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高校数学A 確率の加法定理—重なる事象と排反な事象を表で見分けて計算する｜武蔵野個別指導塾
番号付き部品を二つの条件で分類し、重なる事象の確率を一度引く理由を表と計算で結びつけます。
よくあるのは、番号付き部品を1個取り出し、2つの条件の少なくとも一方を満たす確率を求める場面です。それぞれの条件に当てはまる番号を数えて足すと、両方を満たす番号が2回登場します。例えば、偶数であり同時に3の倍数でもある番号を、どちらの一覧にも書くからです。
問題文の「または」は、片方だけの場合に限定されません。両方を満たす場合も含めて、求める結果を1回ずつ数えるにはどうすればよいでしょうか。表を使って重なりを見つけ、確率の式と結びつけます。
「または」を結果に戻す
出方には、番号に2つの条件を付ける型、2つの条件を満たす確率が与えられる型、重なりがないことを利用する型があります。最初の型では、各番号を実際に分類できるので、重なりを表で確認できます。確率だけが与えられる型でも、同じ分類を頭に置けば、引くべき量の意味を失いません。
条件Aまたは条件Bを満たすとは、Aだけ、Bだけ、両方のいずれかに入ることです。「AかBのどちらか一方だけ」と書かれた場合は両方を除きます。この2つは異なる問いです。まず日本語の条件を結果の集まりとして書き、目的の集まりを確定してから計算します。
また、2つの条件が異なるというだけでは、同時に成立しないとは言えません。偶数と3の倍数は違う条件ですが、両方に当てはまる数があります。足し算をする前に、同時に成立する結果があるかを調べます。
和事象と積事象を表に置く
試行で起こる結果のうち、ある条件を満たす結果の集まりを事象といいます。事象AとBについて、少なくとも一方が起こる事象を和事象 A∪B、両方が起こる事象を積事象 A∩B といいます。積事象という名前でも、確率を無条件に掛けるという意味ではありません。
図1のように、結果をAに入るか、Bに入るかで4区分します。和事象は左上、右上、左下の3区分を合わせたものです。右下はどちらも起こらない結果なので入りません。
Aの確率にBの確率を加えると、両方に入る区分の確率が2回足されます。そこでその区分を1回引くと、和事象の各結果が1回ずつ残ります。この説明は、各結果の確率が等しくない場合にも、それぞれの区分の確率を足して成り立ちます。
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)これが確率の加法定理です。AとBが同時に起こらない、つまり積事象が空であるとき、AとBは排反といいます。排反なら P(A∩B) = 0 なので、和事象の確率は P(A) + P(B) です。逆に、単に別々の事象として名前が付いているだけでは排反とは判断できません。
有限個の結果が同様に確からしい場合は、確率を「条件に合う結果の数 / 全結果の数」で求められます。このときも分母をそろえ、分子で重なりを1回引きます。確率の表だけが与えられた場合は、結果の個数が等しいと決めつけず、与えられた確率を使います。
基本例題：番号の重なりを消す
1から12までの番号が1つずつ付いた12個の部品から、1個を同様に確からしく取り出します。番号が偶数または3の倍数である確率を、既約分数で求めてください。
偶数をA、3の倍数をBとします。取り出す部品は1個なので、結果は番号1から12までの12通りです。図2の表に各番号を1回ずつ入れると、両条件を満たす番号がどこにあるか確認できます。
偶数は 2、4、6、8、10、12 の6個です。3の倍数は 3、6、9、12 の4個で、両方に含まれるのは 6、12 の2個です。6と12はそれぞれ2つの一覧に現れますが、取り出す結果としてはそれぞれ1通りです。
P(A) = 6/12
P(B) = 4/12
P(A∩B) = 2/12
P(A∪B) = 6/12 + 4/12 - 2/12
= 8/12
= 2/3答えを番号に戻すと、該当するのは 2、3、4、6、8、9、10、12 の8個です。どちらにも該当しない 1、5、7、11 の4個と合わせると12個になります。直接作った一覧と式が一致し、目的の番号に漏れや重複がないと確認できます。
