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高校物理力学円運動の加速度—速度の差の図形から中心向きになる理由を導く｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.13更新 2026.11.13武蔵野個別指導塾の特徴物理を掘り下げる力学

等速円運動の速度三角形から加速度の向きと大きさを導き、周期測定の誤差までたどる円運動の加速度。

よくあるのは、円い軌道を一定の速さで進む物体を見て、高校生が「速さは同じだから加速度はない」と考える場面です。速度には大きさだけでなく向きがあります。曲がり続ける物体では、速度の矢印の向きも変わり続けます。

速度の変化を矢印の差として描けば、中心向きの加速度がどこから出てくるかを追えます。その大きさを半径、速さ、周期のそれぞれで表し、実際の力との関係も区別しましょう。

円周上で何を比べるか

問われ方には主に3つあります。半径と速さから加速度を求める型、周期や角速度から同じ量を求める型、必要な合力を運動方程式で求める型です。どの型でも、中心が固定され、半径と速さが一定の円運動であることをまず確認します。

円に沿って動いていても、速さが変わる場合は接線方向にも加速度があります。その場合に中心方向の成分がv²/rであることは使えますが、加速度全体をその値とすることはできません。以下の導出では等速円運動に限定し、観測は地上に固定した座標系で行います。

速度の差を短い時間で見る

半径をr、速さをvとします。位置は円の中心Oから物体へ引いた半径で表し、速度v（ベクトル）はその位置の接線に沿います。速さvはその矢印の長さで、正の数です。加速度a（ベクトル）は、短い時間の速度の変化をその時間で割った平均加速度を、時間を限りなく短くしたときの値です。

図1のように、近い2点P、Qの半径と、両点での速度の矢印を比べます。速度の始点をそろえたとき、先の速度から後の速度へ向かう矢印が速度の差です。2本の速度はそれぞれの半径に垂直で、同じ向きに90度回した関係なので、半径がなす角と速度がなす角は等しくなります。

図1の半径の三角形と速度の三角形は、2辺の比がv/rで、その間の角が等しい相似な二等辺三角形です。PからQへの位置の変化の大きさを弦PQの長さd、速度の差の大きさをΔvとすると、厳密に次が成り立ちます。

Δv / v = d / r
Δv / Δt = (v / r)・(d / Δt)

ここでΔtはPからQまでの正の時間です。弦の長さdは通った円弧の長さvΔtより短いものの、角度を限りなく小さくすると弦と円弧の長さの比は1に近づきます。したがってd/Δtはvに近づき、瞬間の加速度の大きさはv²/rです。短い時間でも弦と円弧が厳密に等しい、と置いたわけではありません。

向きも確かめます。速度の差は2本の速度の先端を結び、2本の速度のなす角の二等分線に沿って内側を向きます。QをPに近づけると、その向きはPからOへの半径方向に近づきます。よって加速度は各瞬間に中心向きです。円を半周する間の平均加速度の向きと、ある瞬間の加速度の向きは区別してください。

角速度の大きさをω、周期をTとします。1周の角度は2π rad、道のりは2πrなので、ω = 2π/T、v = rω = 2πr/Tです。これを代入すると、同じ加速度の大きさは次の3通りに表せます。

a = v²/r = rω² = 4π²r/T²

半径を固定して速さを2倍にすれば加速度は4倍です。一方、速さを固定して半径を2倍にすれば半分です。何を固定するかを言わずに半径との比例関係を述べると、rω²との見かけ上の食い違いが生じます。単位もv²/rならm/s²となり、加速度の単位と一致します。

中心向きの加速度を生むのは、実際に物体に作用する力の合力です。「向心力」はその中心方向の合力の呼び名であり、張力や摩擦力に加えて新たに描く力ではありません。例えば水平面上の小物体を糸で中心へ引く場合、鉛直方向の重力と垂直抗力がつり合い、水平の張力が中心向きの合力となります。質量をmとすれば、張力はmv²/rです。

