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高校数学A 平方数の余りによる分類—小さな法の表から不可能な整数条件を見抜く｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学A 整数の性質を掘り下げる

平方の余りを法3・4・8で分類し、2つ・3つの平方の和が作れない条件と、余りの一致だけでは平方数と決められない理由を整理します。

よくあるのは、高校生がある数を割った余りを調べ、平方数に許される余りと一致したので、その数は必ず平方数だと判断する場面です。たしかに余りが一致しなければ平方数ではありません。しかし、一致した数の中には平方数でないものも残ります。余りの表が教えることと、表だけでは決められないことを分けて考えましょう。

平方数とは、整数を2乗して得られる数です。0も平方数で、負の整数の平方も含めて考えます。学習指導要領解説の数学A「数学と人間の活動」には整数の約数や倍数などが挙げられています。ここでは平方を小さな正整数で割った余りにしぼり、式の条件が実現できるかを調べます。

どんな問いで表が役立つか

出方の1つは、整数の平方をある数で割った余りを求める問いです。元の整数を割った余りごとに場合分けし、それぞれを2乗して余りを調べます。負の整数も、商が負になり得るだけで、余りは0以上、割る数未満のいずれかに入ります。

2つ目は、平方の和や与えられた数が、ある形を取れないことを示す問いです。平方ごとの余りを足し合わせ、条件が要求する余りと比べます。選んだ割る数で矛盾が出なければ、証明に失敗しただけです。別の割る数を試すか、別の性質を考えます。

3つ目は、余りによる判定の向きを問うものです。「平方数なら余りはこの集合に入る」と「余りがその集合に入るなら平方数である」は別の主張です。前者を証明しただけで後者を結論にしてはいけません。候補を残す作業と、その候補が実際に条件を満たすことの確認を分けます。

平方する前の余りから表を作る

正整数 m で整数 n を割ると、整数 q と 0以上 m 未満の整数 r を使って n = mq + r と表せます。このとき r が余りです。m を余りの分類に使う数として「法」と呼びます。たとえば法が3なら r は 0、1、2 のいずれかで、負の n もこの分類から漏れません。

n = mq + r
n² = (mq + r)²
   = m²q² + 2mqr + r²
   = m(mq² + 2qr) + r²

q、r、m は整数なので、最後の括弧の中も整数です。したがって n² と r² は m の倍数だけ異なり、m で割った余りが同じです。元の数の範囲が無限にあっても、r の有限個の場合を2乗すれば表を完成できます。図1のように、法ごとに元の余りと平方の余りを対応させます。

図1の上段は元の整数の余り、下段はその平方の余りです。法3では元の余りが 0、1、2 のとき、平方の余りは順に 0、1、1 です。法4では 0、1、2、3 に対して 0、1、0、1 です。法8では 0、1、2、3、4、5、6、7 に対して 0、1、4、1、0、1、4、1 です。

たとえば法8で元の余りが6なら、6² = 36 = 8・4 + 4 なので、平方の余りは4です。元の数そのものを6と決めたのではありません。n = 8q + 6 と書ける整数すべてに対して同じ結論が使えます。表のうち法8の行を一通り見ると、平方の余りに現れるのは 0、1、4 です。

また、法4の余りが0である平方は、元の整数が偶数のときに限られます。元の余り 0、2 が偶数、1、3 が奇数だからです。法8では奇数の平方の余りが1、偶数の平方の余りが0または4です。どちらの分類も表の全行に基づきます。

平方の和では、各平方の余りを足した数をさらに同じ法で割ります。たとえば法8で余り4の平方を2つ足したとき、和の余りは8ではなく0です。和に余りをそのまま並べた後、最後にもう一度割ることが必要です。なお、2つの整数に同じ余りが出ても、整数自体が同じとは限りません。

基本例題：1つの平方と余り7

問題。k を0以上の整数とします。8k + 7 が整数の平方にならないことを証明してください。結論は、どの k についても平方にする整数が存在しない、という文で答えます。

まず k が0以上なので、8k + 7 は正の整数です。平方根を計算して一つずつ調べる代わりに、平方と仮定したときの余りを比べます。図2のように、右辺の余り7と平方に許された余りを向かい合わせます。

図2では、平方の余りの候補に7がありません。ここから、あり得ないという結論を背理法で書きます。背理法は結論の否定を仮定し、もとの条件や既に示した性質と矛盾することを示す方法です。

