高校物理 力学 運動方程式と系—相互作用の組を分けて全体系と各物体の式を照らす｜武蔵野個別指導塾

押し合う箱の加速度と接触力を、力の受け手と系の境界から読み解く運動方程式と系。

よくあるのは、高校生が横に並ぶ箱を押す問題で、箱全体の運動方程式を書いたところ、箱の間の力までその式から求まると考える場面です。全体の式は共通の加速度を求めるには便利ですが、箱同士が押し合う力はその式で消えています。何が消え、どの物体に注目すると再び現れるのでしょうか。

地上に固定した座標で、箱が滑らかな水平面上を接触したまま動く場合を考えます。箱の変形や回転は無視し、力は水平方向に働くとします。摩擦や接触の有無を判定する必要がある場合は、その条件を別に確認します。

どの境界で切るか

問いの型は大きく3つあります。まず、外から押す力と各箱の質量が与えられ、全体の加速度を求める型です。接触が保たれれば加速度は共通なので、箱を一まとめにできます。次に、境目の接触力を求める型です。全体で加速度を出した後、境目の片側を取り出して式を立てます。最後に、複数の外力が互いに逆向きに働き、接触が保たれるか調べる型があります。押す力は負になれないので、仮定した接触力が負なら接触したままという仮定を捨てます。

いずれも、どの物体を系に含めるかで内力と外力の区別が変わります。内力か外力かは力そのものに固定された名前ではなく、選んだ境界に対する名前です。加速度が共通という条件を確認せず質量を足した式にすることや、接触力の符号を見ずに接触を認めることはできません。

力の組と運動方程式

図1のように、左の箱Aが右の箱Bを押すとき、BはAを同じ大きさで逆向きに押します。この2つは作用反作用の組です。受ける物体が違い、同じ式の中でつり合う2力ではありません。Aが受ける右向きの外力とBからの左向きの力も、同じ物体に働く別の力であり、作用反作用の組ではありません。

図1の矢印は力を受ける箱から描いています。AとBを両方含む境界では、接触の2力は内部の組です。Aだけを系に選ぶと、Bは系の外なのでBからAへの力は外力になります。Bだけを選んでも同様に、AからBへの力は外力です。力の大きさをC、AとBの質量をそれぞれm₁、m₂、右向きにAを押す力をFとします。両箱の加速度が右向きに共通でaなら、それぞれの水平方向の式は次のようになります。

m₁a = F - C
m₂a = C
(m₁ + m₂)a = F

最後の式は前の2式の両辺を足したものです。作用反作用の大きさが等しいため、内部の2力が符号を変えて消えます。鉛直方向では各箱の重力と床からの垂直抗力がつり合いますが、これらは別の相手から受ける力で、作用反作用の組ではありません。面が水平で鉛直加速度がないという条件から、各垂直抗力は各箱の重力と等しくなります。

全体の式からa = F/(m₁ + m₂)です。これをBの式に戻すとC = m₂F/(m₁ + m₂)です。全体の式にはCが含まれないので、その式を解く操作だけではCは出ません。質量の内訳を使い、片側の式を追加する必要があります。CはBを加速するための力ですから、Bが重いほど同じ加速度には大きい接触力が必要です。

単位も見ます。Fを全質量で割った単位はN/kgで、1 N = 1 kg・m/s²よりm/s²です。Fが0なら加速度も接触力も0です。m₂が正のまま小さくなるとCも小さくなります。これらは式の符号や分子を取り違えていないかの確認になります。質量を0にした箱を実体として扱うこととは区別してください。

基本例題：2箱を押す

滑らかな水平面に質量2 kgの箱Aと3 kgの箱Bが左から順に接しています。Aを右向きに10 Nで押し続けるとき、共通加速度とAがBを押す力を整数、単位付きで求めてください。鉛直方向の運動はなく、箱の回転は無視します。重力加速度は計算用に9.8 m/s²とします。

図2のように右向きを正にします。系をAとBの両方に取ると、外からの水平力は10 Nです。接触力は内力であり、全体の式に残りません。

(2 + 3)a = 10
a = 2 m/s²
C = 3a
C = 6 N

答えは加速度2 m/s²、AがBを押す力6 Nです。図2ではBが受ける6 Nを右向きに描き、その反作用をAに左向きに描いています。Aに戻すと10 − 6 = 4 Nで、2 kgに2 m/s²を生じさせる力です。Bでは6 Nが3 kgと2 m/s²の積に一致します。垂直抗力はそれぞれ19.6 N、29.4 Nで正なので床との接触も成り立ちます。箱同士の接触力も正です。

