高校物理 力学 斜方投射と標的—高さが異なる着地点への到達条件を時刻から組み立てる｜武蔵野個別指導塾

高い棚を狙う球の正の到達時刻と必要な速さを、座標と軌道の両方から調べる斜方投射。

よくあるのは、高校生が高い棚に向けて球を投げる問題で、発射点と同じ高さに戻る射程の公式をそのまま使う場面です。棚の高さでは球はまだ上昇中かもしれず、下降中に通ることもあります。横の距離と高さを同じ時刻に満たすか調べれば、この違いを区別できます。

球を点とみなし、空気抵抗を無視します。棚や床に途中でぶつからないものとし、衝突後の運動は扱いません。発射方向と標的が同じ鉛直面内にある理想化です。実際の球の大きさや棚の縁が無視できないときは、球の中心の軌道が点に達するという条件だけでは命中を保証できません。

棚を狙う問いの種類

投射角と速さが与えられたら、標的の水平位置に達する時刻を先に求め、その時の高さを比較できます。逆に角度と標的の位置が決まっていて速さが未知なら、水平の式から時間を速さで表して鉛直の式に代入します。さらに、標的が届く範囲にあるかを問う場合は、得た速さの二乗が正か、時間が正かを調べます。

同じ高さへの射程は、鉛直変位を0とする特別な条件から出る式です。高さが異なる棚に使うと、球が棚の水平位置に来る時刻と、発射点の高さへ戻る時刻を取り違えます。問題文に書かれた高さの基準と、球が発射された後を考えるという条件を、式より先に記します。

2方向の時計は共通です

発射点を原点O、水平右向きをx軸、鉛直上向きをy軸にします。初速の大きさをv、水平から上向きの角をθ、重力加速度の大きさをgとします。ここではv > 0、g > 0、0 < θ < 90°とし、標的は右側の座標(X, Y)、X > 0に置きます。Yは発射点より高ければ正、低ければ負です。

図1のように、初速度は水平成分v cos θと鉛直成分v sin θに分けます。水平には加速度がなく、鉛直には下向きに大きさgの加速度があります。成分の運動は別々に計算できますが、同じ球の位置なので時刻tは共通です。

図1の標的までの水平変位がX、鉛直変位がYです。発射後の位置は、等加速度運動の式から次のように表せます。

x = v cos θ・t
y = v sin θ・t - (1/2)gt²

標的に達するならx = X、y = Yを同じ正のtで満たします。水平成分は正ですから、水平の式からt = X/(v cos θ) > 0と定まります。鉛直成分だけを見て得た時刻を採用する前に、水平位置も照合する必要があります。

この時刻を鉛直の式へ代入すると、軌道上の高さと標的の条件は次のようになります。

Y = X tan θ - gX²/(2v² cos² θ)
v² = gX²/[2 cos² θ・(X tan θ - Y)]

分母のX tan θ − Yは、重力がなければ標的の水平位置で到達する直線の高さと、標的の高さとの差です。有限の正の速さで到達するには、この差が正でなければなりません。差が0なら重力による落下分を0にする有限の速さはなく、負なら軌道は直線より低いため到達できません。X > 0、g > 0の下で差が正なら、上の式は正のvを1つ定め、その水平時刻も正です。これで必要条件と十分条件の両方を確認できます。

式の単位も調べます。分子gX²はm³/s²、分母の高さの差はmなので、右辺はm²/s²となりv²に合います。速さを大きくすると水平位置に達するまでの時間が短くなり、重力による落下分は小さくなります。ただし有限の速さでは落下分は正のままです。標的が低い場合も同じ式を使えますが、床などが途中にあれば、その前に遮られないことは別に調べます。

基本例題：高い棚に達する速さ

発射点から水平に8 m、鉛直上に3 mの標的を狙います。投射角は45°、重力加速度の大きさは計算用に9.8 m/s²とします。空気抵抗と障害物を無視し、必要な初速を根号を用いてm/s単位で求めてください。sin 45° = cos 45° = 1/√2とします。

図2のように標的は発射方向を延長した直線より下です。水平速度と鉛直初速度はいずれもv/√2なので、標的に達する時刻をtとすると次の式です。

8 = (v/√2)t
3 = (v/√2)t - 4.9t²
3 = 8 - 4.9t²
t² = 50/49
t = 5√2/7 s
v = 8√2/t
v = 56/5 m/s

tは発射後なので正の根を選びます。答えは56/5 m/sです。図2の位置へ戻すと、水平変位は(56/5√2)・(5√2/7) = 8 m、鉛直変位は8 − 4.9・50/49 = 3 mです。同じ正の時刻で両方が成立します。数値が有限で得られた理由は、発射方向の直線の高さ8 mが標的の3 mを上回るためです。