基本例題：糸の張力と速度の変化

滑らかな水平面上で、質量0.50 kgの小物体が軽い糸に引かれ、固定点を中心に半径2.0 m、速さ4.0 m/sで等速円運動しています。糸は水平で張っています。加速度の大きさと糸の張力を、有効数字2桁で求め、物体が円の右端を上向きに通る瞬間の向きも答えてください。

図2のように、右端で速度は上向き、中心は左です。加速度と張力はどちらも左向きです。重力と床からの垂直抗力は鉛直方向につり合います。

a = v²/r
  = (4.0 m/s)²/(2.0 m)
  = 8.0 m/s²
F = ma
  = 0.50 kg・8.0 m/s²
  = 4.0 N

したがって加速度は左向きに8.0 m/s²、張力は左向きに4.0 Nです。図2の矢印は物体に作用する張力を示し、速度は力ではありません。逆に張力4.0 Nを質量0.50 kgで割ると8.0 m/s²となり、半径2.0 mでの速さは√(8.0・2.0) = 4.0 m/sに戻ります。張力は正なので糸が張る条件とも一致します。

標準例題：周期から比べる

同じ固定中心の周りを、目印Aは半径0.80 m、目印Bは半径1.8 mの円上で、それぞれ周期4.0 sで等速円運動します。加速度の大きさの比A:Bと、それぞれの大きさをπを使って有効数字2桁の係数で求めてください。2つの目印は互いに力を及ぼさないものとします。

周期が等しいので角速度は共通で、a = 4π²r/T²は半径に比例します。両方の周期をそろえた比較ですから、速さが等しい場合の逆比例は使いません。

A:B = 0.80:1.8 = 4:9
aA = 4π²・0.80/(4.0)² = 0.20π² m/s²
aB = 4π²・1.8/(4.0)² = 0.45π² m/s²

半径と周期に戻すと、速さはそれぞれ0.40π m/s、0.90π m/sです。それらの二乗を各半径で割れば、再び0.20π²、0.45π² m/s²が得られます。両方とも中心向きですが、別の位置にあればその向きは一般に異なります。

発展例題：同じ速さか、同じ周期か

目印Cは半径1.0 mを速さ3.0 m/sで、目印Dは半径4.0 mを等速で回ります。両方の中心は固定されています。Dの加速度の大きさがCと等しくなるDの速さと周期を、πを含む形で有効数字2桁の係数を使って求めてください。また、同じ周期にした場合の加速度の比D:Cを求めてください。

まずCの加速度は9.0 m/s²です。Dの速さをuとすると、等しい加速度という条件から次のように求めます。

u²/(4.0 m) = 9.0 m/s²
u² = 36 m²/s²
u = 6.0 m/s
T = 2π・4.0/6.0 = (4.0π/3) s

速さは負にならないので正の平方根を取ります。Dの円周8.0π mを6.0 m/sで進む時間は確かに(4.0π/3) sです。また6.0²/4.0 = 9.0で、指定した加速度に戻ります。張力などの具体的な力は与えられていないため、その大きさはここでは決まりません。

別解では、等しい加速度の条件rω²が一定であることを使います。半径が4倍なら角速度は半分なので、周期は2倍です。Cの周期は(2.0π/3) sですから、Dの周期は(4.0π/3) sと一致します。この別解は両方が等速円運動し、加速度の大きさが等しいときに使えます。

一方、周期を等しくすれば角速度も等しく、加速度は半径に比例するのでD:C = 4:1です。加速度を等しくする条件と周期を等しくする条件は別です。例えば半径が同じなら両者は一致しますが、半径が異なる場合は固定した量を先に書いて判断します。

周期測定から加速度を推定する

回転する台の目印を上から記録し、中心からの距離rと周期Tを測ってa = 4π²r/T²を調べる設計を考えます。回転装置の観察は学校の指導の下で行い、低速で固定状態を確かめます。回転中に手を近づけず、危険な高速回転は行いません。

独立に変える量を周期とし、同じ目印、同じ半径、同じ撮影位置を保ちます。数周分の経過時間を周回数で割れば、開始と終了の読み取りのずれが1周あたりに与える影響を小さくできます。各条件で複数回測り、値の散らばりと平均を記録します。目印が滑ったり周期が途中で変わったりした記録は、等速円運動の条件を満たすか確かめてから扱います。

