高校物理 力学 相対速度と最接近—観測する立場を固定して距離が最小になる条件を探る｜武蔵野個別指導塾

交差する点検車の到着時刻と距離が最小になる時刻を比べ、相対位置の直線と観測区間から探るのは最接近です。

よくあるのは、交差する通路を一定の速さで進む2台の点検車について、高校生が交点に着く時刻を調べ、どちらかが交点にいる瞬間を最接近と決める場面です。到着時刻は衝突の可能性を考える手がかりですが、別々の時刻の位置を比べても、その瞬間の2台の距離は得られません。

例えば先に交点を通った車が離れ始めても、もう1台はまだ交点に近づいています。両方の移動を同じ時計で追ったとき、距離の減少と増加が切り替わる位置を探します。車の大きさはひとまず無視し、同じ平面を等速度で直進する質点として扱います。進路を変える場合や車体の接触判定は、このモデルとは分けて考えます。

どの時刻を候補にするか

問いには大きく3つの型があります。2台の位置と速度が与えられ、観測開始後に最も近づく時刻と距離を求める型。観測の終了時刻が決まっていて、その区間内で最小を選ぶ型。そして最小距離と指定された距離を比べる型です。いずれも、同じ時刻の位置の差を先に作ります。

直線の交点は各車の経路が交わる位置です。2台がそこで同時に到着すれば距離は0ですが、時刻が違えば交点での衝突は起こりません。それでも、最接近の時刻は2つの到着時刻の間に限られるとは一般にはいえません。進路の角度や速さも距離の変化に関わるからです。

また、直線を過去まで延長して得た最小時刻が負なら、観測開始後の答えに使えません。速度が等しいときは相対位置が動かず、垂直条件を使って時刻を1つに決めることもできません。式を解く前に、何秒から何秒までを比較するのかを明記します。

片方から見た位置を描く

地面に固定した直交座標を取り、時刻0の位置をA、Bそれぞれ (xₐ, yₐ)、(xᵦ, yᵦ)、一定の速度成分を (vₐₓ, vₐᵧ)、(vᵦₓ, vᵦᵧ) とします。位置と速度は向きを持つ量です。ここでは成分で計算し、各成分の正負は座標軸に合わせます。

AからBへ向かう相対位置の成分を (X, Y)、BのAに対する相対速度の成分を (U, V) と置くと、時刻0では次の関係です。

X = xᵦ - xₐ
Y = yᵦ - yₐ
U = vᵦₓ - vₐₓ
V = vᵦᵧ - vₐᵧ

時刻tにAから見たBの位置は (X + Ut, Y + Vt) です。地面から見たそれぞれの位置を同じ時刻で引けば、この式が得られます。Aを図の原点に固定すると、Bは相対速度 (U, V) で直線上を動きます。図1のように、その直線と原点の間で最も短い線分を考えます。

図1では、Pが開始時のBの相対位置、Hが原点から直線に下ろした垂線の足です。Hが観測できる区間に入るなら、線分AHが最短距離です。相対速度は直線に沿うので、その瞬間の相対位置と相対速度は垂直です。Hが区間外にあるときは、図の直線を観測区間に切り詰め、近い端点を選びます。

垂直条件を成分で書くと、相対位置と相対速度の内積が0です。内積は対応する成分の積の和で、2つの向きのなす角が直角なら0になります。

(X + Ut)U + (Y + Vt)V = 0
(XU + YV) + (U² + V²)t = 0
t = -(XU + YV)/(U² + V²)

この時刻をt₀と呼びます。分母が正なのは、UとVの少なくとも一方が0でないときです。分母の単位はm²/s²、分子の単位はm²/sなので、t₀の単位はsになります。開始位置と相対速度の向きが逆方向を含むとき、内積は負となり、t₀は正です。

なぜ垂直な点が最小かは、直角三角形から確かめられます。直線上の別の点をQとすると、AQ² = AH² + HQ²です。HQ²は負にならないため、Hより近い点はありません。垂直条件は最小の必要条件というだけでなく、この直線運動では最小を与えます。