標準例題：与えられた速さで通過する高さ

小球を初速20 m/s、水平から30°上向きに投射します。発射点から水平に10√3 m離れた鉛直線を横切るときの高さを、発射点を基準に分数でm単位で求めてください。g = 9.8 m/s²、sin 30° = 1/2、cos 30° = √3/2とし、途中の障害物と空気抵抗は無視します。

水平速度は10√3 m/s、鉛直初速度は10 m/sです。標的の水平位置に来る時刻と高さは次のとおりです。

t = 10√3/(10√3)
t = 1 s
y = 10・1 - 4.9・1²
y = 51/10 m

答えは51/10 mです。1 sで水平変位が10√3 m、鉛直変位が51/10 mとなるので、指定された鉛直線上の高さに戻せます。このとき鉛直速度は10 − 9.8 = 0.2 m/sで正ですから、球はまだ上昇中です。同じ高さを下降中にも通る可能性はありますが、その時の水平位置は別です。高さだけから命中を判定してはいけません。

発展例題：届く高さの境界と別解

水平距離12 mの標的に向け、45°の角度で球を投射します。g = 9.8 m/s²、空気抵抗と障害物を無視します。標的の高さHが発射点から4 m、12 m、15 mの各場合について、有限の正の初速で到達できるか判定し、可能なら速さを根号でm/s単位に求めてください。sin 45° = cos 45° = 1/√2とします。

水平と鉛直の初速度が等しいので、水平距離12 mを進む間の鉛直の等速成分による変位も12 mです。重力による落下分を引くと、標的に達する条件はH = 12 − 4.9t²です。

H = 4 mならt² = 80/49、正の時刻は4√5/7 sです。水平式からv = 12√2/t = 21√10/5 m/sです。戻して確認すると水平変位は12 m、鉛直変位は12 − 4.9・80/49 = 4 mです。

H = 12 mならt = 0しか式を満たしません。しかし水平に12 m進むには有限の速さで正の時間が必要です。したがって到達できません。H = 15 mではt²が負となり、実数の時刻がありません。発射方向の直線より上には重力によって曲がる軌道は届かない、と図形的にも判断できます。

別解として軌道式にX = 12 m、tan 45° = 1、cos² 45° = 1/2を入れると、H = 12 − 9.8・144/v²です。H = 4ならv² = 882/5で、正の根は21√10/5 m/sです。Hが12以上なら有限の正のvでは右辺が12未満なので不可能です。軌道式は高さの境界を見やすくしますが、途中で時間を消しているため、適用する前に水平速度が正であることと発射後の時刻を確認します。鉛直だけの二次方程式を使う方法は上昇と下降の両時刻を調べられる一方、それぞれで水平位置を照合する手間があります。

画像から軌道を測るには

学校の指導の下、安全な装置と受け止め場所を使って投射を観察します。投射角を固定し、独立変数として初速を変え、同じ水平位置での球の中心の高さを画像から読みます。発射点、角度、標的の水平位置、撮影位置をそろえ、各条件を繰り返します。装置の表示値を初速とする場合も、画像から推定した水平速度と照らすと発射条件のばらつきに気づけます。

カメラの画面に運動面と同じ面の長さの目盛りを置き、画面に垂直な方向から撮ります。斜めに撮ると画面上の距離が実際と比例しにくくなります。球が目盛りの面から奥行き方向にずれる場合も見かけの位置が変わるため、1台の画像だけでは奥行きのずれを切り分けにくいことに注意します。映像の各コマで中心を読み、時刻はコマ間隔から決めます。発射の瞬間がコマの間にあると、時刻の原点には幅が生じます。

角度とXが一定なら、横軸を1/v²、縦軸を高さYとした理想モデルは直線です。軸の単位はそれぞれs²/m²、mで、切片はX tan θ、傾きは -gX²/(2 cos² θ)です。切片は1/v²を0へ延長した値であり、有限の速さで実際に得た高さではありません。例えば同じ測定範囲で直線に近いかを見てから外挿し、広い範囲まで成り立つと決めつけないようにします。

目盛りの長さを読み違えると全位置が同じ方向にずれ、傾きや切片に系統的な偏りが生じます。画像のぼけや中心の選び方の揺れは、繰り返しで散らばりとして現れます。散らばりを平均しても、カメラの傾きなどによる共通の偏りは消えません。点が曲線から外れた場合は、風や抵抗、角度の変化、位置の読み取りを順に検討し、測定の失敗とモデルの不足を区別します。