別の立て方では、最初から2箱に分けて2a = 10 − C、3a = Cと連立します。先に全体を使う解法も、この2式を加える操作と同じです。未知数が多くても、力の受け手を分ければ同じ答えにたどり着きます。

標準例題：反対側から押す

滑らかな水平面上で、左の箱Pは4 kg、右の箱Qは2 kgです。接している2箱の右側からQを左向きに18 Nで押します。加速度とPがQから受ける力を整数、単位付きで求めてください。箱は回転しません。

左向きを正に選ぶと、全体の式は6a = 18なのでa = 3 m/s²です。Pに水平方向に働く力はQからの接触力Cで、4a = Cです。したがってC = 12 N、方向は左です。Qには左向きに18 N、Pから右向きに12 Nが働き、差の6 Nは2 kgのQを3 m/s²で加速します。両箱の接触力は正で、想定した押し合いに合います。

押す側を反転すると、同じ全質量と外力なら加速度の大きさは同じですが、境界の力は変わります。接触力が加速する側の質量が変わるからです。全体の式に質量の分布が現れない理由と、接触力にその分布が必要な理由を分けて説明できます。

発展例題：左右から押すとき

滑らかな水平面で、左の箱Dは2 kg、右の箱Eは4 kgです。Dの左側から右向きに20 N、Eの右側から左向きに8 Nの水平力を加えます。接触したまま動けるか調べ、可能なら加速度と接触力を整数、単位付きで求めてください。箱は回転しません。

まず接触を仮定し、右向きを正にして全体系に運動方程式を立てます。外力の合計は20 − 8 = 12 Nです。

(2 + 4)a = 20 - 8
a = 2 m/s²
C - 8 = 4a
C = 16 N

CはDがEを右に押す力です。16 Nは正なので、押し合う接触という仮定と矛盾しません。Dの式にも戻すと20 − 16 = 2・2で、両箱の力と加速度が一致します。答えは右向き2 m/s²、接触力16 Nです。左右の外力を単純に足すと、向きの違いが失われます。

別解ではDとEにそれぞれ2a = 20 − C、4a = C − 8と書きます。片方の式をCについて解いて代入しても同じ結果です。こちらは各力の受け手が見える一方、全体の加速度を先に求める方法は内力を消す手順が短くなります。どちらでも接触力の符号の確認は必要です。

一般に、左箱の質量をm₁、右箱をm₂、左右の押す力の大きさをそれぞれL、Rとすると、接触を仮定した加速度はa = (L − R)/(m₁ + m₂)です。右箱の式C − R = m₂aに代入すると、C = (m₂L + m₁R)/(m₁ + m₂)となります。L、Rがともに0以上ならCも0以上で、このモデルでは引っ張る接触力を必要としません。Cが0の境界では押し合う力がなく、接触が続くかはその後の力の変化と運動から判断します。

外力が箱を互いに引き離す向きなら事情は変わります。接触を仮定して計算したCが負なら、箱が引っ張り合う必要があるという意味です。接着していない箱はそれを実現できないので、接触力を0として離れた後の各箱を別々に扱います。負の値をそのまま接触力の大きさとして答えることはできません。

測定で質量と加速度の関係を見る

車輪付きの2台を箱の模型とし、水平な軌道上で一方を一定に近い力で押します。実験は学校の指導の下で、台が軌道端から落ちない条件を選びます。台同士が接触している区間を動画や位置センサーで記録し、時刻と位置から加速度を求めます。台の質量は事前に測り、押す力は力センサーで記録します。

独立に変える量を全質量Mとし、押す力Fを一定に近く保つなら、加速度aは1/Mに比例する予測です。横軸を1/M（1/kg）、縦軸をa（m/s²）とすれば、理想条件の傾きはF（N）です。例えば練習用の自作データとして、F = 6 N、M = 2、3、6 kgならa = 3、2、1 m/s²です。これは測定結果ではなく、グラフの見通しを立てるための数値です。点が原点を通るかを確かめ、ずれが見えたまま原点を通る直線に固定しないでください。

全質量を変えるときは、押す力の時間変化、軌道の傾き、車輪の状態、解析する時間帯をそろえます。各条件で複数回測れば、読み取り時刻や押し方の揺れによる偶然誤差の広がりを見られます。センサーの零点のずれや軌道の傾きは、同じ向きの偏りを生む系統誤差の候補です。力センサーの零点確認や軌道の向きを反転した比較が、原因を絞る手がかりになります。