別の表し方では距離の二乗を平方完成します。距離は0以上なので、距離を最小にする時刻と距離の二乗を最小にする時刻は一致します。

D² = (X + Ut)² + (Y + Vt)²
D² = (U² + V²)(t - t₀)² + D₀²
D₀² = X² + Y² - (XU + YV)²/(U² + V²)

D₀は直線を時間の両方向に延長したときの最小距離です。平方の項が0になる時刻がt₀であることも、同じ結論を示します。t₀が観測範囲外なら、範囲内でt₀に最も近い端の時刻を代入します。開始時点で相対位置と相対速度が垂直ならt₀ = 0、開始直後から離れます。

U = V = 0では分母が0です。このとき2台の速度が等しく、相対位置は変化しません。距離は常に√(X² + Y²)で、観測区間のどの時刻も最小です。相対位置も初めから0なら、質点としては重なったままです。この場合に上の分数を使うと、存在しない割り算になります。

基本例題：交点に着く時刻と比べる

水平な床の交差する通路を、点検車Aは時刻0に (0, 0) mからx軸の正方向へ2 m/sで、Bは (6, 8) mからy軸の負方向へ2 m/sで進みます。両車を質点とし、その後も等速度で直進するとします。時刻0以後の最接近時刻を分数の秒、最小距離を根号を含む形のmで求めてください。図2は開始時の配置を示す模式図です。

Aは交点 (6, 0) に3 sで、Bは4 sで着きます。時刻は一致しないので交点で衝突しません。ただし、どちらかの到着時刻が距離の最小時刻であるとはまだ決まりません。

AからBを見ます。相対位置は (6, 8) m、相対速度は (-2, -2) m/sです。図2の矢印は地面から見た各車の速度であり、相対速度はそれらの差として別に作ります。

t₀ = -{6・(-2) + 8・(-2)}/{(-2)² + (-2)²}
t₀ = 28/8
t₀ = 7/2 s

正の時刻なので求める範囲に入ります。このときAは (7, 0) m、Bは (6, 1) mにあり、AからBへの位置は (-1, 1) mです。よって距離は√2 mです。相対速度との内積は (-1)・(-2) + 1・(-2) = 0 で、垂直条件も満たします。

場面へ戻すと、Aは7 m、Bは7 m進み、開始位置と各車の速さに一致します。交点到着時刻の間に最接近があるのは、この数値と直交する進路による結果です。到着時刻の平均を一般則として使ってはいけません。

標準例題：記録が途中で終わるとき

2台の小型移動体C、Dが直線運動します。時刻0のCは (0, 0) m、Dは (12, 5) mです。Cは静止し、Dはx軸の負方向へ3 m/sで進みます。0 sから2 sまで記録するとき、この区間の最接近時刻を整数の秒、最小距離を根号を含む形のmで求めてください。

CからDへの相対位置は (12 − 3t, 5) mです。直線全体で最短になるのはx成分が0になる4 sですが、記録は2 sで終わります。0 sから2 sではx成分は12から6へ減り、y成分は5のままです。距離も減り続けるので、記録区間の端である2 sを選びます。

D² = (12 - 3t)² + 5²
D² = 9(t - 4)² + 25
D² = 61  （t = 2）

答えは2 s、√61 mです。Dは2 sで負のx方向に6 m進み、位置は (6, 5) mになります。Cからの差は (6, 5) mなので距離は√61 mと戻して確かめられます。4 sと5 mは運動を記録終了後まで続けた場合の結果であり、この問いの答えではありません。

もし区間を0 sから6 sへ延ばせば、4 sが区間の内部に入ります。逆に開始時刻が4 sより後なら距離は増加中なので、区間の始点を選びます。区間の端と垂線の足のどちらが候補かを図で確認すると、計算した時刻を無条件に採用する間違いを防げます。

発展例題：斜めの相対運動を2通りで解く

平面上の点A、Bは時刻0にそれぞれ (0, 0) m、(8, 6) mにあります。Aの速度は (1, 1) m/s、Bの速度は (-1, 0) m/sで一定です。時刻0以後の最接近時刻を分数の秒、最小距離を分母が整数となる根号を含む形のmで求めてください。

