高校物理 力学 位置と速度のグラフ—折り返しを含む運動で傾きと面積を対応させる｜武蔵野個別指導塾

往復する搬送台の速度時間図を正負に分け、変位と道のりの違いを折り返しの面積から読み取ります。

よくあるのは、往復する搬送台の記録を前に、高校生が時間軸より下の面積を道のりから引いてしまう場面です。出発点からの位置は戻る間に減りますが、台が通った道は戻る間も長くなります。同じ図から異なる量を求めるため、まず何を足しているのかを区別しましょう。

直線上に目盛りを置き、右向きを正とします。位置はその目盛り上の座標、変位は終点の座標から始点の座標を引いたものです。道のりは実際に通った部分の長さを、往路も復路も正として足したものです。出発点へ戻れば変位は0ですが、動いた道のりまで0にはなりません。

グラフから問われること

位置と時刻の点を結んだグラフから、区間ごとの速度や向きの変化を読む型があります。横軸は時刻、縦軸は位置です。右上がりなら正向き、右下がりなら負向きに動きます。水平ならその区間は静止しています。線が下にあることと右下がりであることは別の情報です。位置が負でも、右上がりなら正向きの運動です。

速度と時刻のグラフから、変位や道のりを求める型もあります。横軸より上と下の面積を符号つきで加えると変位になり、面積の大きさを足すと道のりになります。軸との交点が折り返しの候補です。ただし速度が0になっても、その前後で符号が同じなら折り返しではありません。

さらに、位置の測定点を一定時間ごとに取って速度を推定し、時間刻みの影響を比べる型があります。測定点を結ぶ直線の傾きは、その間の平均速度です。加速度がある区間を長い直線で結べば、その途中の速度の変化や短い往復を見落とすことがあります。以下は直線上の区分的な等速運動と等加速度運動を扱い、区間の境目では位置が連続するとします。

傾きと面積が表す量

位置をx、時刻をtとします。時刻t₁からt₂までの平均速度は、位置の変化を経過時間で割った (x₂ − x₁)/(t₂ − t₁) です。位置時間図では2点を結ぶ線の傾きにあたり、単位はm/sです。位置の高さ自体は速度ではありません。グラフの原点をどこに取るかで位置は変わっても、同じ区間の位置の差と傾きは変わりません。

等速区間の速度をv、時間幅をΔtとすれば、定義を変形して変位はvΔtです。速度時間図で横幅Δt、縦の高さvの長方形を考えると、この積が符号つき面積になります。vが負なら位置は減るため、時間軸より下の面積に負の符号を付けます。時間幅は常に正であり、負になるのは速度の向きです。

等加速度区間では速度が時刻に対して直線的に変化します。初速度をu、終速度をw、時間幅をTとすると、その区間の平均速度は (u + w)/2 です。したがって変位は (u + w)T/2 となります。これは速度時間図の台形の符号つき面積と一致します。速度が途中で負に変わる場合も、この式は正負の面積の差を表します。道のりを求めるときは速度0の時刻で区間を分け、面積の大きさを別々に足します。

図1のように、同じ時間幅でも位置の変化には向きがあります。上側の面積をA、下側の面積の大きさをBとすると、変位はA − B、道のりはA + Bです。面積の単位は (m/s)・s なのでmです。AとBが等しいと変位は0になり、道のりは2Aになります。これは往復して元の位置へ戻る条件と合います。

図1の下側の部分を負の面積と呼ぶとき、その幾何学的な大きさBは正として扱っています。A − BでBをもう一度負にすると符号を二重に付けるため、記号の意味を先に決めましょう。速度の符号が変わると位置時間図の傾きも変わり、正から負なら位置は極大になります。速度が負から正なら位置は極小です。

等加速度の間、位置時間図は曲線になります。その2点を結ぶ傾きは平均速度で、ある瞬間の速度はその点での接線の傾きです。曲線が横軸より高いかどうかではなく、接線が右上がりか右下がりかに注目します。曲線の頂点では傾きが0になり、前後の傾きの符号が変わると折り返します。

基本例題：一定の速さで往復する台

搬送台は原点から正向きに2 m/sで3 s進み、その後、負向きに1 m/sで2 s進みます。各区間では等速で、向きは境目で切り替わるものとします。5 s後の位置、変位、道のりをm単位の整数で求めてください。

図2のように、最初の長方形は時間幅3 s、高さ2 m/sです。次は時間幅2 s、高さの大きさ1 m/sで時間軸より下にあります。出発位置が0 mなので、変位と最後の位置の数値はこの例では一致します。

符号つきの面積を順に加えると、変位は次のようになります。

変位 = 2・3 + (-1)・2
     = 6 - 2
     = 4 m

出発位置0 mを加え、5 s後の位置は4 mです。道のりは6 + 2 = 8 mです。場面に戻すと、3 s後に6 mの位置に着き、そこから2 m戻るので4 mです。往路6 mと復路2 mを足せば8 mとなり、図2の面積の読み方と一致します。

