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高校数学A 線分の内分と外分の作図—平行線の性質を使って指定の比の点を作る｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学A 図形の性質を掘り下げる

等間隔の点と平行線から分点を作り、比が等しい外分の例外まで追う線分の作図。

よくあるのは、高1が線分の長さを目盛りで測り、計算した位置に印を付けて作図を終える場面です。紙の上では近い点を置けても、指定された比が正確に成立する理由は残りません。目盛りのない定規とコンパスを使い、等しい長さを運んで平行線を作れば、元の線分を測らずに分点を決められます。線を引く順序と、できた点が条件を満たす理由をつなげて考えましょう。

どんな形で問われるか

1つ目は、与えられた線分を整数の比に内分する問題です。比の数をそのまま線分上に測るのではなく、別の半直線上に同じ幅を必要な回数だけ取ります。その点と端点を結び、平行線で元の線分へ比を移します。

2つ目は、線分の延長上に外分点を作る問題です。内分と違い、2つの距離の差が元の線分の長さになります。比が大きい側をどちらに置くかによって、延長する方向が変わります。

3つ目は、比の条件を変えて点の個数を問う問題です。特に比が 1:1 の外分では、作図の途中で平行な2直線が現れます。交点を無理に探さず、そもそも条件を満たす点があるか調べる必要があります。

等間隔から平行線へ

異なる2点 A、B に対し、点 P が線分 AB の内部にあり、AP:PB = m:n なら、P は AB を m:n に内分します。点 Q が直線 AB 上で線分の外部にあり、AQ:QB = m:n なら、Q は AB を m:n に外分します。ここで m、n は正の数です。比の順番は、最初が A からの距離、次が B からの距離です。

図1のように、A から AB と異なる向きに半直線を引き、コンパスの開きを変えずに等間隔の点 U、V、W を取ります。W と B を結び、V を通る WB の平行線と AB の交点を P とします。2辺の比が等しい相似な三角形から AP:AB = AV:AW = 2:3 です。したがって PB は AB の 1/3 で、AP:PB = 2:1 です。

図1の補助線は、距離を測るためではなく比を移すためにあります。A、U、V、W はこの順に並び、AU = UV = VW です。三角形 APV と ABW は、A の角を共有し、平行線による同位角が等しいので相似です。対応は A が A、P が B、V が W です。AB と半直線を同一直線にすると三角形ができないので、その向きは避けます。

平行線も目盛りなしで作れます。例えば、直線 l の外に点 X があるとします。l 上の点 Y を選んで XY を引き、Y にある直線 l と XY の角を、コンパスで X に写します。角の写し方は、Y を中心とする円弧が角の2辺と交わる2点の間隔を、同じ半径の X 中心の円弧上へ移す方法です。写した角が対応する同位角になる側に半直線を引き、それを延長すれば l に平行です。円弧の交点は指定した側を選びます。同位角が等しいので平行といえます。

この角の写し取りは有限回の円弧と直線で終わります。定規で引くのは2点を通る直線であり、コンパスで行うのは円や円弧を描く操作です。幅を取るときは正の開きを使い、隣り合う点が一致しないようにします。

基本例題：2:3 の内分点

異なる2点 A、B が与えられています。目盛りのない定規とコンパスで、AB を 2:3 に内分する点 P を作図し、その点が条件を満たすことと解の個数を示してください。

図2のように、まず A から AB と同一直線でない半直線を引きます。コンパスの一定の開きで、半直線上に A から順に U₁、U₂、U₃、U₄、U₅ を取り、隣り合う区間を等しくします。U₅ と B を結び、U₂ を通る U₅B の平行線を角の写し取りで引きます。この平行線と AB の交点を P とします。

図2では U₂ が5区間のうち A から2区間目にあります。三角形 APU₂ と ABU₅ は2組の角が等しいので、対応順に相似です。よって次の式が成り立ちます。

AP/AB = AU₂/AU₅
AP/AB = 2/5
PB/AB = 1 - 2/5
PB/AB = 3/5
AP:PB = 2:3

AP は AB の 2/5 なので、P は確かに A と B の間にあります。AB の長さを L とすると、AP = 2L/5、PB = 3L/5 であり、和は L に戻ります。比も (2L/5):(3L/5) = 2:3 です。