相対位置は (8 − 2t, 6 − t) m、相対速度は (-2, -1) m/sです。垂直条件から次のように解きます。

(8 - 2t)(-2) + (6 - t)(-1) = 0
-22 + 5t = 0
t = 22/5 s

この時刻は正です。相対位置は (-4/5, 8/5) mなので、距離は√(80/25) = 4√5/5 mです。地面から見るとAは (22/5, 22/5) m、Bは (18/5, 6) mです。引き算は確かに (-4/5, 8/5) mとなります。Aは各成分について22/5 m進み、Bのx座標は8 mから22/5 m減っています。どちらも与えられた速度と経過時間に一致します。

別解として、相対位置の直線と原点で三角形を作ります。初めの相対位置の長さは10 m、相対速度の大きさは√5 m/sです。初めの相対位置 (8, 6) と相対速度 (-2, -1) で作る平行四辺形の面積は、成分から |8・(-1) − 6・(-2)| = 4 です。一方、同じ面積は底辺の長さ√5と、原点から相対運動の直線までの距離の積です。最短距離は4/√5 = 4√5/5 mと求まります。

この面積の方法は最短距離に便利ですが、垂線の足が観測区間に入るかは別に判定します。また、相対速度が0なら底辺がなく、割り算はできません。時刻と範囲を同時に調べるには、垂直条件か平方完成が使いやすい方法です。

模型の記録から近づき方を調べる

平らな場所に座標の目盛りを置き、2台の低速の模型を別々の直線に沿って動かすことを考えます。作業は学校の指導の下で行い、模型の進路が交わるときは接触しない配置と速度を選びます。上から撮影した同じ時刻の画像を使い、それぞれの基準点のx、y座標を読み取ります。模型の大きさを無視する比較では、毎回同じ基準点を使います。

時間を独立変数とし、各時刻の相対位置と距離を測定量にします。進路、開始位置、目盛り、カメラの位置をそろえ、開始の合図を変えて複数回記録します。各車の速さが時間とともに大きく変わる記録は、等速度の直線モデルをそのまま当てはめる対象から分けます。速さの変化が小さい範囲を選んだ理由と、使わなかった記録も残します。

距離のグラフでは横軸を時刻t（s）、縦軸を距離D（m）とします。最も低い点の時刻が最接近の候補です。点が粗い間隔でしか得られない場合、最も低い測定点の間にも真の最小がありえます。その測定点を挟む前後の区間を示し、細かい時間間隔の記録で確かめます。距離のグラフの面積や傾きが、そのまま最小距離を表すわけではありません。

相対位置の各成分を時刻に対して描くと、等速度ならそれぞれ直線になります。横軸をt（s）、縦軸をX成分またはY成分（m）とすれば、傾きは各方向の相対速度（m/s）です。例えば練習用の自作データで、Xが0 sに8 m、1 sに6 m、2 sに4 mなら傾きは-2 m/sです。Yが同じ時刻に6 m、5 m、4 mなら傾きは-1 m/sです。これらは測定結果ではなく、直線の読み方を確かめるための値です。

カメラが斜めなら場所によって尺度が変わり、距離が系統的にずれることがあります。画像の時刻を別々に選ぶと、同時刻の位置の差にならず、相対速度にもずれが生じます。目盛りを床面に置き、画面の複数箇所で尺度を確認し、同じ画像から両方の位置を読みます。基準点の読み違いや合図のばらつきは偶然誤差を生みます。反復して散らばりを調べ、単発の値だけで傾きや最小距離を断定しません。反復しても共通の尺度のずれは残るため、繰り返しと較正は別の役割です。

誤答を位置の差まで戻して直す

図3のように、異なる時刻にそれぞれの車が交点に着く事実から、2台の距離が0になったと答える誤りがあります。原因は、Aの位置とBの位置を別々の時刻で比較していることです。同じ交点を通っていても、同時にそこにいなければ距離0にはなりません。

直し方は、1つの時刻を選び、その瞬間の両方の位置を並べることです。基本例題の3 sではAは交点にいますが、Bは (6, 2) mにいます。距離は2 mです。4 sではBが交点にいますが、Aは (8, 0) mで、やはり距離は2 mです。その間の7/2 sでは両車とも交点から離れた位置にありながら、互いの距離は√2 mまで縮みます。