速度が境目で急に変わるという条件は計算用の理想化です。実際に方向を変える台には速度が変化する時間があります。その時間が無視できない測定では、切り替え部分の速度も記録し、その部分の面積を含めます。

標準例題：減速して折り返す

直線上の小車が位置3 mから正向きに出発します。初速度は4 m/s、加速度は一定の-2 m/s²です。出発から4 sの変位、終点の位置、道のりをそれぞれm単位の整数で求めてください。

速度は時刻tにおいて 4 − 2t m/s です。速度0となるのはt = 2 sで、その前は正、後は負なので、そこで折り返します。4 s後の速度は-4 m/sです。速度時間図の最初の三角形の面積は 4・2/2 = 4 m、後の三角形の面積の大きさも4 mです。

変位 = 4 - 4
     = 0 m
終点の位置 = 3 + 0
           = 3 m
道のり = 4 + 4
       = 8 m

折り返し位置は3 + 4 = 7 mで、そこから4 m戻ると3 mです。終速度が初速度と逆向きで同じ大きさなので、速度の平均も0です。時間幅4 sを掛けた変位0 mと一致します。平均速度の絶対値を時間に掛ける方法では、途中の往復を打ち消してしまうので道のりは出ません。

発展例題：いつ出発位置へ戻るか

点検用の移動体は位置0 mから正向きに3 m/sで2 s進みます。その後、速度3 m/sから一定の加速度-1 m/s²で動き続けます。加速度が変わる時刻を2 sとし、速度はそこで連続です。出発位置へ初めて戻る時刻を、出発からの秒数として根号を用いた正確な値で求めてください。戻るまでの道のりもm単位の整数で求めてください。

まず等速区間の変位は6 mです。次の区間の経過時間をτとすると、速度は 3 − τ m/s です。速度0はτ = 3 s、つまり出発から5 sのときです。この時点までの追加の変位は三角形の面積9/2 mなので、最も遠い位置は21/2 mです。その後は負向きに進みます。

出発位置に戻るとき、加速区間の変位は-6 mです。台形の面積から、次の式を得ます。

(3 + 3 - τ)τ/2 = -6
τ² - 6τ - 12 = 0
τ = 3 + √21

負の解は加速区間の開始前にあたり採用できません。したがって戻る時刻は 5 + √21 s、道のりは往路と復路を合わせて21 mです。

別の見方では、折り返し後に出発点まで進む距離21/2 mを、速度0から加速度の大きさ1 m/s²で進む三角形の面積に等しくします。折り返し後の時間をsとすると s²/2 = 21/2、s = √21です。5 + √21 sとなり一致します。この方法は折り返し時刻と位置を先に求める必要がありますが、道のりも直接確かめられます。答えを場面へ戻すと、折り返しまで21/2 m進み、同じ距離を戻って原点に着きます。

時間刻みを変えて位置を測る

直線の目盛りに沿って動く低速の台を用意し、学校の指導の下で安全な範囲を動かします。位置を同じ固定点から読み取り、時刻と組にして記録します。変える条件は位置を記録する時間間隔、測る量は各時刻の位置です。台の経路、原点、正方向、出発条件、読み取る目印をそろえ、同じ条件で繰り返します。危険な速度で衝突させる必要はありません。

例えば練習用の自作データとして、0、1、2、3、4 sの位置を順に0、3、4、3、0 mとします。これは実測結果ではありません。1 sごとの位置差から平均速度は順に3、1、-1、-3 m/sです。2 sごとに読むと平均速度は2、-2 m/sになり、両者とも全変位0 mを再現しますが、速度の変化の細部は粗い記録に現れません。最初と最後だけなら平均速度0 m/sとなり、往復自体を見落とします。

横軸に時刻tをs、縦軸に位置xをmで取り、点を打ちます。隣接点を結んだ傾きはその時間幅の平均速度です。得られた平均速度をそれぞれの時間区間に対応させて描くと、各長方形の面積はその区間の位置差です。軸を取り違えると傾きの単位が逆になるので、作図時に単位も書きます。刻みを短くすると折り返し付近を詳しく追えますが、位置差も小さくなり、読み取り誤差に対する速度の相対的な不確かさが増えることがあります。

目盛りの原点が一定量ずれていれば、各位置に同じずれが入る系統誤差です。同じ定規と目印で差を取ればその一定のずれは相殺されますが、尺度の倍率がずれていれば変位にも影響します。目線の違いや時刻の読み取りのばらつきは、繰り返しで散らばりとして調べられます。反復の平均で偶然のばらつきを小さくしても、同じ向きのずれは消えません。カメラの時刻と位置の対応がずれる場合は同期も確かめます。

