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高校数学A n進法の位取り—使える数字と位の重みから十進数へ正確に読み戻す｜武蔵野個別指導塾
基数未満の数字だけを使う理由を確かめ、各位の重みを掛けて十進数へ戻し、先頭と途中の0を区別します。
よくあるのは、6進法で数を書くとき、0から6までを使える数字として並べてしまう場面です。6という数自体が存在しないわけではありません。ただし6進法では、6個が集まると次の位の1個にまとまるので、1桁に6は置きません。数字の形だけを見て十進数と同じように読むと、表記が使えるかどうかと、その表記が表す数の両方を取り違えます。まず基数を確認し、各位が何個のまとまりを表すのかを順に追いましょう。
問いの形を見分ける
位取りの問題には、与えられた表記を十進数で表す型、表記として認められるか判断する型、複数の表記が同じ数を表すか比較する型があります。どの型でも最初の確認は共通です。括弧に添えた基数を見て、各桁がその基数より小さい非負整数か調べます。次に右端から位の重みを置き、数字と重みの積を足します。
たとえば数字の並びが似ていても、基数が違えば左側の位の重みは変わります。数字の並びだけで大小を決める前に、同じ十進数の尺度へ戻す必要があります。また、0を含む表記では、先頭にある0と途中にある0の役割が異なります。先頭の0は表す値を変えませんが、途中の0はその位にまとまりがないことを示し、後ろの桁の位置を保ちます。
ここでは基数を2以上9以下の整数に限り、0以上の整数の表記を扱います。小数や情報量は扱いません。十進数から別の基数へ移す割り算の手順よりも、与えられた桁が持つ意味に焦点を当てます。数学Aの「数学と人間の活動」には、整数の性質を扱う題材として二進法が含まれます。
基数が決める桁と重み
基数をnとすると、nは2以上9以下の整数です。各桁に使える数字は0以上n未満の整数なので、0、1からn − 1までです。たとえば5進法なら0、1、2、3、4を使います。5個の1が集まると、1の位には0を残し、5の位に1が立ちます。そのため、数としての5は5進法では10と書きます。括弧を添えて (10)₅ と書けば、十進数の10と区別できます。
図1のように、右から1、n、n²、n³の順に重みが付きます。左へ1位動くたびに重みがn倍になります。数字そのものは、その重みのまとまりがいくつあるかを表します。図1では5進法の各位を示しており、途中の0も独立した位を占めています。
(2031)₅ を例にすると、各桁は5未満なので表記として有効です。左から順に125のまとまりが2個、25のまとまりが0個、5のまとまりが3個、1が1個です。これを足すと266です。0の位を消して (231)₅ とすると、2の重みは125から25に変わります。途中の0は値を加えなくても、位を守る役目があります。
一般に3桁の表記 (abc)ₙ は、a、b、cがそれぞれ0以上n未満の整数であるとき、a・n² + b・n + c を表します。3桁の標準的な表記としては先頭のaを0以外にします。先頭に0を付けた (0abc)ₙ は同じ値を表しますが、通常は余分な先頭の0を省きます。数の0そのものは (0)ₙ と表します。先頭の0をすべて消して空欄にするわけではありません。
どの位にも数字の上限が同じように必要です。たとえば5進法の (152)₅ は、真ん中に基数と同じ5があるため、5進法の桁の並びとして認められません。式に代入して数値を計算することはできますが、それで元の並びが正しい表記になったことにはなりません。計算の前に表記の条件を判定することが大切です。
基本例題：まとまりを展開する
問題 7進法で表された非負整数 (3064)₇ を十進数で表してください。答えは十進数の整数で書いてください。
まず各桁を見ます。3、0、6、4はいずれも0以上7未満なので、表記は有効です。右端から重みを並べると1、7、49、343です。図2のように各数字を対応する重みに掛けます。
(3064)₇ = 3・7³ + 0・7² + 6・7 + 4
= 3・343 + 0・49 + 42 + 4
= 1029 + 0 + 42 + 4
