高校数学A 隣り合わない順列—隙間を選ぶ数と置く順番を分けて求める｜武蔵野個別指導塾

容器を互いに離して並べるとき、両端を含む隙間の選択と容器の割り当てを分け、置けない場合の理由も示します。

よくあるのは、異なる香りの容器を棚に一列に並べ、指定した容器同士を離そうとする場面です。先に他の容器を並べた後、その間に指定の容器を入れると考えれば、隣り合う配置を避けられそうです。しかし、間だけを数えて両端を忘れると、端に置ける配置が抜けます。どこを隙間と呼び、何を選び、何を並べるのかを分けて考えましょう。

離す条件は何を比べているか

「指定された容器同士が隣り合わない」とは、指定されたどの2個の間にも、指定されていない容器が少なくとも1個あるという意味です。棚の端に指定の容器があっても、そのことだけで条件に反するわけではありません。左から右への順序が異なれば別の並べ方とします。

問題の型には、指定された2個を離すもの、3個以上を互いに離すもの、さらに端に置ける容器を制限するものがあります。どれも最初に条件の対象を確かめます。例えば「赤い容器同士を離す」は、赤と別の色が隣り合うことまで禁じる条件ではありません。

指定以外の容器が異なるなら、まずそれらを一列に並べます。その並びを固定してから空いた場所を調べると、指定容器が入れる場所がはっきりします。指定容器が互いに異なる場合は、場所を選んだ後で、その場所への割り当ても数えます。選択と割り当てを混ぜないことが、重複を避ける第一歩です。

両端を含めた隙間の数え方

指定以外の容器を土台と呼びます。土台が横一列に m 個並ぶとき、隣り合う土台の間は m − 1 か所です。さらに左端と右端を加えると、隙間は m + 1 か所あります。図1のように、端も指定容器を置く候補です。土台の左右を囲む壁ではなく、棚の並びの端を表しています。

隙間に指定容器を2個以上入れると、その隙間の中で指定容器同士が隣り合います。逆に、各隙間に高々1個ずつ入れれば、異なる隙間に入った指定容器の間には土台が少なくとも1個あります。したがって、互いに離す条件は、異なる隙間を選ぶ条件と対応します。

土台 m 個と指定容器 r 個がそれぞれすべて異なり、土台にも指定容器にも他の制限がないとします。r が m + 1 以下なら、土台の並べ方は m! 通り、隙間の選び方は (m + 1)Cr 通り、選んだ隙間への指定容器の並べ方は r! 通りです。よって積の法則で m!・(m + 1)Cr・r! 通りです。階乗 m! は m から 1 までの整数の積で、0! は 1 とします。

この式は、完成した並びから指定容器を取り除くと、土台の順序と指定容器が入っていた隙間が一意に戻ることで支えられます。作り方が違うのに同じ完成形になることも、条件を満たす完成形が作り方から漏れることもありません。r が m + 1 より大きいときは、異なる隙間が足りないので 0 通りです。組合せの式に無理に代入する前に、実現できるか調べます。

土台に同じものが含まれたり、指定容器ごとに置ける場所が違ったりするなら、そのままの積は使えません。先に土台の異なる並びを正しく数え、制限が隙間ごとにどう変わるかを調べ直します。次の例では容器をすべて区別します。

基本例題：2個を離して置く

問題：異なる香りの容器 A、B と、その他の異なる容器 C、D、E、F を棚に一列に並べます。A と B が隣り合わない並べ方は何通りですか。左右の順序が違えば別とし、整数の通り数で答えてください。

方針は C、D、E、F を土台にして、A と B を別々の隙間に置くことです。土台の順序を C、D、E、F と決めた場合を図2に示します。図2の5か所から2か所を選び、左右の順に A、B と置く場合と B、A と置く場合を区別します。

土台の並べ方は次の通りです。

4! = 4・3・2・1
   = 24

土台の順序を1通りに固定すると、隙間は 4 + 1 = 5 か所あります。2か所の選択と、A、B の割り当ては次のようになります。

5C2 = (5・4)/(2・1)
    = 10
2! = 2
24・10・2 = 480

答えは 480 通りです。例えば A、C、D、E、F、B は両端の隙間を使う有効な並びです。完成した並びから A と B を取り除けば C、D、E、F の順序が戻り、それぞれが入った隙間も決まります。逆に選んだ異なる隙間の間には土台があるので、数えた並びは条件を満たします。

