高校数学I 二次方程式の解法—因数分解と平方完成を選び根号の答えを確かめる｜武蔵野個別指導塾

因数分解が見つからない二次方程式を平方完成で解き、平方の右辺の符号による解の個数と、根号の答えの代入を確かめられます。

よくあるのは、高1の本人が復習中に、整数を組み合わせても積の形が見つからず、そこで解なしと判断する場面です。例えば x² = 2 は整数の範囲では解を持ちませんが、実数の範囲では2つの解を持ちます。式が見慣れた形に分かれないことと、条件に合う数が存在しないことは別です。答えを探す範囲を実数に定め、変形の途中で何が言えるかを追います。

どの形から手をつけるか

二次方程式は、整理すると ax² + bx + c = 0 となる方程式です。a、b、c は実数で、a ≠ 0 とします。未知数 x は実数の範囲で探します。両辺に同じ数を加える、0でない同じ数をかけるなど、解を変えない操作で形を整えます。

出方には大きく3つの型があります。積が0になる形を見つける型、平方を片側に集める型、係数を公式に入れる型です。積の形が見えれば因数分解は短く済みます。見えないときは平方完成へ移ればよく、公式はその平方完成を文字で一度行った結果として使えます。

先に全部を展開する必要はありません。(x − 2)² = 7 のように平方が残っていれば、その形を利用できます。一方、両辺に項がある式は移項して0と比較すると、因数分解の候補を探しやすくなります。式の形を見て選び、詰まったら別の道に切り替えるのが実用的です。

平方の値から解の個数を読む

実数の二乗は0以上です。したがって u² = k では、k > 0 なら u = √k または u = -√k、k = 0 なら u = 0、k < 0 なら実数の u はありません。√k は正の数 k の正の平方根を表します。正負の2つを答えるときは、正の平方根の前にそれぞれ符号を付けます。

図1のように、平方の右辺の符号を調べてから平方根を取ります。右辺が負のときに実数解がない理由は、因数分解を試した回数ではなく、二乗の値が負にならないことです。右辺が0のときは正負を付けても同じ0なので、異なる解は1個です。

積 AB = 0 に対しては、実数 A、B の少なくとも一方が0です。逆に一方が0なら積も0です。この両方向が成り立つため、(x − p)(x − q) = 0 を x = p または x = q と言い換えられます。p = q なら同じ数を2回書くことになり、異なる解は1個です。

公式の意味も平方から見えます。a ≠ 0 のもとで、ax² + bx + c = 0 の両辺を a で割り、定数項を右に移して平方を作ります。

x² + (b/a)x + c/a = 0
x² + (b/a)x = -c/a
x² + (b/a)x + b²/(4a²) = -c/a + b²/(4a²)
(x + b/(2a))² = (b² - 4ac)/(4a²)

4a² は正です。右辺が正または0なら平方根を取れ、整理すると x = (-b ± √(b² − 4ac))/(2a) です。ここで ± はプラスとマイナスの両方を表します。a が負でも式は成り立ちます。根号の中が負なら、この実数の公式で表される実数解はありません。a = 0 では最初の割り算ができず、式は二次方程式ではないので別に扱います。

この導出は、公式を暗記して係数を代入するだけでなく、答えがどこから生まれるかも示します。特に b が負のとき、公式の -b は正になります。根号の中は b² なので、負の b を括弧に入れて二乗します。分母の 2a は分子全体にかかります。

基本例題：積と平方を使い分ける

次の2つを実数の範囲で解き、答えは整数または根号を用いて表してください。

1. x² − 7x + 10 = 0

2. x² − 4x − 1 = 0

3. は積が10、和が-7となる2数に注目します。-5 と -2 を使い、展開して元に戻ることを確かめたうえで積の形にします。

x² - 7x + 10 = 0
(x - 5)(x - 2) = 0
x - 5 = 0 または x - 2 = 0
x = 5 または x = 2

元の左辺に戻すと、5では 25 − 35 + 10 = 0、2では 4 − 14 + 10 = 0 です。積が0となる場合を両方調べたので、これ以外の実数解はありません。

