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高校数学A 三角形の五心の判別—等しい距離と交わる線から中心を選び直す｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学A 図形の性質を掘り下げる

頂点と辺のどちらへの距離が等しいかを確かめ、中心の一致を使う証明では異なる2点が直線を決める条件まで検討します。

よくあるのは、五心の名前を覚えた高1が、問題の図に点を打った後、どの線を補えばよいか迷う場面です。「等距離」という言葉は外心にも内心にも使えますが、距離を測る相手が違います。頂点を結ぶのか、辺に垂線を下ろすのかで、図は別の形になります。名前から線を探すだけでなく、与えられた線から名前に戻る練習もしてみましょう。

何を手がかりに選ぶか

問題の型には、まず点の条件から中心を選ぶものがあります。3頂点への距離が等しい点と、3辺への距離が等しく三角形の内部にある点は、それぞれ異なる条件で決まります。辺までの距離は、点からその辺を含む直線に下ろした垂線の長さです。頂点までの距離と混同しないよう、等しい線分の両端を声に出して読むと整理できます。

次に、2種類の中心が一致する条件を調べる型があります。二等辺三角形の対称軸上には複数の中心が並びますが、同じ直線上にあることと同じ点であることは別です。逆に2つの中心が同じ点なら、同じ線が中線と垂直二等分線を兼ねるなどの性質から、辺の等しさを導ける場合があります。

もう1つは、図の形が変わるときに候補を絞る型です。直角三角形では垂心が直角の頂点になり、外心は斜辺の中点になります。これらを図の中央に集めてしまうと、正しい定義を覚えていても判別できません。以下では三角形は3頂点が一直線上にないものとします。

五つの点と引く線

図1のように、中心ごとに交わる線と等しくなる量を対応させます。傍心は1つの三角形に3つあり、内心と区別するため、どの角の内角の二等分線上にあるかも示します。

図1の外心は辺の垂直二等分線の交点で、3頂点までの距離が等しい点です。内心は内角の二等分線の交点で、3辺への距離が等しく、内部にあります。傍心は1つの内角と他の2つの外角の二等分線の交点で、3辺を含む直線への距離が等しい外部の点です。距離が等しいという条件だけでは、内心と傍心を区別できません。内部か外部かも必要です。

重心は3本の中線の交点です。中線は頂点と向かい側の辺の中点を結びます。重心は各中線を頂点側から 2 : 1 に分けます。垂心は各頂点を通り、向かい側の辺を含む直線に垂直な3本の直線の交点です。鈍角三角形では垂線の足や垂心が外部に出ます。どの中心も、見た目で中央に見える場所という定義ではありません。

例えば辺 BC の中点を D とすると、AD が中線です。AD が BC に垂直でもあるなら、直角三角形 ABD と ACD は2辺 AD、BD = CD とその間の角が等しいので合同です。よって AB = AC です。この短い論証は、中線が高さを兼ねることから二等辺を導く際に使えます。逆に AB = AC なら同じ2三角形は3辺が等しく合同なので、角 ADB と ADC は等しい隣り合う角です。和が180°ですから各90°となり、AD は高さも兼ねます。

AB = AC のとき、上の合同から AD は角 A の二等分線でもあり、BC の垂直二等分線でもあります。外心、内心、重心、垂心はそれぞれ AD 上にあります。ただし、それらの点が互いに一致するとは限りません。A に対する傍心も直線 AD 上にありますが、内心とは異なる外部の点です。残る2つの傍心は対称軸に関して互いに対応します。

正三角形では各頂点の中線が同時に角の二等分線、高さ、向かい側の辺の垂直二等分線です。そのため外心、内心、重心、垂心は一致します。傍心は外部にあるので、その点には一致しません。「五心がすべて一致」とは言えない点に注意します。

基本例題：距離の相手を読み取る

三角形 ABC で AB = AC = 5、BC = 6 とします。BC の中点を D、外心を O、内心を I とします。AD、OA、ID をそれぞれ根号を含まない数で求めてください。

図2のように AD は BC に垂直です。外心と内心はいずれも AD 上にありますが、求めるための等しい距離は異なります。

BD = CD = 3 です。直角三角形 ABD に三平方の定理を使うと、

AD² = AB² - BD²
AD² = 25 - 9
AD² = 16
AD = 4

外心は AD 上にあります。O が線分 AD 上にあると仮定して OD = x と置き、その仮定が得られた値で成り立つか後で確かめます。OA = OB であり、OA = 4 − x、OB² = x² + 3² です。したがって、