= 1075答えは1075です。図2の0は49のまとまりがないことを示します。0を飛ばして次の6を49の位に置くと、元の表記とは異なる数を計算してしまいます。右端から重みを決めてから左側へ読むと、0を含む桁も取り落としません。
値を元のまとまりに戻して確かめます。1075から343のまとまりを3個取ると46が残ります。46には49のまとまりはなく、7のまとまりが6個と1が4個あります。したがって3、0、6、4という各桁に戻り、図の対応とも一致します。これは与えられた表記の検算であり、一般の変換手順を覚える必要はありません。
標準例題：同じ数字でも基数で値が変わる
問題 非負整数を表す (243)₅ と (243)₆ の大小を比べ、それぞれの値を十進数の整数で示してください。
両方の表記で使う最大の数字は4です。4は5より小さく、6よりも小さいので、どちらも有効です。左から同じ数字が並んでいますが、2が受け持つ重みはそれぞれ25と36です。4が受け持つ重みも5と6で異なります。別々に展開します。
(243)₅ = 2・5² + 4・5 + 3
= 2・25 + 20 + 3
= 50 + 20 + 3
= 73
(243)₆ = 2・6² + 4・6 + 3
= 2・36 + 24 + 3
= 72 + 24 + 3
= 9973 < 99 なので、(243)₅ < (243)₆ です。値を読み戻すと、73は25を2個、5を4個、1を3個集めた数です。99は36を2個、6を4個、1を3個集めた数です。それぞれのまとまりを足すと問題で与えた桁に対応します。
この比較では、基数の大きい方で正の数字が付いた位の重みが大きくなっています。ただし数字が使える条件は先に必要です。たとえば同じ並びを4進法に付け替えると、数字4が基数未満ではないので、同じ比較を始められません。表記の正しさと値の大小は別々の問いです。
発展例題：途中の0を含む表記を比べる
問題 非負整数を表す (1011)₄ と (221)₅ の差を、前者から後者を引いた十進数の整数で求めてください。また、先頭に0を付けた (01011)₄ の値も答えてください。
4進法で使える数字は0から3、5進法で使える数字は0から4です。与えられた桁はいずれも条件を満たします。先頭の0は値を変えないものとして扱います。途中の0は削らずに、各位の重みを付けます。
(1011)₄ = 1・4³ + 0・4² + 1・4 + 1
= 64 + 0・16 + 4 + 1
= 69
(221)₅ = 2・5² + 2・5 + 1
= 2・25 + 10 + 1
= 61
69 - 61 = 8
(01011)₄ = 0・4⁴ + 1・4³ + 0・4² + 1・4 + 1
= 0 + 64 + 0 + 4 + 1
= 69差は8、先頭に0を付けた表記の値は69です。先頭の0には4⁴という重みが付いても、その積は0です。一方、途中の0を消した (111)₄ は、1・16 + 1・4 + 1 = 21 となり、69とは異なります。先頭と途中で、0を消したときの位の移動が違うからです。
検算として、69は64のまとまりが1個、16のまとまりが0個、4のまとまりが1個、1が1個です。61は25のまとまりが2個、5のまとまりが2個、1が1個です。差の8を後者の61に足すと69に戻ります。両方の表記と引く順序を確認できました。
誤答から桁の条件へ戻る
誤答の例として、6進法の (162)₆ を「1・36 + 6・6 + 2 = 74だから正しい」とする考えを取り上げます。足し算自体は74ですが、真ん中の6は6進法の1桁に使えません。図3のように、計算結果が出ることと表記の条件を満たすことは別です。
原因は、数の6と数字として1桁に置く6を混同したことです。6個の6のまとまりは、36のまとまり1個に当たります。したがって同じ量を正しい6進法の桁で表すには、1個の36にもう1個を加え、6の位を0にします。
1・36 + 6・6 + 2 = 2・36 + 0・6 + 2
= 74
(202)₆ = 2・6² + 0・6 + 2
= 72 + 0 + 2
= 74元の (162)₆ は不正な表記ですが、その数字に位の重みを掛けた式が表す量を、(202)₆ と書き直すことはできます。直した後に2、0、2がすべて6未満かを確認します。この確認を省くと、繰り上げた先の桁にも使えない数字が残る場合があります。
