しく、初めの運動量に対応します。

5. 右向き区間では台が -1 m、物体が 4 m、左向き区間では台が 2 m、物体が -8 m です。全変位はそれぞれ 1 m、-4 m、道のりはそれぞれ 3 m、12 m です。相対変位を区間ごとに戻すと 4 − (-1) = 5 m、-8 − 2 = -10 m です。各区間で質量を掛けた変位の和は0で、全体の相対変位も -4 − 1 = -5 m と一致します。

手元に残す要点

• 位置と変位は同じ地上基準で表し、模型の相対変位は Δx − ΔX とします。
• 水平外力の合力が0なら重心速度は一定で、初期運動量も0のとき重心位置が一定です。
• 最終変位と道のりを区別し、往復の道のりは区間ごとに足します。
• 摩擦や固定具が系の外から水平力を及ぼすときは、その影響を別に考えます。

式につまずいたときの確認

まず台と模型の初めと終わりを地上の同じ線上に描き、それぞれの矢印に正負を付けてみてください。台上の移動を模型の矢印そのものにしていたら、2本の地上変位の差で相対変位を作り直します。次に系の外から水平力が働くか、初めの運動量が0かを別々に答えます。

個別指導で確かめるなら、図に書いた2つの矢印を使って Δx − ΔX を説明し、質量を掛けた変位の和が重心の移動とどう結び付くかを言葉にします。初めから動く場合や途中で引き返す場合も同じ図を使って条件を見直すと、式の適用範囲を自分で判断できます。反跳の向きは、地上と台の2つの基準を結ぶ式に現れます。