解答。8k + 7 が整数の平方であると仮定すると、ある整数 n について次の式が成り立ちます。

n² = 8k + 7
8k + 7 = 8(k + 0) + 7

0 ≤ 7 < 8 なので、右辺を8で割った余りは7です。一方、整数 n を8で割った余りは 0 から7のいずれかで、図1の表より n² の余りは 0、1、4 のいずれかです。同じ整数を8で割った余りが7であることと、この3つのいずれかであることは両立しません。仮定は誤りで、8k + 7 は整数の平方ではありません。

k = 0 のときも右辺は7で、余り7という上の議論に含まれます。k を正の整数に限って確認する必要はありません。また n が負でも n の余りは表のどこかに入り、証明は変わりません。個々の平方を何個か書いて見つからないことは、無限にある整数すべてを扱う証明にはならないので、余りの分類が必要です。

ここで使った情報は「平方なら余りは 0、1、4 のいずれか」という必要条件です。余りが7なら条件に反するため平方ではありません。反対に余りが1だったとしても、それだけでは平方だと結論できません。必要条件を通過した候補には、さらに調べる余地があります。

標準例題：2つの平方の和を調べる

問題。k を0以上の整数とします。整数 x、y について、x² + y² = 4k + 3 を満たす組が存在しないことを証明してください。x、y の符号と0の可否には制限を設けません。

法4を選ぶと、各平方の余りは 0 または1です。2つの余りの組を、順序も含めて書き出します。平方の和を調べるとき、片方だけの場合分けで止めると、残りの平方がどの余りを取るかが抜けてしまいます。

x²の余り  y²の余り  和の余り
0          0          0
0          1          1
1          0          1
1          1          2

解答。もし条件を満たす整数 x、y があるとすると、法4の表から x² と y² の余りはそれぞれ 0 または1です。上の4行はその組を漏れなく尽くしているので、和の余りは 0、1、2 のいずれかです。

x² + y² = 4k + 3
4k + 3 = 4(k + 0) + 3

右辺の余りは3です。左辺に可能な余りと一致しないので矛盾します。したがって、そのような整数の組は存在しません。

この議論は x = 0 や y = 0 も含みます。平方の余り0を表に入れたからです。両方を正と決めてしまうと、問題の条件を狭めてしまいます。法3を選んだ場合は平方の余りが 0、1 なので、2つの和の余りは 0、1、2 となり、どの余りも現れます。法3の表だけでは矛盾を出せないため、右辺が常に余り3となる法4を選ぶことが有効です。

例えば k = 7 なら右辺は 4・7 + 3 = 31 です。上の証明によれば、31を2つの整数の平方の和にする組もありません。ただし、この1例の確認が一般の証明の代わりになるわけではありません。k を含む右辺の余りが常に3になることと、左辺の全候補を突き合わせたことが決め手です。

発展例題：平方が3つになったら

問題。k を0以上の整数とします。8k + 7 は、3つの整数の平方の和として表せないことを証明してください。3つの整数は負でも0でもよく、順序を区別せず存在の有無を答えます。

標準例題と同じ法4では、3つの平方がそれぞれ余り1となると、和の余りが3になります。一方、8k + 7 も4で割ると余り3です。この法では矛盾が出ません。そこで法8を使い、3つの平方の余り 0、1、4 の和を整理します。

順序を入れ替えても和は変わらないため、3つの余りを小さい順に並べて列挙します。各行で合計を8で割った余りまで確かめます。

平方の余りの組    和    和を8で割った余り
0、0、0           0       0
0、0、1           1       1
0、0、4           4       4
0、1、1           2       2
0、1、4           5       5
0、4、4           8       0
1、1、1           3       3
1、1、4           6       6
1、4、4           9       1
4、4、4          12       4

解答。もし整数 x、y、z が存在して x² + y² + z² = 8k + 7 を満たすと仮定します。それぞれの平方の余りは 0、1、4 のいずれかです。上の表は、0がある場合を6行、0がなく1がある場合を3行、残る4だけの場合を1行に分けているので、余りの組を尽くしています。

x² + y² + z² = 8k + 7
8k + 7 = 8(k + 0) + 7

左辺の余りは表から 0、1、2、3、4、5、6 のいずれかです。右辺の余りは7なので矛盾します。よって 8k + 7 は3つの整数の平方の和では表せません。

たとえば 87 = 8・10 + 7 なので、87にも結論が適用できます。3つの整数が0や負である場合も表に含まれ、候補を改めて列挙する必要はありません。反対に、余りが7以外なら必ず3つの平方の和にできる、とはこの表から言えません。表は不可能な場合を除くための道具で、残った場合の実際の組までは与えないからです。