2. は整数の組で積の形を探しても見つかりません。そこで定数を移し、x の係数 -4 の半分 -2 の二乗を両辺に加えます。

x² - 4x - 1 = 0
x² - 4x = 1
x² - 4x + 4 = 1 + 4
(x - 2)² = 5
x - 2 = √5 または x - 2 = -√5
x = 2 + √5 または x = 2 - √5

図2のように、平方が5となる数は正負の2つです。どちらも元の式に戻せます。x = 2 + √5 のとき左辺は (4 + 4√5 + 5) − (8 + 4√5) − 1 = 0 です。x = 2 − √5 のときも、根号の項が打ち消されて (4 − 4√5 + 5) − (8 − 4√5) − 1 = 0 です。√5 を小数に丸めず、(√5)² = 5 を使っています。

整数係数で因数分解できないことは、実数の解がない証拠ではありません。実際に (2) は根号を含む2つの解を持ちます。因数分解を長く探すより、平方完成によって存在と値を一緒に調べられます。

標準例題：係数がある式を正確に解く

2x² + 3x − 4 = 0 を実数の範囲で解き、答えを根号を用いて表してください。係数は a = 2、b = 3、c = -4 で、a ≠ 0 です。因数分解を無理に探さず、平方完成から進めます。

2x² + 3x - 4 = 0
x² + (3/2)x - 2 = 0
x² + (3/2)x = 2
x² + (3/2)x + 9/16 = 2 + 9/16
(x + 3/4)² = 41/16
x + 3/4 = √41/4 または x + 3/4 = -√41/4
x = (-3 + √41)/4 または x = (-3 - √41)/4

両辺を2で割ってから、x の係数 3/2 の半分 3/4 を二乗しました。右辺 41/16 は正なので、異なる実数解が2個あります。公式に代入しても根号内は 3² − 4・2・(-4) = 41 となり、同じ答えです。

元の式でも確認します。s を √41 または -√41 と置くと s² = 41 で、x = (-3 + s)/4 です。左辺に代入すると 2(9 − 6s + s²)/16 + 3(-3 + s)/4 − 4 となります。分母を8にそろえると (9 − 6s + 41 − 18 + 6s − 32)/8 = 0 です。正負のどちらも元の条件を満たします。

基本例題との分かれ目は、平方を作る前に二次の係数を1にする点です。係数で割る操作が抜けると、x の係数の半分を足しても正しい平方になりません。分母をそろえる途中を書き、最後に式全体を元へ戻すと、分数の符号や分母の範囲を見直せます。

発展例題：文字の値で解の形が変わる

実数 t について、x² − 2tx + t + 2 = 0 を実数の範囲で解いてください。答えは t の範囲ごとに、必要なら根号で表します。二次の係数は常に1なので、どの t でも二次方程式です。

x² - 2tx + t + 2 = 0
x² - 2tx = -t - 2
x² - 2tx + t² = t² - t - 2
(x - t)² = (t - 2)(t + 1)

平方の右辺が正、0、負のどれかで分けます。積 (t − 2)(t + 1) は、2つの因数が同符号となる t < -1 または t > 2 で正です。t = -1、2 では0、その間では負です。境界を漏らさず、次のように答えます。

t < -1 または t > 2 のとき
x = t ± √((t - 2)(t + 1))
t = -1 または t = 2 のとき
x = t
-1 < t < 2 のとき
実数解なし

正の場合、根号は正なので正負による2つの値は異なります。0の場合は x − t = 0 で、異なる解は1個です。負の場合は実数の平方が負にならないため解がありません。標準例題からの違いは、右辺の符号そのものを文字の範囲として決める点です。

検算では、解を元の式の左辺に戻します。平方完成の等式により、左辺は (x − t)² − (t − 2)(t + 1) です。正の範囲で示した2値も、境界で示した x = t もこれを0にします。例えば t = -2 と 3 では右辺はそれぞれ4と4で2解、t = 0 では -2 で解なしです。境界 -1、2 では0、各境界の内側と外側でも上の符号の並びに合います。これらの代入は境界の点検であり、全範囲の結論は因数の符号から得ています。

誤答をどこで直すか

図3のように、x² − 4x − 1 = 0 に対して「整数で因数分解できないので解なし」とするのは誤りです。整数の組を試す操作が失敗しても、実数全体で候補が存在しないとは言えません。平方完成すると (x − 2)² = 5 となり、右辺が正なので2つの実数解があります。