別の誤りは、(203)₅ の0を消して (23)₅ と読むことです。前者は2・25 + 0・5 + 3 = 53、後者は2・5 + 3 = 13です。0自身の寄与は0でも、消した結果、左の2の重みが変わります。0が先頭なのか途中なのかを見てから扱いを決めます。
練習問題
次の問題では、各表記は非負整数を表すものとします。各桁の条件も確認し、指定された形で答えてください。
- (312)₄ を十進数の整数で表してください。
- (205)₈ を十進数の整数で表してください。
- (134)₆ と (134)₇ を比較し、それぞれの値を十進数の整数で示してください。
- (407)₇ は7進法の表記として有効ですか。理由と、各数字に位の重みを掛けた式と同じ値を表す正しい7進法の表記を答えてください。
- (00102)₃ と (12)₃ の差を、前者から後者を引いた十進数の整数で求めてください。
解答と確かめ方
1. 4進法の3桁
3、1、2はすべて4未満です。右から重みを1、4、16と置きます。
(312)₄ = 3・4² + 1・4 + 2
= 3・16 + 4 + 2
= 54答えは54です。54は16のまとまりが3個で48、残りが4と2です。与えられた3、1、2に戻ります。
2. 8進法の0の位
2、0、5はいずれも8未満です。真ん中の0にも64ではなく8の重みを付けます。
(205)₈ = 2・8² + 0・8 + 5
= 2・64 + 0 + 5
= 133答えは133です。133は64のまとまり2個と1が5個で、8のまとまりは0個です。途中の0を除いて (25)₈ にすると21となり、元の数には戻りません。
3. 基数の異なる同じ並び
数字1、3、4は6と7のどちらよりも小さいため、両方とも有効です。重みをそれぞれ計算します。
(134)₆ = 1・6² + 3・6 + 4
= 36 + 18 + 4
= 58
(134)₇ = 1・7² + 3・7 + 4
= 49 + 21 + 4
= 7458 < 74 なので (134)₆ < (134)₇ です。58は36、6を3個、1を4個に分けられます。74も49、7を3個、1を4個に分けられ、両方とも与えられた並びを再現します。
4. 使えない数字の扱い
7進法の桁は0以上7未満です。右端の7が条件を満たさないため、(407)₇ は有効な表記ではありません。式の量を正しい桁に置き直します。
4・7² + 0・7 + 7 = 4・49 + 1・7 + 0
= 203
(410)₇ = 4・49 + 1・7 + 0
= 203正しい表記は (410)₇ です。4、1、0はすべて7未満で、49のまとまり4個と7のまとまり1個を合わせると203です。元の式の量へ戻ります。
5. 先頭の0と差
0、1、2はいずれも3未満です。先頭の0は値を変えませんが、1と2の間の0は位を保ちます。
(00102)₃ = 0・3⁴ + 0・3³ + 1・3² + 0・3 + 2
= 9 + 2
= 11
(12)₃ = 1・3 + 2
= 5
11 - 5 = 6答えは6です。11は9のまとまり1個と1が2個、5は3のまとまり1個と1が2個です。差の6に5を足すと11に戻るため、引く順序も確かめられます。
覚えておくこと
- 基数nでは各桁に0以上n未満の整数を使います。
- 重みは右から1、n、n²と進みます。
- 各桁と重みの積を足すと十進数に戻せます。
- 先頭の0は省けますが、途中の0は位を保ちます。
- 計算の前に桁が有効か調べます。
どこで止まったかを確かめる
数字を基数まで並べた場合は、基数個の1が次の位の1個になることを、具体的なまとまりで説明できるか確かめます。途中の0を消した場合は、消す前後の左隣の重みを書いて比べます。個別指導では、答えの数値だけでなく、各桁が何個のまとまりを示すかを本人の言葉で説明してもらい、最後にそのまとまりを足して元の値に戻せるか確認します。基数と位の対応が見えれば、数字の並びは量を表す式として読めます。
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