別の誤りは、相対速度を各車の速さの和とすることです。速さは向きの情報を持たず、直交する2つの速度を単純に足しても相対速度の成分にはなりません。Bの速度からAの速度を成分ごとに引き、その結果の大きさが必要なときに初めて二乗和の平方根を取ります。

もう1つは、垂直条件の解が負でも、そのまま開始後の答えとすることです。相対位置の直線は過去へも延ばせますが、観測区間は問題が指定します。開始後にすでに遠ざかっているなら、開始時が最接近です。図の足と区間の位置関係を確認し、端点も候補に残します。

自分で確かめる5問

次の各問では2点を質点とし、与えられた速度で等速度直線運動するとします。距離はm、時刻はsで表し、指定された形で答えてください。

1. Aは原点で静止し、Bは時刻0に (9, 12) mから速度 (-3, -4) m/sで進みます。時刻0以後の最接近時刻と距離を整数で求めてください。
2. Cは原点で静止し、Dは (10, 4) mから速度 (-2, 0) m/sで進みます。0 sから3 sまでの最接近時刻を整数、距離を根号を含む形で求めてください。
3. Eは原点で静止し、Fは (4, 3) mから速度 (1, 2) m/sで進みます。時刻0以後の最接近時刻と距離を整数で求めてください。
4. Gは (1, 2) m、Hは (4, 6) mにあり、両方の速度は (2, -1) m/sです。0 sから5 sまでの最接近時刻と距離を求めてください。距離は整数で答え、時刻は該当する範囲を示してください。
5. Jは (0, 0) mから速度 (1, 0) m/s、Kは (6, 0) mから速度 (0, 2) m/sで進みます。時刻0以後の最接近時刻を分数、距離を分母が整数となる根号を含む形で求め、2点が一致するかも答えてください。

5問の答えと道筋

1. 相対位置は (9 − 3t, 12 − 4t) mです。内積の式は (9 − 3t)(-3) + (12 − 4t)(-4) = 0、つまり -75 + 25t = 0 です。t = 3 sで位置は (0, 0) m、距離は0 mです。Bが3 sで (-9, -12) m移動することから、開始位置に戻しても原点へ達します。
2. 相対位置は (10 − 2t, 4) m、直線全体での垂線の足は5 sに対応します。指定の3 sまでには到達しないので、区間の終点3 sが答えです。このとき差は (4, 4) mで、距離は√32 = 4√2 mです。Dが6 m進むとx座標は4 mとなり、場面と一致します。
3. 内積から4・1 + 3・2 = 10、速度成分の二乗和は5なので、直線を延ばした最小時刻は-2 sです。観測範囲より前のため、答えは0 s、距離は√(4² + 3²) = 5 mです。以後は両成分が正の方向へ増え、原点から離れることでも確認できます。
4. HからGを引くと相対位置は (3, 4) m、相対速度は (0, 0) m/sです。差は変わらず距離は5 mで、0 s以上5 s以下のどの時刻も最接近です。例えば5 sにはGが (11, -3) m、Hが (14, 1) mとなり、差は元の (3, 4) mに戻ります。
5. JからKを見た相対位置は (6 − t, 2t) mです。相対速度は (-1, 2) m/sなので、垂直条件は -(6 − t) + 4t = 0 です。t = 6/5 sで差は (24/5, 12/5) mとなります。距離は√720/5 = 12√5/5 mです。正の距離が残るので2点は一致しません。Jの位置 (6/5, 0) mとKの位置 (6, 12/5) mを直接引いても同じ差になります。

位置と速度を結び直す

同じ時刻の位置を引くと、相対位置が得られます。 相対速度は同じ順序で速度を引きます。 相対速度が0でなければ、垂線の足が直線全体の最短点です。 足が観測区間の外にある場合は、近い端点を選びます。 相対速度が0なら距離は一定です。

式の途中で迷ったら、紙に2台の開始位置と速度の矢印を描き、どちらからどちらを見た差なのかを書き添えてみてください。相対位置と相対速度の引く順序がそろっているか、求めた時刻が観測区間に入るかを、自分の言葉で説明できるでしょうか。個別指導の場でも、答えの数値だけでなく、同じ時刻の2位置と垂直条件を図に戻して確かめられます。最接近は、2台を1つの時計で見続けたときの距離から決まります。