余りが合った後で起こる誤り

誤答の例を考えます。「整数 N を8で割った余りが1である。平方の余りに1があるから、N は平方数である」。この推論は、表の矢印を逆向きに読んでいます。図3のように、平方なら許された余りになるという向きと、余りから平方へ戻れるかという問いを分けます。

図3の反例として N = 57 を調べます。57 = 8・7 + 1 なので、余りは確かに1です。しかし 7² = 49、8² = 64 で、49 < 57 < 64 です。正の整数の平方は整数が大きくなれば増え、負の整数の平方も正の整数の平方と同じですから、57は整数の平方ではありません。余りが合うという必要条件は満たしても、平方であるための十分条件にはなっていません。

修正するときは、まず「平方なら余りが 0、1、4 のいずれか」と書きます。その上で、余りがそれ以外なら平方ではないと判定します。余りがこの3つのどれかなら「この判定では除けない」と止め、平方かどうかは別に調べます。平方の間に挟む方法は、具体的な数について使える確認方法です。

もう1つの誤りは、法8の余り4を2つ足して和の余りを8と書くことです。余りは0以上8未満でなければならず、8 = 8・1 + 0 なので正しくは0です。足し算後の数と、割り直して得た余りを別の欄にすると取り違えを防げます。計算が合うことと、余りの範囲が正しいことの両方を確認しましょう。

練習：表から結論までつなぐ

以下の5問は、それぞれ整数の範囲と答えの形を確認してから解いてください。必要なら上の表を自分で作り直します。解答は問題をまとめた後にあります。

n は負でも0でもよい整数です。n² を3で割った余りとして可能な値をすべて挙げ、それぞれが実現する n を1つずつ示してください。
t は0以上の整数です。4t + 2 が整数の平方でないことを証明してください。
n は負の数も含む奇数です。0は含みません。n² + 2 を8で割った余りを整数で答え、その理由を示してください。
a、b は負でも0でもよい整数です。a² + b² = 67 を満たす組が存在するか答え、理由を示してください。
N = 65 とします。N を8で割った余りを求め、余りが平方の候補に入ることと、N が実際に整数の平方かどうかをそれぞれ答えてください。

解答と確かめ方

1. 法3で場合分けする

n を3で割った余りは 0、1、2 です。それぞれの平方について、割り算を式で書きます。

0² = 0 = 3・0 + 0
1² = 1 = 3・0 + 1
2² = 4 = 3・1 + 1

よって可能な余りは 0、1 です。n = 0 なら n² = 0 で余り0、n = 1 なら n² = 1 で余り1となり、両方が実際に現れます。これらは問題の整数の範囲に入ります。全行を調べたため、ほかの余りはありません。

2. 許されない余りを使う

もし 4t + 2 = n² を満たす整数 n があると仮定します。

n² = 4t + 2
4t + 2 = 4(t + 0) + 2

右辺を4で割った余りは2です。一方、n の余り 0、1、2、3 の平方を調べると、n² の余りは 0 または1です。2はそのどちらでもないため矛盾します。したがって 4t + 2 は整数の平方ではありません。t = 0 も含め、与えられたすべての範囲で右辺の余りが2になることを確認しています。

3. 足した後に余りを取り直す

奇数 n の8での余りは 1、3、5、7 のいずれかです。それぞれの平方の余りは1ですから、整数 q を使って n² = 8q + 1 と表せます。

n² + 2 = (8q + 1) + 2
       = 8q + 3

0 ≤ 3 < 8 より、求める余りは3です。n = -1 を元の条件に戻すと、n は奇数で、(-1)² + 2 = 3 も余り3です。この1例は確認であり、すべての奇数についての理由は4つの余りの分類にあります。

4. 具体的な数の不可能性を調べる

67 を4で割ると次のようになります。

67 = 4・16 + 3
a² + b² = 67

a²、b² の4での余りはそれぞれ 0 または1です。和の余りは 0、1、2 のいずれかなので、67の余り3とは一致しません。したがって、条件を満たす整数の組は存在しません。負の値や0を候補から外したのではなく、それらも含む平方の余りを使って不可能と判断しています。

5. 必要条件を通った候補をさらに調べる

65 = 8・8 + 1
8² = 64
9² = 81
64 < 65 < 81

8で割った余りは1で、平方の余りの候補に入ります。しかし65は隣り合う正整数8と9の平方の間にあるため、非負整数の平方ではありません。負の整数の平方はその絶対値の平方と同じなので、負の整数を含めても平方にはなりません。余りが候補に入ることは確認できましたが、元の「整数の平方」という条件は満たさないとわかります。