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高校数学A 原因を逆にたどる確率—選ばれた経路を分けて観測後の割合を求める｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学A 場合の数と確率を掘り下げる

箱の選ばれやすさを印付きの割合に掛け、印を観測した後に出所の確率を求め直す過程をたどります。

よくあるのは、搬入元の違う箱から部品を取り出し、印を見てから出所を考える場面です。箱の中で印付きが多い方をそのまま答えにすると、箱自体が選ばれる頻度を見落とすことがあります。印付きとわかった後に比べるのは、印付きに至った経路の大きさです。箱の選択から取り出しまでを順に描き、最後に見えた条件へ戻って割合を求めましょう。

印から出所を問う3つの型

第1の型は、2つの箱が同じ確率で選ばれる場合です。箱ごとの印付きの割合を比べ、印付きに至る経路を足して分母にします。第2の型は、箱の選択確率が異なる場合です。印付きの割合が高い箱でも、選ばれる頻度が低ければ、印付き全体への寄与は小さくなり得ます。

第3の型は、印を複数回観測する場合です。1個目を戻さなければ、2個目の内訳は1個目の結果に応じて変わります。出所を先に決める試行の順序と、出所を後から推測する質問の順序を混同しないことが出発点です。ここでは経路の確率を足し、条件付き確率で割合を求めます。名称の暗記より、分母が何を集めたものかを説明できることが目標です。

経路と観測後の母集団

事象Aを「箱Aが選ばれる」、事象Bを「取り出した部品に印がある」とします。P(B) > 0のとき、Bが起こったという条件の下でAが起こる条件付き確率は、次のように定義されます。

P(A｜B) = P(AかつB) / P(B)

分子は、箱Aが選ばれ、さらに印があるという両方を満たす確率です。分母は、出所に関係なく印がある確率です。P(B) = 0なら、観測した条件で割ることができず、この定義ではP(A｜B)を求められません。計算前に分母の正しさと、正の値であることを確認します。

図1のように、まず出所から観測へ枝を進め、観測の後には同じ印に達した枝を集めます。選択確率と、その箱が選ばれた下での印付きの確率を掛けると、経路全体の確率になります。これは条件付き確率の定義から得られる乗法定理です。箱の選択が可能な各枝について選択確率が正であることを確認して使います。

図1では、印付きに達する2本を分母に、目的の出所から達する1本を分子にします。箱Aと箱Bは同時に選ばれないので、それぞれの印付き経路は互いに排反です。したがって確率を足せます。一方、箱Aであることと印付きであることを独立と決める必要はありません。箱によって印付きの割合が違う場合、その違いを枝に残します。

P(B｜A)は箱Aを選んだ中で印付きの割合、P(A｜B)は印付きの中で箱Aから来た割合です。縦棒の右側が分母の対象を示します。この2つが等しいとは限りません。逆向きの問いでは、表にある割合をそのまま移すのではなく、最初の選択確率を含む経路に直してから比べます。

基本例題：同じ確率で箱を選ぶ

箱Aには印付き3個と印なし1個、箱Bには印付き1個と印なし3個があります。まず箱A、箱Bのいずれかをそれぞれ1/2の確率で選び、その箱から1個を等しい確率で取り出します。取り出した部品に印があったとき、それが箱Aから来た条件付き確率を既約分数で求めてください。取り出しは1回です。

図2のように、箱ごとの印付き割合だけでなく、そこに至る選択確率も書きます。各箱の選択確率は正で、取り出しの候補は各箱内で同様に確からしいので、箱内の割合を使えます。

箱Aから印付きに至る確率は次の通りです。

P(AかつB) = 1/2・3/4
             = 3/8

箱Bから印付きに至る確率は1/2・1/4 = 1/8です。2つの経路は重ならず、印付きが出る場合を尽くすため、印付き全体の確率は次のようになります。

P(B) = 3/8 + 1/8
     = 1/2 > 0
P(A｜B) = (3/8)/(1/2)
        = 3/4

答えは3/4です。箱Aの中の印付き割合3/4と数値が一致していますが、これはこの設定での結果です。分子と分母を追うと、それぞれ3/8と1/2であり、箱内の割合を答えに流用したわけではありません。

