高校数学I 二次関数の閉区間の最小値—軸の位置と定義域を照らして候補を絞る｜武蔵野個別指導塾

軸が区間の外にある例や端点と重なる例から、値を取る位置を選んで求めるのが閉区間の最小値です。

よくあるのは、高1の本人が復習中に平方完成して頂点を見つけ、そのまま区間外の頂点の高さを最小値にする場面です。計算が合っていても、その点の x が使えなければ、指定された範囲の答えにはなりません。放物線のどの部分が残るかを先に見て、そこで最も低い点を探します。

要点（結論から）

• 二次の係数が正なら、軸に最も近い範囲内の x で最小になります。
• 軸が範囲内なら頂点、左なら左端、右なら右端を使います。
• 端点は閉区間に含まれ、軸と重なる場合も使えます。

何を先に比べるか

問題の型は、式と区間から最小値を求めるもの、頂点が端点と重なるもの、異なる区間で同じ式の最小値を比べるものに分けられます。いずれも、最小値という数と、その値を取る x の両方を答えます。x の範囲を書かずに頂点の高さを答えると、全実数での結果と区間内の結果が区別できません。

使う復習は平方完成です。例えば x² − 6x + 11 = (x − 3)² + 2 と変形すると、2乗の部分が0以上であることから頂点が (3, 2) と読めます。二次の係数が正であればグラフは下に凸、つまり上に開きます。ここではその係数が正で、両端を含む固定された区間を扱います。

頂点と端のどちらが残るか

一般に y = a(x − p)² + q、a > 0 とします。頂点は (p, q)、対称の軸は x = p です。閉区間 L ≦ x ≦ R は両端を含み、L ≦ R とします。x が p に近いほど (x − p)² が小さいため、区間内で軸に最も近い x で最小値を取ります。図1のように、候補は軸が左にあると左端、内側にあると頂点、右にあると右端です。

図1のように端点と軸が重なっても、その点は区間に含まれます。p = L または p = R なら、頂点と端点は同じ点なので両方の考え方が一致します。区間が L = R の1点でも、使える x はその点しかなく、その値が最小値です。

この判断は距離の比較から説明できます。p < L なら、区間内のどの x も x − p ≧ L − p > 0 を満たし、2乗すると (x − p)² ≧ (L − p)² です。したがって左端で最小です。p > R なら p − x ≧ p − R > 0 なので右端が最小です。L ≦ p ≦ R なら x = p が使え、2乗が0となります。係数 a は正なので、不等号の向きは変わりません。

この3つは軸の位置についての条件です。x 自身の範囲と混ぜずに、まず L、p、R を数直線に並べます。頂点の高さ q が全体での下限であっても、頂点が区間外ならその下限は区間内で達成されません。閉区間では端点を採用できるので、上の判断で最小値を実際に取れます。

基本例題：軸が右にあるとき

例題1　y = x² − 8x + 19 の定義域を 0 ≦ x ≦ 3 とします。最小値とそのときの x を整数で求めてください。

平方完成を1行ずつ行います。

y = x² - 8x + 19
  = (x² - 8x + 16) + 3
  = (x - 4)² + 3

二次の係数は1で正、軸は x = 4 です。指定範囲の右端は3なので、軸は区間の右にあります。図2のように、残る部分で軸に最も近いのは右端 x = 3 です。

図2の太い部分が指定された範囲です。頂点の高さ3は x = 4 で取りますが、4は指定範囲に入らないので答えにできません。右端を元の式に代入すると、

y = 3² - 8・3 + 19
  = 9 - 24 + 19
  = 4

したがって x = 3 のとき最小値は4です。元の条件へ戻すと 0 ≦ 3 ≦ 3 であり、右端も含まれます。また平方完成後の式でも (3 − 4)² + 3 = 4 です。これで式変形と代入の両方を照合できます。グラフを描く際は頂点だけでなく、区間の両端の点 (0, 19)、(3, 4) を打つと、採用する部分を誤りにくくなります。

標準例題：左端と頂点が一致する

例題2　y = 2x² + 4x + 7 の定義域を -1 ≦ x ≦ 5 とします。最小値とそのときの x を整数で求めてください。

y = 2(x² + 2x) + 7
  = 2{(x + 1)² - 1} + 7
  = 2(x + 1)² + 5

軸は x = -1、係数2は正です。-1 は左端そのものなので区間に含まれ、2乗が0となる x = -1 が使えます。よって x = -1 のとき最小値は5です。元の式に戻すと 2・(-1)² + 4・(-1) + 7 = 2 − 4 + 7 = 5 です。