(4 - x)² = x² + 9
16 - 8x + x² = x² + 9
8x = 7
x = 7/8
OA = 4 - 7/8
OA = 25/8

0 < 7/8 < 4 なので仮定した位置にあります。さらに OB² = (7/8)² + 3² = 625/64 = (25/8)² です。正の長さなので OA = OB となり、対称性から OC も同じです。

内心 I は内部にあり、辺への距離を r とすると ID = r です。三角形 ABC の面積は 6・4/2 = 12 です。一方、I と各辺で作る3三角形の面積の和をとると、

12 = 6r/2 + 5r/2 + 5r/2
12 = 8r
r = 3/2

したがって ID = 3/2 です。面積に戻すと (6 + 5 + 5)・(3/2)/2 = 12 です。外心と内心は同じ AD 上でも、D からの距離がそれぞれ 7/8、3/2 なので別の点です。辺への距離を使うときは、面積を分ける3三角形の底辺が元の3辺であることも確かめます。

標準例題：一致から辺の等しさへ戻る

三角形 ABC の外心と重心が一致するとします。この三角形が正三角形であることを証明してください。

共通の点を P、BC の中点を D とします。重心の定義から A、P、D は一直線上にあります。また重心は中線を頂点側から 2 : 1 に分けるため、P は A と D の間にあり、P と D は異なります。

外心の性質から PB = PC です。DB = DC でもあるので、P と D はどちらも BC の垂直二等分線上にあります。異なる2点 P、D を通る直線 AD は、その垂直二等分線です。よって AD は BC に垂直です。直角三角形 ABD と ACD では AD が共通、BD = CD ですから、2辺とその間の角がそれぞれ等しく、合同です。したがって AB = AC です。

同様に CA の中点を E とすると、B、P、E は一直線上で、P と E は異なります。PA = PC と EA = EC より BE は CA の垂直二等分線です。したがって BA = BC です。以上から AB = BC = CA となり、ABC は正三角形です。

外心が1本の中線に乗るという条件だけでは、正三角形と結論できません。外心と対辺の中点が異なるときは、その中線が垂直二等分線になり、二等辺三角形だとわかります。両点が重なるときは対辺が外接円の直径になり、不等辺の直角三角形も含まれます。重心という条件は、別の頂点からの中線にも共通点が乗ることを保証します。2本目を使う理由は、残る辺の等しさを得るためです。

発展例題：2つの線の役割を追う

三角形 ABC の内心と重心が一致し、その点を P とします。BC の中点を D、CA の中点を E とします。ABC が正三角形であることを証明してください。

P は重心なので A、P、D は一直線上にあり、P は A と D の間です。また P は内心なので AP は角 A の二等分線です。したがって AD も角 A の二等分線です。角の二等分線と辺の比の定理より、

BD/DC = AB/AC
BD/DC = 1
AB/AC = 1
AB = AC

BD、DC は正なので比をとれます。同様に B、P、E は一直線上で、BE は角 B の二等分線です。よって、

CE/EA = BC/BA
CE/EA = 1
BC/BA = 1
BC = BA

ゆえに AB = BC = CA です。逆に正三角形なら各中線は内角の二等分線ですから、重心と内心は一致します。必要条件と十分条件の両方が示せました。

別の道筋として、AD の両側の三角形 ABD、ACD に注目することもできます。面積は底辺 BD と DC が等しく高さが共通なので等しいです。一方、角 BAD と CAD が等しいため、A から見た面積をそれぞれ AB・AD・sin∠BAD/2、AC・AD・sin∠CAD/2 と表せます。AD と正の正弦が共通なので AB = AC です。どちらの道筋でも、点 D が辺の中点であることと AD が角を二等分することの両方が要ります。

一般に2種類の中心が一致する問題では、まず共通点がどの直線上にあるかを各定義から書きます。それから、その2直線が同じだと結論できるかを調べます。共通点が頂点そのものなら2直線を決める異なる2点にならないため、この確認を省けません。今回の P は重心で頂点と異なるので、A と P は直線を決めます。

似た印から起こる誤答

図3のように、点 P から3頂点への線分に同じ印があるとします。ある解答が「3辺から等距離なので P は内心」と述べました。図の印が示すのは PA = PB = PC であり、辺への垂線の長さではありません。

