高校数学A 隣り合う条件の順列—一組にまとめる操作と内部の並びを区別する｜武蔵野個別指導塾

連続上映の作品を束ね、外側の配置と内部の順序を別々に数えます。共有する作品がある隣接条件も、一つの束へ整理します。

よくあるのは、高1が映像の連続上映で指定された二作品を一組にして並べた後、組の中の上映順を忘れる場面です。先に上映する作品が違えば、同じ作品を使っていても別の上映順です。一方、同じ上映順を二つの方法で作ってしまえば、数えすぎになります。まとまりを作るときは、外側の配置と内側の順番を別々に調べます。

どんな条件を読み取るか

上映順のように左から右へ一列に並べる問題では、指定した二つが続く場合、指定した三つが続く場合、複数の隣接条件を同時に満たす場合が考えられます。いずれも順番の違いを別に数えますが、一つの束にできる範囲や束の内部で許される順番は同じとは限りません。

ここで扱うのは、区別できるものを一列に並べ、指定されたものが隣り合う条件です。左端と右端は隣り合いません。円形の配置や、指定したものが離れる条件は扱いません。まず条件を矢印や線で書き、何を一つの対象として置けるかを考えます。

束の外と中を分ける

異なる n 個を一列に並べる方法は、左から順に n、n − 1、…、1 個の選択肢があるので n! 通りです。ここで n! は n から 1 までの整数の積を表します。異なるものを残さず一度ずつ使うという条件を確認してから、この式を使います。

指定した A と B が隣り合うなら、A と B をまとめて一つのブロックと見ます。ブロックの外側を並べる際には、ブロックは一つの対象です。しかしブロックを元に戻す際には AB と BA の 2 通りがあります。図1のように、外側の並びを一つ決めるたび、内側の 2 通りを選べます。

図1の束をほどくと、元の上映順が一つ定まります。逆に条件を満たす上映順から A と B を一緒に囲めば、外側の並びと内側の順序が一意に戻ります。この両方向の対応があるので、漏れも重複もなく積の法則を使えます。

三つが連続する場合も同じです。三つを一つのブロックにし、内部の順番に制限がなければ 3! 通りを掛けます。ただし「A と B が隣り合い、B と C も隣り合う」と「A、B、C が連続する」は異なります。前者では B が中央に必要ですが、後者では中央が誰でもかまいません。問題の言葉を内部の条件に翻訳することが分かれ目です。

基本例題：二作品を続ける

問題。異なる 5 作品 A、B、C、D、E を一列に連続上映します。A と B が隣り合う上映順は何通りですか。整数で答えてください。

方針。A と B を一つにまとめると、外側に並べる対象は、束、C、D、E の 4 個です。作品はすべて異なり、束の中の順番に指定はありません。

図2のように、例えば束を先頭に置き、その後に C、D、E を並べる外側の形にも、AB と BA の 2 通りが対応します。他の外側の並びでも同じです。

外側の順番は 4! 通り、内部は 2! 通りです。したがって、

4!・2!
= 4・3・2・1・2・1
= 48

答えは 48 通りです。例えば AB C D E と BA C D E は別の上映順です。逆に任意の条件を満たす上映順を見れば、隣り合う A と B の位置は一か所に決まります。そこを束に戻すと、4 対象の並びと内部の順序をそれぞれ復元できます。作品を重複して使うことも、作品を抜かすこともありません。

束の位置だけを先に決めても検算できます。隣接する 2 枠の左側は、1 番目から 4 番目までの 4 通りです。その枠に A と B を入れる順番が 2 通り、残る 3 枠に C、D、E を入れる順番が 3! 通りです。

4・2・3!
= 4・2・6
= 48

この方法では束の位置と残りの枠を直接指定します。どの上映順にも A と B の左側の位置が一つ決まるため、同じ上映順を別の位置で数えることはありません。

標準例題：三つを続け、内部にも条件を付ける

問題。異なる 6 冊の本 A、B、C、D、E、F を一列に並べます。A、B、C の 3 冊が連続し、その中で A と B が隣り合う並べ方は何通りですか。整数で答えてください。