条件を満たす別の内分点があると仮定しても、その点までの距離は同じ計算で A から 2L/5 に定まります。線分上で A からその距離にある点は1つなので、解は1個です。補助半直線の向きやコンパスの開きを変えても、得られる P は同じ点になります。

標準例題：外へ延ばす向き

線分 AB の長さは 8 cm です。AB を 3:2 に外分する点 Q を目盛りのない定規とコンパスで作図し、AQ と BQ を cm 単位の整数で求めてください。存在と個数も示してください。

AQ:BQ = 3:2 なので AQ の方が長く、Q は B の外側になければなりません。A の外側なら、B から Q までの方が AB の分だけ長くなり、比が逆になるからです。Q を決めるため、まず A から AB と異なる向きの半直線を引きます。

この半直線に等間隔で A、U、V、W の順に点を取ります。U と B を結び、W を通る UB の平行線を引きます。その平行線と AB の B 側への延長との交点を Q とします。直線 AW と AQ を2辺とする三角形 AWQ の辺 AW 上に U、辺 AQ 上に B があり、UB は WQ に平行です。相似より AQ:AB = AW:AU = 3:1 です。

AQ = 8 × 3
AQ = 24 cm
BQ = AQ - AB
BQ = 24 - 8
BQ = 16 cm
AQ:BQ = 24:16
AQ:BQ = 3:2

得られた点は B の外側にあり、24 − 16 = 8 cm と元の AB に戻ります。逆に条件を満たす Q は B の外側に限られ、BQ を x cm とすれば (8 + x):x = 3:2 です。この式は x = 16 と定めるので、解は1個です。平行線が延長と交わることも、相似の逆を用いて AB の3倍の距離に候補を取れば確認できます。

発展例題：比を入れ替え、例外を調べる

異なる2点 A、B に対し、AB を 2:5 に外分する点 R を作図してください。また、AB を 1:1 に外分する点の個数を求め、それぞれ理由を示してください。

AR が BR より短いため、R は A の外側です。R、A、B の順に並ぶので、BR = AR + AB です。外分の2つの数の差は 5 − 2 = 3 であり、AR:AB = 2:3 と求まります。この比を用いれば、A 側への延長上に点を作れます。

A から AB と異なる向きの半直線上に、等間隔で A、U₁、U₂、U₃ を取ります。U₃ と B を結び、U₂ を通る U₃B の平行線を引いて AB と交わらせると、基本例題と同じ理由で A から AB の 2/3 の距離に内点 S ができます。次に A を中心、AS を半径とする円を描き、直線 AB との交点のうち A の B と反対側にある点を R とします。定規とコンパスの操作は有限回です。

AB = L と置いて、作図した点を元の条件に戻します。

AR = AS
AR = 2L/3
BR = AB + AR
BR = L + 2L/3
BR = 5L/3
AR:BR = 2:5

R は指定された外側にあり、BR − AR = L です。逆に条件を満たす点は A 側に限られ、その距離 AR は 2L/3 に定まります。したがって解は1個です。作図の途中に現れる S は補助点で、求める外分点ではありません。

一方、1:1 なら AR = BR という距離の等しさが必要です。直線 AB 上で A の外側に点があれば、B までの距離は A までの距離より AB だけ長くなります。B の外側では逆に A までの距離が AB だけ長くなります。AB は正なので、どちら側でも等しくなりません。よって外分点は0個です。線分の中点は両端から等距離ですが、外部にないため外分点にはなりません。

一般に正の整数 m、n について、m > n なら外分点は B 側、m < n なら A 側に1個あり、m = n ならありません。距離の差が AB という条件と、指定された比を同時に満たすかが判断の分かれ目です。内分では距離の和が AB となるため、正の比なら常に内部に1個あります。

間違えた線をどこから直すか

図3のように AB を 2:3 に分けるとき、半直線上で2区間目と3区間目を使い、3区間目と B を結んで2区間目から平行線を引く誤りを考えます。この方法で得られる P は AP:AB = 2:3 を満たしますが、求めたいのは AP:PB = 2:3 です。