横軸に1/T²（1/s²）、縦軸に推定加速度a（m/s²）を取ると、半径一定なら原点を通る直線で、傾きは4π²rです。例えば練習用にr = 1.0 m、T = 2.0 sと4.0 sを設定すれば、横座標はそれぞれ0.25、0.0625で、縦座標はπ²、0.25π²です。これらは式を検討するための自作値で、測定結果ではありません。

中心位置の読み違いは半径を一方向にずらす系統誤差になり、傾きにも影響します。撮影角度が斜めなら円が楕円に見え、位置によって長さの読みが変わります。開始・終了時刻の読みのばらつきは偶然誤差の例です。照明や撮影間隔もそろえ、中心の決め方や時刻の判定を変えて影響を比べます。

周期を長く読みすぎると、推定加速度は小さくなります。周期が真の値の1.1倍なら、推定値は真の値の1/(1.1)²倍です。小さな誤差では周期の相対誤差のおよそ2倍が逆向きに現れます。なお、周期から計算した縦軸は同じ周期を用いた横軸と独立ではないため、直線に並んでも加速度の式を独立に実証したことにはなりません。別途、連続画像から速度の差を測るなどして比較する必要があります。

間違いを矢印で直す

「速さが等しいのでΔv = 0」とする誤答では、2つの速度の大きさと速度そのものを取り違えています。図3のように始点をそろえると、矢印の長さが等しくても先端は異なり、その間に差ができます。図3の速度は円上の近い2点での向きを模式的に表します。

修正するときは、後の速度の先端へ、前の速度の先端から矢印を引きます。差を逆に描けば加速度は外向きになり、中心へ曲がる運動と合いません。また「中心向きの力」と糸の張力を別々に足すと、同じ力を2回数えることになります。まず物体に働く力を原因ごとに描き、その中心方向の合計をmaと置いてください。

速さだけが変化しないという条件は、接線方向の加速度が0であることを意味します。方向が変わるための中心方向の加速度まで0になるわけではありません。軌道が直線に近づくrの大きな極限では、同じ速さならv²/rが0に近づき、この見方とも一致します。

練習：条件を置いてから計算する

次の5問では円の中心を固定し、各物体は等速円運動するとします。πは記号のまま残し、指定のない数値は有効数字2桁で答えてください。

半径3.0 m、速さ6.0 m/sの模型の加速度の大きさと向きを求めてください。
半径0.50 m、周期2.0 sの目印について、角速度と加速度の大きさをπを使って求めてください。
半径2.0 mの円を回る質量0.20 kgの小球に、中心向きの合力0.90 Nが働きます。速さを求めてください。
半径が一定の装置で周期を3倍にしました。加速度の大きさは元の何倍ですか。分数で答えてください。
半径5.0 mの円を回る物体が、ある瞬間に中心の真上を右向きに通ります。その瞬間の速度の向きと加速度の向きを答え、加速度が2.0 m/s²のときの速さを根号で求めてください。

練習の答えと途中式

a = 6.0²/3.0 = 12 m/s²で、向きは中心向きです。戻して、12・3.0 = 36 m²/s²は与えられた速さの二乗に一致します。
ω = 2π/2.0 = 1.0π rad/s、a = 0.50・(1.0π)² = 0.50π² m/s²です。速さは0.50π m/sで、円周1.0π mを割ると周期2.0 sに戻ります。
a = 0.90/0.20 = 4.5 m/s²です。v² = 4.5・2.0 = 9.0 m²/s²よりv = 3.0 m/sです。0.20・3.0²/2.0 = 0.90 Nとなり、与えられた合力に戻ります。
a = 4π²r/T²で、半径を固定したままTを3Tにすると、加速度は1/9倍です。逆に周期を元の値へ戻せば加速度は9倍となり、元の大きさに戻ります。
速度は右向き、加速度は中心を指す下向きです。v² = ar = 2.0・5.0 = 10 m²/s²より、速さは√10 m/sです。これを二乗して5.0 mで割れば2.0 m/s²に戻ります。