まず 3 冊の連続部分を一つの束にします。外側には束と D、E、F の 4 対象があるので、外側の順番は 4! 通りです。次に束の中の A と B をさらに一組にします。その小さい束と C の順番が 2! 通り、小さい束の内部が 2! 通りです。

4!・2!・2!
= 24・2・2
= 96

答えは 96 通りです。内部を直接書けば ABC、BAC、CAB、CBA の 4 通りです。ACB と BCA では A と B の間に C があるため条件に合いません。内部の 6 通りを無条件で掛けるのではなく、指定された隣接を確認します。

別の見方では、A と B の小さい束と C のどちらが先かを決め、それぞれについて小さい束をほどきます。この手順から得る 4 通りは、直接列挙した 4 通りと対応します。外側から元の本の列へ戻したときも、6 冊は一度ずつ現れ、A、B、C は続いています。A と B の小さい束を囲む位置も一意です。

発展例題：重なる隣接条件

問題。異なる 7 枚のカード A、B、C、D、E、F、G を一列に並べます。A と B が隣り合い、さらに B と C も隣り合う並べ方は何通りですか。整数で答えてください。

二つの条件は B を共有します。別々の二束として数えると B を二度使うので、元の 7 枚の配置には戻りません。B の左右に A と C がそれぞれ置かれる必要があります。従って連続部分は ABC または CBA の 2 通りです。

この 3 枚を一つの束と見ると、外側は束、D、E、F、G の 5 対象です。外側の 5! 通りのそれぞれに、内部の 2 通りを対応させます。

5!・2
= 120・2
= 240

答えは 240 通りです。B が端にある並びを含めていないかも確かめます。例えば BAC では B と C の間に A があるため、条件を満たしません。内部の順序として使えるのは、B が中央にある ABC と CBA の2通りです。反対に、条件を満たす任意の列では B の両隣が A と C であり、その 3 枚を囲む方法は一意です。束をほどけば各カードが一度ずつ現れ、二つの隣接条件も満たします。

条件が「A、B、C が何らかの順に連続する」だけなら、内部は 3! 通りです。二つの条件を個別に書いてから、内部の並びを列挙すると違いが見えます。また「A と B が隣り合う、または B と C が隣り合う」なら、両方を満たす列が二つの数え方に共通します。この場合は重複分を調整する必要があり、二つの数をそのまま足してはいけません。「かつ」と「または」を読み違えないことが先決です。

誤答から束を点検する

基本例題で 4! = 24 通りとする誤答は、束を一つとして並べるところまでは合っています。しかし束を開くと AB と BA があり、片方しか数えていません。図3のように、一つの外側の並びに対応する二つの元の列を書いて確かめます。

図3では先頭の束を開いても他の 3 作品の順序は変わりません。見落とした内部の 2 通りを掛ければ 48 通りです。反対に、内部の順番が「A の直後に B」と指定されるなら BA は許されず、2 を掛けると数えすぎます。掛ける数は束の大きさだけで決めず、問題の条件を満たす内部の列を数えて決めます。

もう一つの誤りは、発展例題で AB と BC を別々に束ねることです。B が二つ現れるため、束を戻した列はカード 7 枚の並びではありません。共通するカードに注目し、B の両側を埋めてから一つの束に直します。作った一例を元の条件に戻すと、この種の失敗に気づけます。

数え方を選ぶときの確認

束にする方法が使いやすいのは、指定された部分が必ず連続し、それを一つの対象に縮めても残りの対象を区別できる場合です。例えば上映順の途中に AB がある列を見れば、A と B を囲む位置に迷いはありません。囲んだ束を別の位置に置けば、上映される順番が変わります。したがって外側の順列を数える意味があります。

一方、連続という言葉だけを見て機械的に階乗を掛けると、順序の制限を落とします。まず元の列に戻したときに何が許されるかを、小さな束について書き出してください。内部を列挙できれば、その個数を外側の各並びに掛けてよいかも判断できます。外側の位置によって内部の許され方が変わる条件なら、同じ個数を一律に掛けず、位置ごとに分けて数えます。