記録が欠けた区間では、前後の点を直線で結んで実際の経路を確定できません。途中で折り返した可能性があるからです。装置が停止したり読み取りが不鮮明になったりした場合は、その区間を欠測と記し、条件を整えて測り直します。時間刻みを細かくしても画像がぶれる場合は、速度を落とすか撮影条件を調整し、得られた位置の不確かさとともに比較します。

負の面積を道のりから引いたら

図3のように、正向きに5 m進んでから負向きに2 m戻るとします。誤答は、道のりを 5 − 2 = 3 m とするものです。この3 mは変位であり、進んだ経路の長さではありません。負向きの移動を道のりから消すことが原因です。

修正するときはまず、速度の正負で運動を区切ります。次に各部分の面積の大きさを正の距離として書き、変位なら方向の符号を付け、道のりなら足します。図3では変位3 m、道のり7 mです。始点から終点までの距離3 mは、折り返しを含む道のり7 mとは異なります。

別の誤りは、位置時間図が時間軸より下にあることを理由に速度を負とすることです。位置が負でも増加中なら傾きは正です。また、速度時間図の傾きを変位とする誤りもあります。速度時間図の傾きは速度の変化を時間で割った加速度であり、単位はm/s²です。変位の単位mとは異なります。軸の量と単位を見て、傾きと面積の役割を選び直しましょう。

練習：記録を自分で読み直す

次の5問では正向きを右向きとします。答えは指定の単位で整数または既約分数とし、条件にない桁への丸めは不要です。

1. 台が位置-2 mから2 m/sで4 s進みます。終点の位置と変位をm単位で求めてください。
2. 小車が正向きに3 m/sで2 s、続いて負向きに2 m/sで4 s進みます。変位と道のりをm単位で求めてください。
3. 初速度6 m/s、加速度-2 m/s²の等加速度運動について、出発後5 s間の変位と道のりをm単位で求めてください。
4. 位置が0 sで1 m、2 sで5 m、5 sで-1 mです。各区間を等速とするとき、各区間の速度をm/s単位で求めてください。
5. 速度が最初の2 sで1 m/sから5 m/sまで一定の割合で増え、次の3 sは5 m/sで一定です。全変位をm単位で求めてください。

解答と確かめ

1. 変位は 2・4 = 8 mです。終点は -2 + 8 = 6 mです。終点6 mから始点-2 mを引くと8 mで、正向きに4 s進んだ距離と一致します。
2. 最初の変位は 3・2 = 6 m、次は (-2)・4 = -8 mです。変位は6 − 8 = -2 m、道のりは6 + 8 = 14 mです。6 m進んだ位置から8 m戻れば始点より2 m左で、通った長さは14 mです。
3. 速度0の時刻は 6/2 = 3 sです。前半の面積は 6・3/2 = 9 mです。5 s後の速度は-4 m/sで、後半の面積の大きさは 4・2/2 = 4 mです。変位は9 − 4 = 5 m、道のりは9 + 4 = 13 mです。折り返し位置から4 m戻れば始点より5 m右になり、速度の平均 (6 − 4)/2 に5 sを掛けても5 mです。
4. 最初は (5 − 1)/2 = 2 m/s、次は (-1 − 5)/3 = -2 m/sです。2 m/sで2 s進むと位置1 mから5 mへ移り、-2 m/sで3 s進むとそこから-1 mへ移ります。位置が負になった時刻と、速度が負になった時刻は同じとは限りません。
5. 最初の2 sは台形の面積 (1 + 5)・2/2 = 6 m、次の3 sは 5・3 = 15 mです。全変位は21 mです。前半の平均速度3 m/sで2 s進む6 mと、後半の15 mを足しても21 mになります。速度は全区間で正なので、この場合の道のりも21 mです。

持ち帰る要点

位置時間図の傾きは速度、速度時間図の符号つき面積は変位です。
速度が0を通って符号を変えると、運動の向きが変わります。
道のりには正負それぞれの面積の大きさを足します。
位置の初期値を変位に加えると終点の位置になります。
測定点の間の傾きは平均速度で、細かな往復は記録間隔によって隠れます。

つまずきを見つけるには

答案を見直すとき、最初に正方向と出発位置を図に書きます。次に速度0の時刻を求め、その前後の符号を調べて区間を分けます。各区間について「何m進み、どちら向きか」を言葉にすると、負の面積を道のりから引く間違いが見つかります。

個別指導で確かめるなら、位置時間図と速度時間図を横に並べ、同じ時刻に縦線を引いて位置の増減と速度の符号を説明してみましょう。折り返しを挟む2点の平均速度が0でも、その間に移動した道のりが残ることを、面積と経路の両方で示せれば、2種類の量を使い分けられます。往復の記録は、符号と長さを分けるところから読み解けます。