もう一つの誤りは、(x − 2)² = 5 から x − 2 = √5 と正の値だけを取ることです。負の数を二乗しても5になるので、-√5 も必要です。逆に (x − 2)² = 0 なら、正負の0は同じ数です。解の表示を2行にしたかどうかではなく、異なる値が何個あるかで数えます。

平方完成で右辺が負になった場合は、無理に根号を付けて実数の答えにしません。計算を見直しても負なら、二乗が0以上という性質で解なしと結論します。操作の失敗、候補の取り落とし、実数解が存在しない場合を区別することが修正の出発点です。

練習：まず5問を並べて考える

いずれも実数の範囲で解いてください。答えは整数、分数、または根号を用いて表し、解がなければその旨を書きます。

1. x² + x − 12 = 0
2. x² + 6x + 2 = 0
3. 3x² − 2x − 2 = 0
4. 2(x − 1)² + 8 = 0
5. 実数 m について x² − 2mx + m + 6 = 0 を、m の範囲ごとに解いてください。

練習の答えと道筋

1. 積が -12、和が1となる4と-3を使います。

x² + x - 12 = 0
(x + 4)(x - 3) = 0
x = -4 または x = 3

元の左辺は -4 で 16 − 4 − 12 = 0、3 で 9 + 3 − 12 = 0 です。両方が元の条件を満たします。

2. 平方を作って正負の平方根を取ります。

x² + 6x + 2 = 0
x² + 6x = -2
x² + 6x + 9 = 7
(x + 3)² = 7
x = -3 ± √7

s = ±√7 とすると s² = 7 です。x = -3 + s を元の左辺へ戻すと 9 − 6s + 7 − 18 + 6s + 2 = 0 です。正負は異なる2つの解です。

3. 二次の係数が3なので、公式または3で割ってからの平方完成を使います。

x² - (2/3)x = 2/3
x² - (2/3)x + 1/9 = 7/9
(x - 1/3)² = 7/9
x = (1 ± √7)/3

s = ±√7 とすると、元の左辺は (1 + 2s + 7)/3 − (2 + 2s)/3 − 2 = 0 です。根号を丸めずに両方を確かめられます。

4. 2で割ると (x − 1)² + 4 = 0、すなわち (x − 1)² = -4 です。実数の平方は負にならないため実数解はありません。元の左辺も 2(x − 1)² + 8 なので、どの実数 x でも8以上です。0になる候補を見落としていないことも元の形から確かめられます。

5. 平方完成して右辺を因数分解します。

x² - 2mx = -m - 6
(x - m)² = m² - m - 6
(x - m)² = (m - 3)(m + 2)

m < -2 または m > 3 では x = m ± √((m − 3)(m + 2)) です。m = -2 または m = 3 では x = m、-2 < m < 3 では実数解なしです。右辺の積の符号で全範囲を分けています。

出した値を戻すと、元の左辺は (x − m)² − (m − 3)(m + 2) = 0 です。例えば境界の外側 m = -3、4 では右辺が6、境界 -2、3 では0、内側 m = -1、2 では負です。両境界とその両側にある値を含め、解の個数の変化と矛盾しません。

手元に残す要点

因数分解できれば積が0となる条件を使います。 平方完成では、平方の右辺が正・0・負のどれかを見ます。 正なら正負の2つ、0なら1つ、負なら実数解はありません。 公式は二次係数が0でないことを確認して使います。 答えは元の式と指定された範囲に戻して確かめます。

つまずきの場所を見分ける

途中の式が止まったら、最初に二次の係数と、解を探す範囲を声に出して確認します。積の形を探して止まった人には、平方完成後の右辺の符号を尋ねます。正負を忘れた人には、同じ正の数になる2つの平方を実際に書いてもらいます。

個別指導で確かめるなら、変形前後の両辺に何を加えたか、得た候補を元の式へ戻せるかを見ます。解なしと答えた場合も、どの平方が負になるのかを式で示してもらいます。計算方法の選択と実数解の存在は、それぞれ別の理由で判断できます。