高校数学A 場合の数と余事象の考え方—少なくとも一つの条件を満たす選択を数える｜武蔵野個別指導塾

写真を少なくとも1枚含む選択から、複数の禁止条件がある選択まで、全体から除く範囲を具体的に絞ります。

よくあるのは、写真データから何枚かを選ぶとき、「少なくとも1枚は横長」という注文を「横長が1枚だけ」と読んでしまう場面です。横長が2枚や3枚の選び方も、注文を満たします。枚数ごとに数えて足すことはできますが、横長が1枚もない選び方を全体から除けば、まとめて数えられます。どの選択を全体に含め、何を除くのかを先に決めましょう。

「少なくとも」をどう数えるか

条件を満たす選び方の個数を求める問題では、まず1通りを何で区別するかを決めます。写真の集合を選ぶだけなら選んだ順番は区別せず、異なる写真の組を別の選び方とします。一方、表示する位置まで決めるなら、同じ写真を使っても位置を入れ替えたものは別の配置です。全体と、そこから引く選択の両方で同じ区別を使う必要があります。

出方にはいくつかの型があります。1つ目は「少なくとも1枚が横長」のように、該当する枚数が複数あり、0枚の場合なら簡単に数えられる型です。2つ目は「指定したものをすべて含む」といった条件で、含まれないものが少なくとも1つある場合を除く型です。ただし、後者は除く側の重なりに注意が必要で、直接数える方が楽な場合もあります。3つ目は、複数の条件を同時に満たす配置です。満たさない配置を引くとき、複数の失敗を重複して引かない工夫が要ります。

「少なくとも」は下限を含みます。1枚以上なら1枚、2枚、3枚と、選ぶ枚数の範囲内で続きます。「ちょうど1枚」はそのうち1枚の場合に限ります。反対に「1枚以下」は0枚と1枚であり、その否定は2枚以上です。引き算を始める前に、条件に合う枚数と合わない枚数を並べると、境界を落としにくくなります。

全体と補集合を先に決める

考える対象を集めた集合を全体集合とし、その中で条件を満たすものを集めた集合をAとします。全体集合のうちAに属さないものの集合を、Aの補集合といいます。確率で事象Aが起こらない事象はAの余事象と呼びます。ここでは同じ否定の考え方を選び方の個数に用い、確率は求めません。

全体の各選択は、条件を満たす側と満たさない側のどちらか一方に入り、両方には入りません。したがって、全体の個数は両側の個数の和です。これを移項すると次の関係になります。

条件を満たす個数 = 全体の個数 − 条件を満たさない個数

図1のように、全体の枠を先に固定し、その内部を2つに分けます。枠の外の選択を引くことはできません。また、求めたい側と除く側が重なったり、どちらにも入らないものが残ったりすると、この引き算は使えません。

図1の2つの領域は、例えば横長写真を3枚選んだ場合を左、0枚選んだ場合を右として含みます。横長が2枚の選択も左です。「1枚以上」の否定は「1枚以下」ではなく「0枚」です。一般に「少なくとも2枚」の否定なら0枚または1枚であり、「すべて横長」の否定なら横長でない写真が少なくとも1枚あります。

ここでいう全体は、問題の制約を無視した何でもありの集合ではありません。例えば「異なる写真から重複なく3枚選ぶ」という基本の条件は、全体を作る段階で守ります。その上で「横長が少なくとも1枚」という追加条件だけを否定します。引く側でも3枚を選び、同じ写真を2回選ばず、順序を区別しません。この一致が、引き算の土台です。

基本例題: 横長が入る写真の組

横長の写真データ4枚と縦長の写真データ5枚があり、9枚はすべて異なります。この中から重複なく3枚を選びます。選ぶ順序は区別しません。横長を少なくとも1枚含む選び方は何通りですか。整数で答えます。

横長が1枚、2枚、3枚の3つの場合を直接足すこともできます。ここでは、横長が0枚という1つの型を除きます。0枚なら選んだ3枚はすべて縦長なので、5枚から3枚を選べば数えられます。

全体は異なる9枚から順序を区別せず3枚を選ぶので、9C3通りです。横長がない選択は5C3通りです。図2のように、全体から縦長だけの選択を取り除きます。

全体 = 9C3
     = 9・8・7/(3・2・1)
     = 84
横長が0枚 = 5C3
          = 5・4・3/(3・2・1)
          = 10
求める数 = 84 - 10
         = 74

答えは74通りです。図2の10通りは84通りの中に含まれ、横長を含む選択とは重なりません。例えば横長2枚と縦長1枚の組は、除いた縦長3枚の組に入らないので残ります。横長3枚も残ります。選択の形を元の問題に戻すと、残った各組は3枚で重複がなく、横長を1枚以上含んでいます。