元の場面に戻すと、箱Aと箱Bの印付き経路の比は3 : 1です。印付きを観測したものを4等分したうち3つ分がAに対応するため、答えは3/4になります。印なしの経路はAが1/8、Bが3/8で、印付きと印なしの合計は1です。観測が印なしだった場合、対象の経路は入れ替わります。印付きの答えをそのまま使わず、印なしの経路を集め直します。

標準例題：選ばれやすさが異なる箱

箱Cには印付き2個と印なし3個、箱Dには印付き3個と印なし1個があります。まずCを3/4、Dを1/4の確率で選び、選んだ箱から1個を等しい確率で取り出します。印があったとき、Dから取り出された条件付き確率を既約分数で求めてください。

Dの箱内では印付きの割合が3/4で、Cの2/5より大きいです。しかしDが選ばれる確率は1/4です。箱内の割合だけで出所を判定すると、Cを選ぶ頻度を落としてしまいます。箱の選択と印付きの経路をそれぞれ計算します。

P(Cかつ印) = 3/4・2/5
            = 3/10
P(Dかつ印) = 1/4・3/4
            = 3/16
P(印) = 3/10 + 3/16
      = 39/80 > 0
P(D｜印) = (3/16)/(39/80)
         = 5/13

答えは5/13です。印付きに至る確率はCが24/80、Dが15/80なので、印付き全体39のうちDは15に相当します。比15/39を約分しても同じ答えです。逆にCから来た条件付き確率は8/13で、両者の和は1です。出所はCかDのどちらかなので、この和は場面に戻した確認になります。

箱Dの印付き割合が高くても、観測後のDの割合は1/2未満です。これはDの方が選ばれにくいという初めの情報も反映した結果です。箱内の割合を比べる問いと、印付きの出所を比べる問いは、同じ数字を使っても母集団が異なります。

発展例題：2回の観測で枝を更新する

箱Eには印付き3個と印なし2個、箱Fには印付き2個と印なし4個があります。Eを2/3、Fを1/3の確率で選び、選んだ箱から2個を順に取り出します。1個目を箱に戻さずに2個目を取り出し、箱は途中で変更しません。各段階では残っている部品を等しい確率で選びます。2個とも印付きだったとき、箱Eが選ばれていた条件付き確率を既約分数で求めてください。

2個とも印付きという観測に達する経路を、出所ごとに作ります。1個目が印付きなら、その箱の印付きも全体も1個減ります。よって2個目の印付き確率は1個目と同じではありません。各箱で2個とも印付きを取ることは可能で、その経路の確率は正です。

P(Eかつ2個とも印) = 2/3・3/5・2/4
                    = 1/5
P(Fかつ2個とも印) = 1/3・2/6・1/5
                    = 1/45
P(2個とも印) = 1/5 + 1/45
              = 2/9 > 0
P(E｜2個とも印) = (1/5)/(2/9)
                 = 9/10

答えは9/10です。Eの経路とFの経路は9 : 1ですから、観測されたものの10等分のうち9がEに対応します。F側は1/10となり、出所の条件付き確率の和は1です。

別の見方では、各箱の中で順序を区別せず2個を選びます。Eの印付き2個の選び方は3C2、全体は5C2なので3C2/5C2 = 3/10です。Fでは2C2/6C2 = 1/15です。これらに箱の選択確率を掛けると、順序を追った場合と同じ1/5、1/45になります。順序を消す際は、各組が2通りの順序に対応するため、分子と分母で同じ倍率が消えます。

もし1個目を戻す条件なら、2個目の箱内の割合は元に戻ります。その場合にはE側で3/5をもう一度掛けます。戻すかどうかは観測後の割合まで変える条件です。また、2個とも印付きが不可能な箱があっても、その箱の経路は0として扱えます。ただし全箱で不可能なら観測の確率は0で、条件付き確率を定義できません。

誤答から分母を直す

標準例題で、印があったときDから来た確率を3/4とする誤答を考えます。図3のように、3/4はDが選ばれた後の箱内の割合です。求めたいのは印付きに絞った後のDの割合なので、条件の向きが逆です。

原因は、条件を示す縦棒の右側を読み落としたことです。修正するときは、まずDから印に至る確率3/16を書きます。次にCからの3/10も加え、印付き全体39/80を分母に置きます。分子を3/16、分母を39/80とすることで5/13が得られます。

