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高校数学A 最大公約数の指数—共通する素因数の下限から共通の約数を整理する｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学A 整数の性質を掘り下げる

素因数が片方にない場合も指数を0と見て、共通約数を取りこぼさず最大公約数の指数へ迫ります。

よくあるのは、高校生が2つの数を素因数分解し、片方にしか現れない素数まで最大公約数に掛けてしまう場面です。素因数分解の式には複数の素数が並ぶため、目に入ったものを集めると、元の2つを両方とも割り切るという条件が抜けてしまいます。各素数について、使える個数の上限を2つの数で比べましょう。片方にない素数も指数0として表せば、同じ規則で判断できます。

要点（結論から）

素数が現れなければ、その指数を0とします。
最大公約数には各素数の指数の小さい方を使います。
共通約数は最大公約数の正の約数と一致します。

どの問いでも先に見る条件

最大公約数を求める問いでは、2つの正整数をそれぞれ素因数分解し、素数ごとに指数を比べます。数そのものの大小を比べるのではなく、同じ素数の指数を縦にそろえることが出発点です。素因数分解の一意性を使うので、分解された素数の並ぶ順番は答えに影響しません。

もう一つの型は、共通約数をすべて求める問いです。最大公約数を1個求めた後、その正の約数を調べれば共通約数になります。逆に、共通約数が指定された数を含むか、または条件を満たす正整数が存在するかを問われる場合もあります。このときは指数の範囲を先に書くと、条件が矛盾しているかどうかを見分けられます。

ここで扱う入力は正整数2個で、約数も正の約数です。0や負の整数を含む場合は、そのまま同じ説明を適用せず定義を確認する必要があります。数学Aの整数の学習範囲には約数と倍数が含まれ、ここでは素因数の指数による整理に焦点を当てます。

共通約数を指数の範囲で表す

正整数の約数とは、その正整数を余りなく割る正整数です。共通約数は2つの数の両方を割り、そのうち最大のものを最大公約数といいます。1はどの正整数も割るので、正整数2個の共通約数は必ず存在します。

例えば、2つの正整数 A、B の素因数のうち、ある素数 p の指数がそれぞれ a、b であるとします。現れないときの指数は0です。共通約数 d に含まれる p の指数を e とすると、d が A を割るためには e ≤ a、B を割るためには e ≤ b が必要です。したがって、e は0以上で a、b の小さい方以下です。

図1のように、片方に現れない素数も指数0の列を作ります。指数が0ならその素数の因子を使わないという意味で、数としては p の0乗、つまり1を掛けます。0を答えに掛けるわけではありません。

図1は A = 2³・3²、B = 2・3³・5 の場合です。2、3、5の指数を比べると、それぞれ小さい方は1、2、0です。共通約数の指数は各列の0からこの値まで選べます。したがって共通約数は 2 の指数を0か1、3の指数を0から2として選んだ積です。

この規則が最大公約数を与える理由を、両方向から確かめます。各素数の指数に小さい方を選んだ積を G とすると、G の指数は A、B のどちらの指数も超えません。よって G は両方を割ります。一方、任意の共通約数 d の指数も各列で小さい方以下なので、d は G を割ります。正の整数で G を割る数は G 以下ですから、G が最大公約数です。さらに d が G を割ることと、d が A、B の両方を割ることは同値です。後者なら先ほどの指数の議論で前者が成り立ち、前者なら G が両方を割るので後者が成り立ちます。

共通約数の一覧を作るときは、最大公約数の各指数を固定するのではなく、0からその指数まで動かします。最大公約数だけを作るときは各列の上限を選びますが、一覧では途中の指数も必要です。異なる素数の指数の組が異なれば、素因数分解の一意性により異なる正整数になります。したがって、指数の組を漏れなく並べれば、重複を気にして同じ数を何度も調べる必要はありません。