別の見方では、横長の枚数を固定して数えます。1枚なら4C1・5C2 = 40通り、2枚なら4C2・5C1 = 30通り、3枚なら4C3 = 4通りです。互いに横長の枚数が異なり、条件に合う組を尽くすので、40 + 30 + 4 = 74通りです。引き算が同じ個数に至る理由は、残った組の各々がこの3分類のちょうど1つに属するためです。

もし縦長が2枚しかなければ、縦長だけで3枚を選ぶことはできません。そのとき除く個数は0で、全体のどの選び方にも横長が入ります。存在しない選択を無理に組合せの式にせず、まず枚数が足りるか確認しましょう。

標準例題: 表示位置を区別する

異なる6枚のカードのうち2枚に星印があり、残り4枚には星印がありません。重複なく3枚を選び、左・中央・右の3か所に1枚ずつ置きます。位置の異なる配置は区別します。星印のカードを少なくとも1枚含む配置は何通りですか。整数で答えます。

基本例題と違い、ここでは順序が結果の一部です。同じ3枚でも左右を交換すれば別の配置になります。全体は左から順に6、5、4通りを選び、星印がない配置は4枚から3枚を同様に置きます。

全体 = 6・5・4
     = 120
星印がない配置 = 4・3・2
               = 24
求める数 = 120 - 24
         = 96

答えは96通りです。引いた配置も左・中央・右を区別しているため、全体の中の1配置にそれぞれ対応します。全体を順序ありで数えたのに、引く側を4C3とすると、星印のない各組について6通りの配置のうち1通り分しか引けません。単位が合っていないことが原因です。

直接数えると、星印が1枚の配置は、星印2枚から1枚、印なし4枚から2枚を選び、その3枚を並べて2C1・4C2・3・2・1 = 72通りです。星印が2枚の配置は2C2・4C1・3・2・1 = 24通りです。合計は96通りで、星印は2枚しかないのでそれ以上の内訳はありません。選ぶ組と配置を区別して数えても、引き算と同じ配置を得ます。

条件が「左に星印」なら、左の候補は2枚、中央は残り5枚、右は残り4枚で2・5・4 = 40通りです。「少なくとも1枚」と位置の指定は異なります。問題文にない位置の条件を足してしまうと、中央や右にだけ星印がある配置を落とします。

発展例題: 失敗が重なるとき

異なる赤い札3枚、青い札4枚、白い札3枚から、重複なく4枚を選びます。選ぶ順序は区別しません。赤と青をそれぞれ少なくとも1枚含む選び方は何通りですか。整数で答えます。

赤と青の両方が必要です。求める条件を満たさないのは「赤が0枚、または青が0枚」です。「赤も青も0枚」だけを除くのでは、赤があって青がない組などが残ってしまいます。一方、赤がない組と青がない組を別々に引くと、両方ない組を2回引きます。両方ない組は白4枚の選択ですが、白は3枚なので今回は存在しません。

全体 = 10C4
     = 210
赤がない = 7C4
         = 35
青がない = 6C4
         = 15
赤も青もない = 0
求める数 = 210 - 35 - 15 + 0
         = 160

答えは160通りです。赤がない35通りは青と白の7枚から4枚を選んだ組、青がない15通りは赤と白の6枚から4枚を選んだ組です。白だけでは4枚に届かず、両者は重なりません。各組の枚数は4枚でそろっており、引いた後には赤と青がともに残ります。

白が4枚以上に変わる場合は、赤も青もない組を2回引くため、その個数を1回戻します。例えば白が4枚なら、白4枚の組が1通りあり、2回引いた後に1回足せば、全体からちょうど1回除いたことになります。条件を満たすものは一度も引かれず、赤がないだけの組と青がないだけの組はそれぞれ1回引かれます。全体の数字も変更後の枚数で計算し直す必要があります。

直接数えて確かめることもできます。赤の枚数を1、2、3と分け、残りを青と白で埋めた後、青が0枚の組を除きます。赤1枚なら3C1・(7C3 − 3C3) = 102通り、赤2枚なら3C2・(7C2 − 3C2) = 54通り、赤3枚なら3C3・(7C1 − 3C1) = 4通りです。和は160通りです。この分類では赤の枚数が違う組は重ならず、赤を少なくとも1枚含む組を尽くしています。

引き算の失敗を直す

基本例題で「横長を1枚選び、縦長を2枚選ぶ」として40通りと答える誤りを考えます。式自体は横長がちょうど1枚の組を正しく数えています。しかし求める条件は1枚以上なので、横長2枚と3枚の組を落としています。図3のように、条件を枚数の範囲に直してから、除く側を決めます。

図3では1、2、3枚が求める範囲で、0枚が除く範囲です。まず「横長が0枚なら注文に反するか」、次に「1枚以上なら必ず注文を満たすか」を両方向に確かめます。この2問に答えられれば、全体から引く範囲を言葉で説明できます。