別の確認では、6個の全順列から A と B が隣り合う並びを引きます。全体は 6! = 720 通りです。隣り合う A、B を一組として他の4個と並べると 5! 通りあり、その組の内部は AB、BA の2通りです。したがって 720 − 5!・2 = 480 通りとなり、隙間法と一致します。この引き算では、隣り合う並びを除いています。隙間法では、最初から隣り合わない並びを作っています。

標準例題：3個を互いに離す

問題：異なる3冊の詩集 P、Q、R と、異なる4冊の画集を一列に並べます。どの2冊の詩集も隣り合わない並べ方は何通りですか。左右の順序が違えば別とし、整数で答えてください。

画集を土台にします。画集の順序を決めると、詩集を置ける隙間は両端を含めて5か所です。3冊を互いに離すには、そのうち異なる3か所を使います。選んだ位置に P、Q、R のどれを置くかも決めなければ、完成した本の順序は決まりません。

画集の並べ方 = 4! = 24
隙間の選び方 = 5C3 = 10
詩集の並べ方 = 3! = 6
24・10・6 = 1440

答えは 1440 通りです。選んだ3か所を左から順に見れば、詩集の並びが1通り決まります。完成形から詩集を外せば画集の順序と使った3か所に戻れるため、同じ並びを複数回数えていません。

隙間を選んでから並べる代わりに、P、Q、R の順に空いている隙間を割り当てても求められます。最初は5か所、次は4か所、最後は3か所なので 5・4・3 = 60 通りです。これは 5C3・3! と同じです。前者は本ごとに場所を決め、後者は場所の集合を決めてから本を割り当てています。どちらか一方を使えばよく、両方を掛けると同じ割り当てを繰り返してしまいます。

発展例題：端の条件が加わるとき

問題：異なる3枚の青いカード A、B、C と、異なる4枚の白いカードを一列に並べます。青いカード同士は互いに隣り合わず、両端には白いカードを置きます。並べ方を整数の通り数で求めてください。左右を入れ替えた順序は別とします。

白いカードを土台にすると隙間は5か所ですが、今回は両端に青を置けません。使えるのは白と白の間の3か所です。青は3枚あるため、その3か所をすべて使います。ここで基本例題と同じように5か所から選ぶと、端に青がある並びまで含めることになります。

白の並べ方 = 4! = 24
使う隙間の選び方 = 3C3 = 1
青の並べ方 = 3! = 6
24・1・6 = 144

答えは 144 通りです。完成形は白、青、白、青、白、青、白の色の順序に限られます。白4枚と青3枚の位置がそれぞれ決まるので、個別のカードの並べ方を掛けた結果も 4!・3! = 144 通りです。どの青の間にも白があり、両端も白です。

条件の分かれ目は、端の隙間を数える前に端の指定を読むことです。例えばこの問題で青がもう1枚増えると、内部の隙間は3か所のままなので、互いに離して両端を白にする配置はありません。青が入る位置を4か所選べないため 0 通りです。これは計算の途中で失敗したのではなく、条件を満たす並びが存在しないという結論です。

土台の個数が少ない場合も同じ考えで確かめられます。使える隙間の数が指定の個数と等しければ、場所の選択は1通りです。隙間が余る場合には、どの隙間を空けるかによって別の配置が生まれます。端の禁止のほかに特定のカードの位置が制限されている場合は、カードごとに候補が異なるため、先にそのカードの位置で場合分けすると数えやすくなります。

誤答から隙間の意味を直す

基本例題で「土台4個の間は3か所だから 4!・3C2・2! = 144 通り」と答えたとします。この計算は、A と B を土台の間に置く並びを数えています。しかし問題は両端を禁止していません。例えば図3のように左端へ A を置く並びは条件を満たすのに、この計算では落ちます。

原因は「隙間」を土台と土台の間に限定したことです。修正するときは、まず土台の左端と右端にも印を付け、5か所から2か所を選びます。端を使った完成形を実際に1つ書いて、数え方の対象に入っているか確かめると、漏れを見つけられます。