さらに全質量と外力を一定にし、2台の間で質量を移して接触力を測ります。外力を受けない側の質量を横軸、接触力を縦軸にすれば、理想的には傾きが加速度の直線です。ただしセンサー自体の質量をどちらに含めるか決めなければ、系の境界が曖昧になります。摩擦が無視できないときは各台に働く摩擦も外力として入れ、測った加速度と式の差を調べます。接触が途中で切れた記録、押す力が大きく変動した記録、センサーが飽和した記録は一定力・共通加速度のモデルにそのまま入れず、原因と区間を記録して取り直します。測定が途中で止まった場合も欠けた値を補ったことにせず、取得できた範囲と再測定の条件を残します。

消えた力を描き直す

図3のように、全体の式に接触力を1回だけ加えるのは誤りです。接触力を受ける箱を1つしか数えていないため、系内部のもう一方の力が抜けています。全体系で接触力を消すことと、接触力が存在しないことは別です。

誤答の原因が境界の取り違えなら、図3を参考に各箱を別々に囲み、相手と向きを矢印に添えます。その後に2式を足せば、どの項がなぜ消えるか追えます。別の誤りは、同じ箱が受ける外力と接触力を作用反作用と呼ぶことです。2力は同じ受け手に働くので組ではありません。相手の物体が受ける反対向きの力を探してください。

加速度が0なら力がないと考えるのも危険です。左右から同じ大きさで押される箱には、合力が0でも接触力が働き得ます。反対に、接触力が正と求まっても、その値だけで床との鉛直接触は保証されません。鉛直方向の垂直抗力も条件に応じて確かめます。

練習問題

各問で箱の回転を無視し、水平面は滑らかとします。数値は正確な整数または分数で、単位と向きも答えてください。

1. 左から1 kg、4 kgの箱を並べ、左端を右に15 Nで押します。加速度と箱の間の接触力を求めてください。
2. 左から3 kg、2 kgの箱を並べ、右端を左に20 Nで押します。加速度と接触力を求めてください。
3. 左から2 kg、1 kg、3 kgの箱を並べ、左端を右に12 Nで押します。加速度と、左から2番目と3番目の箱の間の接触力を求めてください。
4. 左の5 kgの箱を右に21 N、右の2 kgの箱を左に7 Nで押します。両箱が接触したまま動けるか、加速度と接触力を求めて判断してください。
5. 接した左の2 kgと右の3 kgの箱を、それぞれ左に4 N、右に9 Nで引きます。箱は接着されていません。接触したままという仮定の適否と、離れた後の各加速度を求めてください。

練習の答えと途中式

1. 全体では5a = 15よりa = 3 m/s²です。右箱ではC = 4・3 = 12 Nで右向きです。左箱に戻すと15 − 12 = 3 Nで、1 kgに3 m/s²を与えます。Cは正なので押し合う条件を満たします。

2. 左向きを正にすると5a = 20よりa = 4 m/s²です。左箱の式はC = 3・4 = 12 Nです。右箱に戻せば20 − 12 = 8 Nで、2 kgに4 m/s²を与えます。接触力は正であり、左箱が受ける方向は左です。

3. 全体の式は6a = 12なのでa = 2 m/s²です。右端の3 kgを取り出すとC = 3・2 = 6 Nで右向きです。左2箱をまとめると12 − 6 = (1 + 2)・2となります。もう一方の境目は右2箱をまとめて8 Nと求まり、各接触力は正です。

4. 右向きを正として7a = 21 − 7、a = 2 m/s²です。右箱の式はC − 7 = 2・2なのでC = 11 Nです。左箱でも21 − 11 = 5・2です。接触力は正なので接触の仮定と矛盾せず、加速度は右向き2 m/s²です。

5. 接触を仮定して右向きを正に取ると、5a = 9 − 4よりa = 1 m/s²です。右箱の式は9 + C = 3・1で、C = -6 Nとなります。ここでCを左箱が右箱に及ぼす右向きの押す力と定めました。負の値は接着のない箱に引く力を要求するので仮定は不適です。離れた後は接触力0で、左箱は4/2 = 2 m/s²で左向き、右箱は9/3 = 3 m/s²で右向きです。各質量と加速度の積は元の4 N、9 Nに戻り、互いに離れる向きです。

手元に残す要点

• 系を囲み、外から受ける力と内力を分けます。
• 作用反作用は異なる物体に働き、全体系の式では相殺します。
• 共通加速度を全体で求め、接触力は片側の式で求めます。
• 接触力が負なら、押し合う接触の仮定を見直します。
• 答えを各物体の力と加速度に戻します。

式が書けなくなったら、まず矢印の始点がどの箱かを指で追ってください。全体の式と片側の式を並べ、消えた力を再び取り出せるかが確認点です。個別指導で確かめるなら、自分で選んだ境界を図に描き、接触力が内力から外力に変わる理由を式と言葉で説明してみてください。境界を変えると、同じ運動の見え方が変わります。