射程の式を棚に持ち込んだら

誤答の例は、標的の高さを見ずに、同じ高さに戻る距離R = v² sin 2θ/gを棚までの距離Xと置くことです。図3のように、このRの終点はy = 0の点です。高い棚の点はその途中にあり、同じ水平位置に来たときの高さを別に計算しなければなりません。

図3で射程の終点と棚の点は同じではありません。原因は、射程の導出でy = 0と置いた条件が式から見えなくなることです。修正するときは、まず棚の座標を(X, Y)と書き、水平式から正の時刻を求め、その時刻を鉛直式へ入れます。Y = 0なら同じ高さの式に戻ることも確認できます。

別の誤りは、鉛直の式から得た2つの正の時刻をどちらも命中時刻とすることです。同じ高さを2回通っても水平位置は変わります。各時刻をx = v cos θ・tへ戻し、標的のXと一致する方を選びます。正の時刻がなくても二乗した式の形式だけで答えを作る誤りもあります。発射方向の直線上やその上では、有限の速さが得られないことを分母の符号で確かめます。

練習：位置と時刻を照らす

いずれも球を点とし、空気抵抗と途中の障害物を無視します。g = 9.8 m/s²、sin 45° = cos 45° = 1/√2、sin 30° = 1/2、cos 30° = √3/2とします。答えは指定した形で求めてください。

1. 球を45°上向きに初速14√2 m/sで投射します。水平に14 m進んだときの高さを分数でm単位に求めてください。
2. 球を30°上向きに初速20 m/sで投射します。発射点より5.1 m高い位置を通る正の時刻をすべて、分数でs単位に求めてください。それぞれの水平位置も根号と分数でm単位に求めてください。
3. 45°上向きに投射し、水平距離10 m、高さ5.1 mの点に届かせます。初速を根号でm/s単位に求めてください。
4. 45°上向きに投射して水平距離6 mの点を狙います。高さ6 mと7 mの各点に有限の正の速さで届くか、理由とともに答えてください。
5. 初速10√2 m/s、45°上向きの球について、水平距離20 m、高さ0 mの点に到達するか判定してください。水平位置に達する時刻とその高さを分数で示してください。

練習の解答

1. 水平速度と鉛直初速度は14 m/sです。水平14 mに達するのはt = 1 s、高さは14 − 4.9 = 91/10 mです。元の場面でも1 sの水平変位は14 mで、鉛直変位は91/10 mです。

2. 鉛直変位の式は5.1 = 10t − 4.9t²です。整理すると49t² − 100t + 51 = 0、すなわち(t − 1)(49t − 51) = 0です。正の時刻は1 sと51/49 s、水平位置はそれぞれ10√3 mと510√3/49 mです。各時刻の鉛直変位を戻すと、前者は10 − 4.9 = 5.1 m、後者は510/49 − (49/10)・(51/49)² = 51/10 mです。2回の位置が違うことも確かめられます。

3. 45°なので、水平10 mに達するときの鉛直変位は10 − 4.9t²です。5.1 = 10 − 4.9t²からt = 1 sを選びます。10 = (v/√2)・1よりv = 10√2 m/sです。水平10 m、鉛直10 − 4.9 = 5.1 mとなり、条件へ戻ります。

4. どちらも届きません。水平6 mに達する正の時刻tでは高さが6 − 4.9t²となり、6 mより必ず低いためです。6 mは境界で、7 mは発射方向の直線より上です。有限の初速でt = 0とすることはできません。

5. 水平速度は10 m/sなので、20 mに達する時刻は2 sです。その高さは10・2 − 4.9・2² = 2/5 mであり、0 mの点には届きません。逆にこの時刻を水平式に戻すと10・2 = 20 mなので、比較した高さは指定された水平位置での値です。

手元に残す5行

水平と鉛直には同じ時刻を使います。 標的の高さは発射点を基準に符号をつけます。 有限の速さで届くには標的が発射方向の直線より下に必要です。 解いた時刻は正か、座標は両方一致するかを確かめます。 同じ高さの射程は鉛直変位が0の場合の結果です。

式が立たないときは、まず発射点と標的を描き、座標の正方向を矢印で示してください。個別指導で確かめるなら、水平位置を決める時刻と、その時刻の鉛直位置を別々に説明できるかを見ます。答えの数字を元の2本の式へ戻せば、標的に届くかどうかが判定できます。