別の誤りは、全体を選び方、除く側を並べ方で数えることです。選択の順序を区別するかを全体と除く側でそろえましょう。また、複数の禁止条件を引くときは、それぞれに該当する選択が重なり得ます。重なりが空かどうかを具体的な枚数に戻し、空でなければ重複して引いた分を戻します。

引き算の答えが負になった場合も、計算を続けずに全体と除く側を見直します。除く側は全体の部分なので、その個数が全体を超えることはありません。ただし、答えが正でも正しいとは限りません。1枚だけの40通りのように正の数でも、必要な選択を落とすことがあるからです。

練習問題

いずれも品物は同じ種類の中でも区別でき、重複なく選びます。選ぶ順序は区別せず、配置を指定した問題では位置を区別します。答えは整数の通り数で求めましょう。

1. 木製の部品3個と金属製の部品6個から4個を選びます。木製を少なくとも1個含む選び方は何通りですか。
2. 異なる8冊の本のうち、詩集は3冊です。3冊を選んで左から一列に並べます。詩集を少なくとも1冊含む並べ方は何通りですか。
3. 異なる緑の封筒2枚と黄色の封筒5枚から3枚を選びます。緑の封筒を少なくとも2枚含む選び方は何通りですか。
4. 異なる丸いシール2枚、四角いシール3枚、星形のシール4枚から3枚を選びます。丸と四角をそれぞれ少なくとも1枚含む選び方は何通りですか。
5. 異なる模様の布7枚のうち、指定された2枚を両方含むように4枚を選びます。選び方は何通りですか。

練習問題の答えと解き方

1

全体は9C4 = 126通りです。木製が0個なら金属製6個から4個を選ぶので6C4 = 15通りです。

126 - 15 = 111

111通りです。木製が1、2、3個の組が残り、4個の組は木製の在庫が足りないので存在しません。実際に1個のとき3C1・6C3 = 60通り、2個のとき3C2・6C2 = 45通り、3個のとき3C3・6C1 = 6通りで、合計111通りです。

2

位置を区別するので、全体は8・7・6 = 336通りです。詩集がない並びは残り5冊から並べる5・4・3 = 60通りです。

336 - 60 = 276

276通りです。引いた各配置は全体にも1回ずつ含まれます。詩集を含む3冊の組を先に選ぶなら、8C3 − 5C3 = 46組あり、各組の並びは6通りなので46・6 = 276通りです。

3

「2枚以上」の否定は0枚または1枚です。全体は7C3 = 35通り、緑0枚は5C3 = 10通り、緑1枚は2C1・5C2 = 20通りです。

35 - 10 - 20 = 5

5通りです。緑は2枚しかないため、条件に合う選択は緑2枚と黄色1枚です。直接数えた2C2・5C1 = 5通りとも一致します。0枚だけ引くと、条件を満たさない1枚の組が残ります。

4

全体は9C3 = 84通りです。丸がない組は7C3 = 35通り、四角がない組は6C3 = 20通りです。星形だけの組4C3 = 4通りは両方に含まれ、2回引かれるので1回戻します。

84 - 35 - 20 + 4 = 33

33通りです。直接分類すると、丸1枚・四角1枚・星形1枚は2・3・4 = 24通り、丸2枚・四角1枚は2C2・3C1 = 3通り、丸1枚・四角2枚は2C1・3C2 = 6通りです。3つを足して33通りとなり、各組は3枚で両方の形を含みます。

5

指定された2枚を固定すると、残る5枚から2枚を選ぶので5C2 = 10通りです。否定を用いても確かめられます。全体は7C4 = 35通りです。指定の一方を含まない組と他方を含まない組は各6C4 = 15通りで、両方を含まない組5C4 = 5通りを2回引いています。

35 - 15 - 15 + 5 = 10

10通りです。この問題では直接固定する方が短く済みます。余事象は常に最短の計算法ではなく、除く側の重なりまで含めて比較して選ぶ道具です。

覚えておくこと

全体の選択の決め方を、引く側でもそろえます。
「少なくとも1つ」の否定は「0個」です。
複数の失敗を引くときは重なりを確認します。
残る選択が条件に合い、合う選択が残ることを確かめます。

式が止まったときに確かめること

全体の式が立たないときは、具体的に1通りを書き、順番を入れ替えたものを別に数えるか尋ねます。全体は書けるのに引く式が立たないときは、条件を満たさない具体例を1つ挙げ、逆に引こうとする選択が本当に条件に反するか確かめます。条件の否定を言い直せなければ、該当する個数を0から可能な最大値まで並べ、境界を指で区切るとよいでしょう。

個別指導では、答案の引き算の左右がそれぞれ何を1通りとして数えたかを、本人の言葉で説明してもらいます。2つの禁止条件がある場合は、両方に当たる具体例があるかを尋ね、あれば何回引いたかを追います。式の形だけで判断せず、残った選択を元の条件へ戻すことで、数え漏れと重複を見分けられます。