もう1つの誤りは、箱内の割合2/5と3/4をそのまま足して分母にすることです。これらは異なる箱を条件とした割合で、同じ全体に対する排反な経路の確率ではありません。選択確率を掛け、同じ試行全体に対する確率に直してから足します。分母を作った後は、分子が分母の一部か、結果が0以上1以下かも点検します。範囲内であっても正しいとは限らないので、何を数えたかまで戻って確かめます。

練習問題

各問の確率は既約分数で求めてください。箱を選んだ後の部品は、指定された箱内で等しい確率で選びます。

箱Gには印付き1個と印なし2個、箱Hには印付き2個と印なし1個があります。GとHをそれぞれ1/2の確率で選び、1個を取り出します。印付きだったとき、Gから来た確率を求めてください。
箱Jには印付き1個と印なし3個、箱Kには印付き3個と印なし2個があります。Jを2/3、Kを1/3の確率で選び、1個を取り出します。印付きだったとき、Kから来た確率を求めてください。
箱Lには印付き2個と印なし1個、箱Mには印付き1個と印なし3個があります。Lを1/4、Mを3/4の確率で選び、1個を取り出します。印なしだったとき、Mから来た確率を求めてください。
箱Nには印付き2個と印なし2個、箱Oには印付き3個と印なし2個があります。NとOをそれぞれ1/2の確率で選び、同じ箱から2個を順に戻さず取り出します。2個とも印付きだったとき、Oから来た確率を求めてください。
箱Pには印付き2個と印なし2個、箱Qには印付き1個と印なし2個、箱Rには印付き3個と印なし1個があります。P、Q、Rをそれぞれ1/2、1/3、1/6の確率で選び、1個を取り出します。印付きだったとき、Rから来た確率を求めてください。

練習問題の答えと解き方

Gから印付きは1/2・1/3 = 1/6、Hから印付きは1/2・2/3 = 1/3です。印付き全体は1/6 + 1/3 = 1/2 > 0です。求める確率は(1/6)/(1/2) = 1/3です。印付き経路の比は1 : 2で、Gの占める割合に戻ります。
Jから印付きは2/3・1/4 = 1/6、Kから印付きは1/3・3/5 = 1/5です。印付き全体は1/6 + 1/5 = 11/30 > 0です。Kの割合は(1/5)/(11/30) = 6/11です。残る5/11はJに対応し、和は1です。
印なしに達する経路はLが1/4・1/3 = 1/12、Mが3/4・3/4 = 9/16です。全体は1/12 + 9/16 = 31/48 > 0です。Mの割合は(9/16)/(31/48) = 27/31です。印付きではなく印なしの枝を集めた点を確認します。
Nで2個とも印付きとなる経路は1/2・2/4・1/3 = 1/12です。Oでは1/2・3/5・2/4 = 3/20です。合計は1/12 + 3/20 = 7/30 > 0なので、Oの割合は(3/20)/(7/30) = 9/14です。残り5/14はNに対応します。2個目は残りの個数から決めています。
印付きの経路はPが1/2・2/4 = 1/4、Qが1/3・1/3 = 1/9、Rが1/6・3/4 = 1/8です。合計は1/4 + 1/9 + 1/8 = 35/72 > 0です。Rの割合は(1/8)/(35/72) = 9/35です。PとQはそれぞれ18/35、8/35で、3つを足すと1です。

覚えておくこと

観測した条件に至る経路を出所ごとに分けます。
各経路は出所の選択確率と、その後の条件付き確率を掛けます。
観測の確率が正であることを確かめ、その全経路の和を分母にします。
目的の出所の経路を分子にして割ります。
戻さない取り出しでは残りの内訳を更新します。

つまずきを見分ける問い

式の分母が箱の中の個数になっていたら、「何がわかった後の集団ですか」と尋ねてみます。印がわかった後なら、箱をまたいで印付きの経路を集める必要があります。反対に、経路を足せていても選択確率が抜けている場合は、「その箱に入るまでを含んだ確率ですか」と確認します。

個別指導で式を確かめるときは、分子と分母を言葉に戻してもらい、樹形図のどの枝に当たるかを示してもらいます。2回取り出す問題では、1回目の後に残る印付きと全体の個数をそれぞれ尋ねます。分母が0になる条件も検討すると、公式に数字を当てはめる前の判断が見えてきます。観測後の出所は、残った経路の比から読み取れます。