両方に共通する素数がない場合はどうでしょうか。どの素数についても一方の指数が0なので、小さい方はすべて0です。そこで得られる積は1で、共通約数も1に限られます。これは計算に失敗した印ではなく、正整数2個が互いに素であるという結果です。片方が1の場合にも、1には素因数がないので同じ考え方が通用します。

指数の下限という言葉は、ここでは2つの指数の小さい方を指します。共通約数として選べる指数の下限は0であり、選べる範囲の上限が2つの指数の小さい方です。この2種類の見方を区別すると、0を一覧から落とす間違いを防げます。

基本例題：片方にしかない素数を外す

正整数 A = 2³・3²・7、B = 2・3³・11 の最大公約数を整数で求め、共通約数を小さい順にすべて挙げてください。

まず2つに現れる素数を2、3、7、11とそろえます。指数0を補い、図2のように各列の小さい方を選びます。

A = 2³・3²・7¹・11⁰
B = 2¹・3³・7⁰・11¹
G = 2¹・3²・7⁰・11⁰
  = 2・9
  = 18

図2の指数0の列には因子を残しません。G = 18 の約数は、2の指数を0か1、3の指数を0、1、2と選んだ積です。重複なく列挙すると、答えは 1、2、3、6、9、18 です。

元の条件にも戻します。A = 504、B = 594 であり、504 = 18・28、594 = 18・33 です。18は確かに両方を割ります。さらに、上で示した指数の範囲からどの共通約数も18を割るので、これより大きい共通約数はありません。列挙した6個も18の約数であるため、両方の数を割ります。

指数を小さい方にそろえる操作は、各素数に独立に行います。例えば7はAにありますがBにはないので、7を1回でも掛けるとBを割れません。11についても同様です。計算結果が元の2数を割るかの確認は、片方にしかない因子の混入を見つける手掛かりになります。

標準例題：文字の指数を逆に読む

n を0以上の整数とします。正整数 A = 2ⁿ・5²、B = 2⁴・5 の最大公約数が 40 となる n をすべて求めてください。

まず求める最大公約数を素因数分解し、指数の条件に直します。5の指数は常に小さい方の1です。2の指数は n と4の小さい方です。

40 = 2³・5
G = 2 の min(n, 4) 乗・5
min(n, 4) = 3

ここで min(n, 4) は n と4の小さい方を表します。n < 4なら小さい方はnなので n = 3 です。n ≥ 4なら小さい方は4であり、3にはなりません。したがって答えは n = 3 です。

条件を戻して確かめます。n = 3 のとき A = 200、B = 80 で、200 = 40・5、80 = 40・2 です。2の指数はそれぞれ3と4、5の指数は2と1なので、小さい方を取ると確かに 2³・5 = 40 です。n ≥ 4 の場合を見落とすと、指数を無条件に n と置く誤りになります。逆に目標の指数が4なら、n = 4 に限らず n ≥ 4 が候補になる点も、この場合分けで見分けられます。

発展例題：指定した共通約数が実現するか

n を0以上の整数とし、正整数 A = 2⁵・3ⁿ・7、B = 2ⁿ・3⁴・11 とします。最大公約数が 2³・3³ となる n をすべて求めてください。また、最大公約数が 2³・3² となる n が存在するか答えてください。

それぞれの素数の指数を比べると、7と11は片方にしかないため指数0です。共通する2と3について、目標の指数を比較します。

G = 2 の min(5, n) 乗・3 の min(n, 4) 乗
min(5, n) = 3
min(n, 4) = 3

最初の式では n < 5 なら n = 3、n ≥ 5 なら左辺は5です。よって n = 3 が必要です。これを2番目の式に入れると min(3, 4) = 3 となり、両方を満たします。答えは n = 3 です。

次の目標では2の指数から同じように n = 3 が必要ですが、3の指数はそのとき3です。目標の2と一致しないので、条件を満たす n は存在しません。片方の素数の条件だけで止めず、同じ n をもう一方にも入れることが必要です。