図3の左では PB は全体の 1/3 なので、実際の比は 2:1 です。原因は、相似から直接得られる分母が PB ではなく AB である点を見落としたことです。修正するときは全体を 2 + 3 = 5 区間にして、2区間目から5区間目と B を結ぶ直線に平行な線を引きます。右側では AP:AB = 2:5 となり、残り PB が3区間に対応します。

外分でも同様に、長い距離と短い距離の比を、長い距離と AB の比に直接置き換えることはできません。外分では差、内分では和を全体の長さに対応させます。途中の式の分母に書いた線分を図で指し、問題の比の分母と同じか確認すると、誤りを途中で発見できます。

作図した線が交わらないときは、定規を延ばす前に平行関係を点検します。特に外分比が等しい場合は交点がないこと自体が正しい結論です。円弧が意図した半直線と交わらない場合は、中心やコンパスの開きを取り違えていないか確認し、前の確定した点から操作をやり直します。紙の端まで延ばして見つからないことだけでは、数学的に存在しない証明にはなりません。

自分で作る5問

各問で目盛りのない定規とコンパスを使い、作図の根拠と解の個数も述べてください。長さを求める問いでは cm 単位の整数または既約分数で答えてください。

線分 CD を 3:4 に内分する点を作図してください。
EF = 18 cm のとき、EF を 4:5 に内分する点 G を作図し、EG と GF を求めてください。
HI = 6 cm のとき、HI を 5:3 に外分する点 J を作図し、HJ と JI を求めてください。
KL = 9 cm のとき、KL を 1:4 に外分する点 M を作図し、KM と ML を求めてください。
異なる2点 N、T について、NT を 7:7 に内分する点と外分する点をそれぞれ作図できるか調べてください。できる場合は方法を示し、できない場合は理由を述べてください。

5問の解答と確認

C から CD と異なる向きに半直線を引き、等間隔で7区間を取ります。7番目の点と D を結び、3番目の点を通る平行線と CD の交点を求める点とします。相似より C からその点までが CD の 3/7、残りが 4/7 なので比は 3:4 です。距離の和は CD に戻り、線分上の位置は1個に定まります。
E からの半直線に9等間隔を取り、9番目と F を結びます。4番目からその直線に平行線を引き、EF との交点を G とします。相似から EG = 18 × 4/9 = 8 cm、GF = 18 × 5/9 = 10 cm です。8 + 10 = 18、8:10 = 4:5 と元の長さと比に戻り、G は内部に1個です。
HJ > JI なので J は I 側の外部です。HJ:HI = 5:(5 − 3) = 5:2 です。H からの半直線に5等間隔を取り、2番目と I を結びます。5番目を通るその平行線と HI の延長との交点が J です。相似より HJ = 6 × 5/2 = 15 cm、JI = 15 − 6 = 9 cm です。15:9 = 5:3、15 − 9 = 6 で、位置と条件が一致します。距離が定まるため1個です。
KM < ML なので M は K 側の外部です。KM:KL = 1:(4 − 1) = 1:3 です。K からの半直線に3等間隔を取り、3番目と L を結びます。1番目からの平行線と KL の交点を補助点とし、K を中心にその距離を反対側へ移します。KM = 9/3 = 3 cm、ML = 9 + 3 = 12 cm です。3:12 = 1:4、12 − 3 = 9 で、M は1個に定まります。
7:7 は 1:1 と同じ比です。内分点は NT の中点で、N と T を中心に同じ半径の円弧を描き、その2交点を結ぶ垂直二等分線と NT の交点として作れます。円弧の半径は NT とすれば2交点ができ、合同な三角形により交点は両端から等距離です。中点は1個です。外部では両端までの距離の差が NT となり、NT は正なので等距離にはなりません。外分点は0個です。

覚えておくこと

内分では比の和を全区間数にします。外分では比の差が元の線分に対応します。平行線を作ったら相似な三角形の対応を確認します。外分比が等しいとき、外分点はありません。

作図が止まったら、取った等間隔の数が比の和なのか差なのかを説明してみてください。個別指導で確かめるなら、まず相似から出る比の分母を図で指し、次に外分点がどちら側にあるかを距離の大小から言葉にしてもらいます。最後に、作った点を元の比と位置に戻し、交点が存在しない場合にも理由を述べられるかを確かめます。線分の分点は、作図の手順と成立する比を結ぶことで定まります。