端点であることと頂点であることは両立します。境界を「区間の内側」か「外側」かのどちらかに急いで押し込む必要はありません。等号を含む区間ではその座標を代入できる、と確かめればよいのです。もし同じ式で左端が -1 より右なら、頂点は使えず左端が最小になります。逆に左端が -1 より左で右端が -1 以上なら、頂点が使えます。

発展例題：同じ放物線を異なる区間で見る

例題3　y = 3x² − 6x + 4 について、区間 A: -3 ≦ x ≦ -1、区間 B: 0 ≦ x ≦ 2、区間 C: 2 ≦ x ≦ 4 のそれぞれで最小値とそのときの x を整数で求めてください。

まず共通の式を平方完成します。

y = 3(x² - 2x) + 4
  = 3{(x - 1)² - 1} + 4
  = 3(x - 1)² + 1

軸は x = 1 で、二次の係数3は正です。A では軸が右にあり、最も近い右端 x = -1 を選びます。B では 0 ≦ 1 ≦ 2 なので頂点の x = 1 を選びます。C では軸が左にあり、左端 x = 2 を選びます。

A: y = 3(-1 - 1)² + 1 = 13
B: y = 3(1 - 1)² + 1 = 1
C: y = 3(2 - 1)² + 1 = 4

答えは A で x = -1 のとき13、B で x = 1 のとき1、C で x = 2 のとき4です。元の式でも順に 3 + 6 + 4 = 13、3 − 6 + 4 = 1、12 − 12 + 4 = 4 となります。各 x はそれぞれの区間に含まれます。A と C はともに頂点を含みませんが、近い端が反対です。頂点を含まないとき常に右端、と覚えると C で失敗します。

標準例題との違いは計算の長さより、1つの軸を3つの区間それぞれと照合する点です。区間ごとに使える x が変わるため、前の区間で選んだ点を次にも持ち越さないようにします。軸と区間が重なるかを判定してから代入すると、不要な端点計算も減らせます。

式と数直線で同じ結論に届く

頂点を含むかどうかは、絵の見た目だけに頼らず不等式でも判定できます。例題3の B では、左端0、軸1、右端2の順に並ぶため 0 ≦ 1 ≦ 2 です。1を代入できるうえ、どの x に対しても (x − 1)² ≧ 0 ですから、y ≧ 1 が成立します。実際に x = 1 で等号になるので、1は単なる下限ではなく、指定された範囲で取る最小値です。

一方、A のすべての x について x ≦ -1 です。このとき 1 − x ≧ 2 なので (x − 1)² ≧ 4 となります。したがって y = 3(x − 1)² + 1 ≧ 13 です。x = -1 で等号が成立するため、13が最小です。C では x ≧ 2 より x − 1 ≧ 1 であり、同様に y ≧ 4、等号は x = 2 で成立します。下から押さえる不等式と、等号が成立する点の両方を示すと、最小である理由が明確になります。

範囲内に頂点がない場合、頂点の値より大きいことだけでは答えを決められません。どの値が実際に達成され、ほかの値以下になるかが必要です。また、両端の値を計算して小さい方を選ぶ方法は、軸が範囲内にあると失敗します。例題3の B では両端の値はともに4ですが、内側の x = 1 で1を取ります。端点比較に入る前に、頂点が使えるかを確かめます。

軸の位置を判定する前に区間の両端の大小を読むことも必要です。左端と右端は、紙に書かれた順番ではなく数の大小で決まります。特に負の数では、絶対値が大きい方が左に来ます。図を描くときは目盛りを等間隔に取り、軸が端点のどちら側にあるかを明示します。軸に最も近い端を選んだ後は、その点が実際に端点として含まれることを不等号で確認します。

平方完成の途中で定数項を落とすと、軸の位置は正しくても最小値の高さがずれます。そこで、括弧を展開して x² の係数、x の係数、定数項を元の式と比べます。軸の座標と高さは異なる役割を持つので、両方を点の座標として記すと混同を避けられます。

記述を点検する順序

解答用紙には、平方完成後の式の次に軸と区間の位置関係を書きます。例えば「軸4は右端3より右」と書けば、なぜ x = 3 を選んだかが伝わります。続けて代入式を書き、最後に「x = 3 のとき最小値4」と結びます。値4を x の値として扱わないよう、何を表す数かも添えます。