図3の P は、PA = PB から AB の垂直二等分線上にあり、PB = PC から BC の垂直二等分線上にもあります。したがって P は外心です。内心と判定するには、P が内部にあり、各辺への垂線の長さが等しいという別の条件が必要です。図には辺への垂線の印がなく、元の条件から内心とは決まりません。

別の誤りは、二等辺三角形の軸上に中心が並ぶ図を見て、外心と重心が一致するとすることです。軸上の位置はそれぞれの定義で決まります。上の基本例題では重心を G とすると DG = AD/3 = 4/3 ですが、DO = 7/8 です。4/3 と 7/8 は等しくないため、同一直線上でも一致しません。長さを比べる前に、どの点を始点にしているかをそろえることも必要です。

手を動かす5問

三角形 ABC の内部の点 P から3辺への距離が等しいとします。P の名称と、判定に使う線を答えてください。
三角形 ABC で AB = AC = 13、BC = 10 です。BC の中点 D と重心 G について、AD と DG を整数で求めてください。
三角形 ABC で AB = AC = 10、BC = 12 です。外心 O と BC の中点 D について、OD と外接円の半径を既約分数で求めてください。
三角形 ABC の垂心 H が BC の中点 D と一致します。三角形 ABC の形を、存在するかどうかを含めて答えてください。
三角形 ABC の外心 O が中線 AD 上にあります。ただし D は BC の中点です。AB と AC の関係を O と D の位置で場合分けし、正三角形と決まるか答えてください。

5問の答えと確かめ方

P は内心で、各内角の二等分線を使います。辺 AB、AC への距離が等しい内部の点は角 A の二等分線上にあり、同様に角 B の二等分線上にもあるからです。内部という条件を外すと、傍心も辺を含む直線から等距離になるため、内心とは決められません。
二等辺三角形の中線 AD は高さです。BD = 5 より、

AD² = 13² - 5²
AD² = 169 - 25
AD² = 144
AD = 12
DG = 12/3
DG = 4

AG = 8 なので AG : GD = 2 : 1 です。また 12² + 5² = 13² で元の辺の長さに戻ります。中点からの距離を問われたので、頂点側の 8 を答えないようにします。

BD = 6、AD² = 10² − 6² = 64 なので AD = 8 です。O が AD 上で D と A の間にあるとして OD = x と置きます。

(8 - x)² = x² + 6²
64 - 16x + x² = x² + 36
16x = 28
x = 7/4
OA = 8 - 7/4
OA = 25/4

0 < 7/4 < 8 なので位置の仮定に合います。OB² = (7/4)² + 6² = 625/16 = (25/4)² で、OA と OB が等しい条件に戻ります。対称性から OC も等しく、半径は 25/4 です。

該当する三角形は存在しません。H = D なら、B から AC に引く高さ BH は直線 BC と同じです。したがって BC は AC に垂直です。同様に C から AB への高さ CH も BC と同じなので、BC は AB にも垂直です。すると AB と AC はともに BC に垂直で、共通点 A を通る同一直線になり、3頂点が一直線上に並んでしまいます。これは三角形の条件に反します。
OB = OC、DB = DC なので O と D はともに BC の垂直二等分線上にあります。O と D が異なれば AD がその直線で、AB = AC です。O = D の場合も DB = DC、OB = OA より DA = DB = DC ですが、AD が BC に垂直であることはこの等式だけからは出ません。この場合は外心 D が BC 上にあるため BC は外接円の直径で、∠BAC = 90°です。ただし AD は任意の直角三角形で斜辺の中線でもあり、AB = AC とは限りません。したがって O = D を除けば二等辺、除かなければ結論は限りません。例えば直角をはさむ辺が 3 と 4 の直角三角形は条件を満たしますが、正三角形ではありません。

残すべき見取り図

外心は頂点への距離、内心と傍心は辺を含む直線への距離を使います。重心は中線、垂心は高さの交点です。同一直線上にあることと同一点であることを区別します。逆向きの証明では、2直線を決める2点が異なるかを調べます。正三角形では外心・内心・重心・垂心が一致し、傍心は外にあります。

点の名称を答えられても補助線を引けない場合は、「等しい距離の相手は頂点か辺か」と「辺への距離をどの垂線で表すか」を図に書いてみてください。個別指導で確かめるなら、中線と高さが同じ直線になる根拠を、合同の対応する頂点まで本人に説明してもらいます。さらに外心が中線の足と重なる場合を問い、異なる2点が必要な推論を自分で点検できるかを見ます。中心を選ぶ根拠は、図の印が結ぶ相手から決まります。