別の誤りは 4!・5C2 = 240 とすることです。場所は選べていますが、選んだ2か所に A、B を入れ替える2通りを区別していません。2個が異なるという条件に戻り、2! を掛けます。逆に、5P2 を使った後でさらに 2! を掛けると、割り当てを二重に数えます。5P2 には A の場所と B の場所の区別がすでに含まれているからです。

条件を満たさない場合の確認も必要です。同じ隙間へ A、B の両方を入れる方法を許すと、2個は隣り合います。土台の間が広く見えても、並び順を数える問題ではそこに他の容器がなければ2個は隣接します。図に隙間を描くときは、各隙間に高々1個という約束まで言葉にしてください。

練習問題

いずれも挙げたものは互いに異なり、一列の左右の順序が違えば別の並べ方とします。答えは整数の通り数で求めてください。

1. 2個の星形の飾りと3個の丸い飾りを並べます。星形同士が隣り合わない並べ方は何通りですか。
2. 3人の係と5人の参加者が一列に並びます。係のどの2人も隣り合わない並び方は何通りですか。
3. 2枚の赤い札と5枚の黄色い札を並べます。赤い札同士は隣り合わず、両端は黄色い札とする並べ方は何通りですか。
4. 4個の小箱と2個の大箱を並べます。小箱のどの2個も隣り合わない並べ方は何通りですか。
5. 2個の印付き部品 A、B と4個の印なし部品を並べます。A と B は隣り合わず、A は左端に置くことにします。並べ方は何通りですか。

練習問題の答えと解き方

1. 丸い飾りを並べると 3! 通りで、隙間は両端を含む4か所です。そのうち2か所を選んで星形を並べます。

3!・4C2・2! = 6・6・2
              = 72

答えは 72 通りです。星形を外せば丸い飾りの順序と星形の入った2か所が戻ります。両端に星形を置く場合も含みます。

2. 参加者の並べ方は 5! 通りで、その隙間は6か所です。異なる3か所に係を1人ずつ置きます。

5!・6C3・3! = 120・20・6
              = 14400

答えは 14400 通りです。各係の間には参加者がいるので条件を満たします。完成形から係を除くと、参加者の順序と係の場所が一意に戻ります。

3. 黄色い札を土台にすると、両端を除いた内部の隙間は4か所です。赤い札を置く2か所を選び、2枚を並べます。

5!・4C2・2! = 120・6・2
              = 1440

答えは 1440 通りです。使った隙間は内部なので端は黄色く、異なる隙間の赤い札の間には黄色い札があります。

4. 大箱2個の間と両端を合わせても隙間は3か所です。互いに離す小箱4個には4か所必要なので、答えは 0 通りです。小箱をどのように割り当てても、少なくとも2個が同じ隙間に入って隣り合います。

5. 先に印なし部品4個を並べると 4! 通りです。A が左端にあるので、A は土台の左端の隙間に固定されます。B は残る4か所のどこかに置けます。

4!・4 = 24・4
      = 96

答えは 96 通りです。B を右端に置く場合も含みます。完成形から A と B を除くと土台の順序が戻り、A は左端、B は残るいずれかの隙間にあるので、漏れも重複もありません。

覚えておくこと

土台 m 個の隙間は、両端を含めて m + 1 か所です。 離すものは異なる隙間に1個ずつ置きます。 場所の選択と異なるものの割り当てを区別します。 端の制限と、隙間が足りるかを先に確認します。

式のどこで迷っているか

個別指導で確かめるなら、まず書いた積の各因数が何を決める数かを尋ねます。隙間の数を3と書いた人には、土台4個の左端に指定容器を置いた並びを描いてもらいます。その並びが条件に合うかを確認すれば、端を候補に入れる理由を自分の言葉で説明できます。

組合せを書いた後に止まる人には、選んだ隙間に異なる容器を入れ替えた2つの並びを比べてもらいます。反対に順列と階乗を両方掛けた人には、1つの完成形から作り方を逆にたどってもらいます。0通りという答えには、使える隙間の数と置きたい個数を並べて確認します。配置の条件を隙間へ移し、完成形から戻せれば、数え方の漏れと重複を点検できます。