「偶数または3の倍数だが、両方ではない」と問いが変わるなら、6と12は残してはいけません。和事象から積事象をさらに除くので、6/12 + 4/12 − 2・2/12 です。同じ条件の言葉でも、両方を含むかどうかで求める区分が変わります。
標準例題：確率だけから重なりを求める
ある試行の事象AとBについて、P(A) = 3/5、P(B) = 1/2、P(A∪B) = 4/5 です。AとBが同時に起こる確率と、Aだけが起こる確率をそれぞれ既約分数で求めてください。
結果の個数は与えられていません。そこで、個数を仮定せず加法定理を移項します。和事象の確率は両方の確率の和から重なりを引いたものなので、重なりは次のように求まります。
P(A∩B) = P(A) + P(B) - P(A∪B)
= 3/5 + 1/2 - 4/5
= 6/10 + 5/10 - 8/10
= 3/10
P(Aだけ) = P(A) - P(A∩B)
= 6/10 - 3/10
= 3/10Bだけの確率は 5/10 − 3/10 = 2/10 です。Aだけ、両方、Bだけを合わせると 3/10 + 3/10 + 2/10 = 8/10 で、与えられた和事象に戻ります。どちらも起こらない確率は 2/10 です。4区分はいずれも0以上で、合計は1です。
この問題では P(A) と P(B) の和が1を超えますが、矛盾ではありません。同じ結果が両方に含まれ、その分が重複しているからです。一方、計算した重なりが負になったり、AまたはBの確率より大きくなったりしたら、与えられた値か計算のどちらかを点検します。
発展例題：二つの結果を組にして分類する
赤い札に1、2、3、4、5の番号、青い札に1、2、3、4の番号がそれぞれ1つずつ書かれています。赤と青から各1枚を同様に確からしく選び、赤の番号と青の番号の組を記録します。赤が偶数である事象をA、2枚の番号の和が6以上である事象をBとします。AまたはBが起こる確率を既約分数で求めてください。
色によって役割が決まるので、結果は（赤の番号、青の番号）の組です。赤5通りと青4通りを組み合わせ、全体は 5・4 = 20 通りです。各組は同様に確からしいとします。赤が偶数になるのは2と4の2通りなので、Aは 2・4 = 8 通りです。
Bは赤の番号ごとに数えます。赤が1のとき条件を満たす青はなく、赤が2、3、4、5のときは順に1、2、3、4通りです。例えば赤が3なら、青は3または4です。したがってBは 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10 通りです。
重なりは赤が2または4の場合に限って、和の条件も調べます。赤が2なら青は4の1通り、赤が4なら青は2、3、4の3通りです。よって重なりは4通りです。
P(A) = 8/20
P(B) = 10/20
P(A∩B) = 4/20
P(A∪B) = 8/20 + 10/20 - 4/20
= 14/20
= 7/10別の数え方では、赤が偶数なら青の番号に関係なく8通りを数えます。赤が奇数の場合に限って和が6以上の組を加えると、赤1では0通り、赤3では2通り、赤5では4通りです。合計は 8 + 0 + 2 + 4 = 14 通りです。後から加えた組は赤が奇数なので、先に数えた組と重なりません。
赤と青の役割を区別することが分母の条件です。番号の大小だけを記録する設定なら、同じ記録に対応する組の数が異なることもあり、この20通りをそのまま記録の種類に置き換えられません。何を1結果とするかを先に決めることが、加法定理に入る前の分かれ目です。
誤答を区分に戻して直す
基本例題で「6/12 + 4/12 = 10/12」とする誤答を考えます。図3のように、6と12が2つの一覧にそれぞれ現れるため、合計の10回の数え上げには同じ結果が2回ずつ含まれています。答えは確率として1以下ですが、そのことだけでは正しいと判断できません。
原因は「条件を満たす回数」と「条件を満たす結果の個数」を混同したことです。修正するときは、両方を満たす番号を列挙し、その確率 2/12 を1回引きます。引くのは重なり全部を消すためではなく、2回数えたものを1回にするためです。