また、二つの条件を足すときは共通する列の有無を調べます。共通する列があるのに単純に足すと、その列を二度数えます。引き直す方法では、共通部分を正確に数えることが必要です。条件を満たさない列を引いてしまわないよう、共通部分の代表を一つ書き、両方の条件に戻して確かめます。

練習問題

いずれも異なるものを一列に並べます。左右を逆にした列は別とし、答えは整数の通り数で示してください。

1. 異なる 4 色の旗 P、Q、R、S を並べます。P と Q が隣り合う並べ方は何通りですか。
2. 異なる 6 個の模型 U、V、W、X、Y、Z を並べます。U、V、W が連続する並べ方は何通りですか。
3. 異なる 5 人 J、K、L、M、N が並びます。J の直後に K がいる並び方は何通りですか。
4. 異なる 6 枚の札 H、I、J、K、L、M を並べます。H と I が隣り合い、J と K も隣り合う並べ方は何通りですか。
5. 異なる 5 個の印 A、B、C、D、E を並べます。A と B が隣り合うか、B と C が隣り合う並べ方は何通りですか。両方を満たす場合も含めます。

練習問題の答えと解き方

1. P と Q を一束にすると、束、R、S の 3 対象です。束の中には PQ と QP があるので、

3!・2!
= 6・2
= 12

12 通りです。束をほどくと旗 4 本が一度ずつ並び、P と Q は続いています。元の列から束を作る位置も一意です。

2. U、V、W を一束にすると、束、X、Y、Z の 4 対象です。束の中の 3 個の順番は自由なので、

4!・3!
= 24・6
= 144

144 通りです。内部のどの順番でも 3 個は連続します。条件を満たす列ではその連続部分を一意に囲めます。

3. JK を一束にすると、束、L、M、N の 4 対象です。直後という条件により内部は JK の 1 通りです。

4!・1
= 24

24 通りです。KJ は J の直後に K がいないので含めません。束を開くと必ず指定の順番が現れます。

4. HI の束と JK の束は共通する札を持ちません。2 束と L、M の計 4 対象を並べ、各束を独立に開きます。

4!・2!・2!
= 24・2・2
= 96

96 通りです。元の列ではそれぞれの指定された札の組を一意に囲めます。2 束は中身が違うので、束同士の交換も別の列です。

5. A と B が隣り合う列は、AB の束と C、D、E を並べるので 4!・2 = 48 通りです。同様に B と C が隣り合う列も 48 通りです。両方を満たす列は、ABC または CBA を一束にして D、E と並べるので 3!・2 = 12 通りです。

48 + 48 - 12
= 84

84 通りです。両方を満たす列は最初の二つの数に一度ずつ含まれるため、一度引きます。片方だけを満たす列は一度数えられたままです。どちらも満たさない列は加えられていません。

練習では、まず各問題の束に含まれるものを丸で囲み、残りと合わせて外側の対象の数を数えてみてください。その後に内部の並びを列挙すると、順序が自由な場合と固定される場合を区別できます。答えが出たら、束を開いた一例が問題の条件を満たすか、逆に条件を満たす列を束に戻せるかを確かめます。特に複数の条件がある場合は、同じものを別の束に重複して入れていないかも見直します。

覚えておくこと

束を一対象として外側を並べます。
内部で許される順番を別に数えます。
共通するものを含む束は、そのまま二つ作れません。
元の列と数え方が一対一に対応するか確かめます。

つまずきを見分けるには

式に階乗が一つしかないときは、その階乗が何を並べているのか尋ねます。外側の対象を言えたら、束を一つ選び、内部の順番を実際に書いてもらいます。二つの列ができるのに式で一つしか選んでいなければ、掛ける数の不足を具体的に確認できます。

個別指導では、逆に書かれた式の各因数から元の並びを作ってもらいます。束が重なって同じものを二度使っていないか、順序指定に反する列を含めていないかを一緒に点検します。作った列から束の位置と内部の順番を戻せれば、数え方の漏れや重複も説明できます。隣接の条件は、束を作った後にその中を開くところまで考えると明確になります。