成立する方を数に戻します。n = 3 なら A = 6048、B = 7128 で、目標は 2³・3³ = 216 です。6048 = 216・28、7128 = 216・33 です。指数の上限は2が3、3が3で、7と11が0なので、216を超える共通約数はありません。存在しない方は、2の条件が n = 3 を強制する一方で3の条件を満たさないため、他の候補を調べる必要もありません。

誤答を直す：指数0を忘れたら

基本例題で、Aにある7とBにある11をどちらも掛け、2・3²・7・11 を最大公約数とする誤答を考えます。これは両方に共通する因子という条件を、2つの式に現れた因子という条件へすり替えています。

図3のように、7の指数は A で1、B で0です。小さい方は0なので、7を掛けた数は B の約数になりません。11も同じ理由で外します。各列を0で埋めてから比較すれば、素数が片方にない場合も同じ手順で修正できます。

また、共通する素数だからといって指数を大きい方にする誤りもあります。基本例題で3³を選ぶと、Aの3の指数2を超えてしまいます。最大にしたい対象は指数の数字そのものではなく、両方を割るという制約の中での約数です。指数を一段増やせるかを問う前に、両方の上限を満たしているかを調べます。

自分で試す5問

各問の数は正整数です。文字の指数については、別に示す範囲を守ってください。約数は正の約数とします。

A = 2⁴・7²、B = 2²・7³・13 の最大公約数を整数で求めてください。
A = 3³・5・7、B = 3²・5²・11 の共通約数を小さい順にすべて求めてください。
n を0以上の整数とします。A = 2ⁿ・7、B = 2⁶・7² の最大公約数が 2⁴・7 となる n をすべて求めてください。
n を0以上の整数とします。A = 3ⁿ・5²、B = 3³・5ⁿ の最大公約数が 3²・5² となる n が存在するか答えてください。
正整数 A = 2⁴・3²・13、B = 2²・3³・17 について、共通約数のうち6の倍数であるものを小さい順にすべて求めてください。

解答と条件への戻し方

1

G = 2²・7²・13⁰
  = 4・49
  = 196

2と7の指数の小さい方はそれぞれ2、2です。13はAにないので選びません。A = 784 = 196・4、B = 17836 = 196・91 と戻せます。指数の上限を両方満たす最大の積なので、答えは196です。

2

G = 3²・5
  = 45

Gの約数は、3の指数を0、1、2、5の指数を0、1と選びます。答えは 1、3、5、9、15、45 です。A = 945 = 45・21、B = 2475 = 45・55 です。どの答えも45を割り、指数の選択肢を使い尽くしているため、漏れはありません。

3

G = 2 の min(n, 6) 乗・7
min(n, 6) = 4

n < 6なら n = 4、n ≥ 6なら小さい方は6です。答えは n = 4 です。A = 112、B = 3136 で、目標の112は両方を割ります。2の指数の上限が4、7の指数の上限が1なので、最大公約数も112です。

4

G = 3 の min(n, 3) 乗・5 の min(2, n) 乗
min(n, 3) = 2
min(2, n) = 2

最初の条件は n = 2 を要求します。これを次に代入すると min(2, 2) = 2 なので条件を満たします。したがって存在し、その n は2です。このとき A = 225、B = 675、目標は225で、225 = 225・1、675 = 225・3 です。指数の上限もそれぞれ2なので、確かに最大公約数です。

5

G = 2²・3²
  = 36

共通約数は36の約数です。6の倍数にするには2と3の指数がともに1以上で、それぞれ2以下です。指数の組は (1, 1)、(1, 2)、(2, 1)、(2, 2) です。答えは小さい順に 6、12、18、36 です。A = 1872 = 36・52、B = 1836 = 36・51 ですから、挙げた数は両方を割り、いずれも6の倍数です。指数の組を尽くしているので他にはありません。