反対に、排反な事象で重なりを勝手に引くのも誤りです。例えば1個の部品の番号が1である事象と、番号が2である事象は同時に起こりません。積事象は空で、引く確率は0です。排反かどうかは、条件名の違いではなく、同じ結果が両方を満たせるかで判断します。
また、排反と独立は別の性質です。排反は同時に起こらないことを表します。独立は一方の成立が他方の確率に影響しないという関係で、加法定理を使うための条件ではありません。重なりの確率が不明なら、排反かどうかの確認や追加の情報が必要です。
練習問題
各問の答えは既約分数で求めてください。条件の「または」は両方を含みます。
- 1から15までの番号が1つずつ付いた札から1枚を同様に確からしく選びます。番号が奇数または5の倍数である確率を求めてください。
- 1から10までの番号が1つずつ付いた札から1枚を同様に確からしく選びます。番号が3以下または8以上である確率を求めてください。
- 事象CとDについて、P(C) = 7/12、P(D) = 1/3、P(C∩D) = 1/6 です。CまたはDが起こる確率を求めてください。
- 事象EとFについて、P(E) = 3/4、P(F) = 2/5、P(E∪F) = 9/10 です。EとFが同時に起こる確率を求めてください。
- 白い札に1、2、3、4の番号、黒い札に1、2、3の番号がそれぞれ1つずつ書かれています。白と黒の選択は独立とし、各色から1枚を同様に確からしく選び、白と黒の番号の組を記録します。白が3以上または2枚の番号が等しい確率を求めてください。
練習問題の答えと解き方
- 奇数は8個、5の倍数は3個です。両方に入るのは5と15の2個です。
(8 + 3 - 2)/15 = 9/15
= 3/5該当番号は1、3、5、7、9、10、11、13、15の9個です。残る6個と合わせて15個です。
- 3以下は1、2、3の3個、8以上は8、9、10の3個です。同時には成立しないので排反です。
(3 + 3)/10 = 6/10
= 3/5どちらにも入らない4、5、6、7と合わせ、10個を過不足なく分類できます。
- 加法定理で重なりを1回引きます。
P(C∪D) = 7/12 + 1/3 - 1/6
= 7/12 + 4/12 - 2/12
= 9/12
= 3/4Cだけは5/12、Dだけは2/12、両方は2/12です。これらを足すと9/12となり、残りの3/12を加えると1です。
- 和事象の式を重なりについて解きます。
P(E∩F) = 3/4 + 2/5 - 9/10
= 15/20 + 8/20 - 18/20
= 5/20
= 1/4Eだけは10/20、Fだけは3/20です。両方の5/20を加えた18/20が与えられた和事象に戻ります。
- 全体は 4・3 = 12 通りです。白が3以上の組は6通り、番号が等しい組は（1、1）、（2、2）、（3、3）の3通りです。両方を満たす組は（3、3）の1通りです。
(6 + 3 - 1)/12 = 8/12
= 2/3白が3または4の6通りと、白が1または2で番号が等しい2通りに分けても8通りです。色ごとの役割を保って数えたので、全12通りと対応します。
要点
和事象は少なくとも一方、積事象は両方が起こる場合です。 加法定理では2回数えた積事象を1回引きます。 排反なら積事象は空で、その確率は0です。 「一方だけ」は両方を含む和事象とは違います。
式のどこでつまずいたかを見る
最初に、求める条件に合う結果を1つ、合わない結果を1つ挙げてみます。両方を満たす結果を合わないものに入れたなら、「または」の読み方を表の3区分で確認します。両方を含めているのに答えが大きすぎる場合は、各結果が式の中で何回数えられたかを追います。
個別指導で確かめるなら、引き算の項を指して「これはどの結果の確率ですか」と尋ねます。数字だけを答えた場合は、具体的な番号や組まで戻します。排反と答えた場合には、両条件を同時に満たす結果を作れるかを調べます。作れなければその理由を条件から説明し、作れたら重なりを数え直します。
確率の計算が終わったら、表の4区分が負でないことと合計が1になることを確かめます。式の各項を結果に対応させれば、重なりを引く理由が見えるようになります。
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