検算で両端の値を試すのは有効ですが、それだけでは内側にもっと小さい値がないことの証明にはなりません。軸が区間外なら、区間全体が軸の片側にあるため、軸に近い端から離れるほど2乗が大きくなります。この理由を添えると、端点を選んだ根拠まで残せます。頂点が端点と一致した場合は、その x を元の式に代入し、平方完成後の高さと一致するかも調べます。

誤答を図に戻す

例題1で「頂点が (4, 3) だから最小値は3」とするのは誤りです。原因は、放物線全体の最も低い点と、指定された部分の最も低い点を同一視したことです。図3のように x = 4 は区間の外にあり、x = 3 が使える点のうち軸に最も近くなります。

図3のように数直線へ区間と軸を書き、候補の x が範囲に入るかを先に判定します。修正後は x = 3 を元の式へ戻し、最小値4を得ます。値だけでなく x も一緒に書けば、区間外の頂点を選んだ誤りを見つけられます。

別の失敗は、端点を含む記号を見落とし、例題2の x = -1 を除外することです。≦ は等号を含むので、左端も使えます。また、区間の両端と軸の数を並べる際に -3 と -1 の大小を逆にすると、軸に近い端の選択も逆になります。負の数は数直線の右にある方が大きいと確認し、選んだ x を最後に定義域へ戻してください。

練習問題

いずれも最小値とその値を取る x を、整数または既約分数で求めてください。

1. y = x² − 2x + 6、-2 ≦ x ≦ 3。
2. y = x² + 6x + 12、-1 ≦ x ≦ 4。
3. y = 2x² − 12x + 20、-1 ≦ x ≦ 2。
4. y = 4x² − 4x + 5、1/2 ≦ x ≦ 3。
5. y = 2x² + 8x + 9、-4 ≦ x ≦ -4。

練習の答えと確かめ

1. y = (x − 1)² + 5 です。軸 x = 1 は -2 ≦ 1 ≦ 3 を満たすので、x = 1 のとき最小値5です。元の式に代入しても 1 − 2 + 6 = 5 です。

2. y = (x + 3)² + 3 です。軸 -3 は左端 -1 より左なので、最も近い左端 x = -1 を使います。最小値は (-1)² + 6・(-1) + 12 = 7 です。-1 は等号により範囲に入ります。頂点の値3を答えにすると、範囲外の x = -3 を採用する誤りです。

3. y = 2(x − 3)² + 2 です。軸3は右端2より右なので、x = 2 が最も近い点です。元の式では 2・2² − 12・2 + 20 = 8 − 24 + 20 = 4 となり、最小値は4です。2は右端なので定義域に含まれます。

4. y = 4(x − 1/2)² + 4 です。軸 x = 1/2 は左端と一致し、等号で含まれます。x = 1/2 のとき最小値4です。元の式に戻すと 4・(1/2)² − 4・(1/2) + 5 = 1 − 2 + 5 = 4 です。分数を近似せずに代入すると端点の一致も正確に判定できます。

5. y = 2(x + 2)² + 1 です。定義域は -4 という1点で、軸 -2 はその右にあります。使える x は -4 なので、元の式へ代入して 2・(-4)² + 8・(-4) + 9 = 32 − 32 + 9 = 9 です。x = -4 のとき最小値9となります。両端が一致していても空の範囲ではありません。

要点

• 二次の係数が正なら、軸に最も近い範囲内の x で最小になります。
• 軸が範囲内なら頂点、左なら左端、右なら右端を使います。
• 端点は閉区間に含まれ、軸と重なる場合も使えます。
• 最小値とそのときの x を書き、元の式と定義域に戻します。

どこで判断が止まっているか

頂点を求められるのに答えが合わない場合は、選んだ x を定義域に代入する前に指で示してみます。そこが範囲外なら、平方完成ではなく候補の選び方を見直します。頂点の座標自体がずれているなら、括弧を展開し直して元の式と比較します。端点で迷うときは、軸から左右の端までの位置関係を数直線に描きます。

個別指導で確かめるなら、式の変形、軸の位置、端点を含む記号、選んだ点の代入を順に説明してもらうと、つまずいた箇所が見えます。正しい値が偶然出ても、選んだ x が範囲内である理由を言えるかが次の問題につながります。閉区間の最小値は、使える点の中から軸に最も近い点を選んで決まります。