高校数学I 特別角の三角比—正三角形と正方形から根号を含む値を組み立てる｜武蔵野個別指導塾

正三角形と正方形を切って辺の比を作り、30度と60度の取り違えを図から直す特別角の三角比です。

よくあるのは、高1の高校生が30度と60度の値を逆に書き、途中の計算は合っているのに辺の長さを取り違えるという場面です。数字を並べた表だけを見ていると、どちらが大きいかを判断しにくくなります。正三角形を半分に切った図に戻れば、短い辺がどの角の向かい側にあるかを見直せます。45度も正方形から作り、辺を復元するところまでたどります。

どの角から辺を見るか

問いには、特別角のsin、cos、tanを求めるものがあります。また、斜辺と角から残る辺を出すものや、短い辺から三角形全体の長さを戻すものもあります。いずれも先に基準となる角に印をつけ、直角の向かいの斜辺を見つけます。その後で基準角の向かいの辺と、基準角にはさまれた斜辺以外の辺を区別します。

例えば30度を基準にした対辺は、同じ三角形で60度を基準にすると隣辺です。辺そのものは動かず、呼び名が角に応じて変わります。値を選ぶ前に図へ印をつけると、表の数字を機械的に選ぶ失敗を減らせます。

2つの図形から比を作る

鋭角θを含む直角三角形で、sin θは対辺/斜辺、cos θは隣辺/斜辺、tan θは対辺/隣辺です。これらは長さそのものではなく比です。相似な直角三角形では対応する辺が同じ倍率で変わるため、同じ角なら比は変わりません。

図1のように、一辺2の正三角形を頂点から底辺の中点へ切ります。二等辺三角形の頂点から底辺の中点へ引いた線は垂直で、頂角を二等分します。したがって片側は斜辺2、短い辺1、角が30度と60度の直角三角形です。残る辺をhとすると、三平方の定理から次のようになります。

h² + 1² = 2²
h² = 3
h = √3

hは長さなので正の値を取ります。30度の向かいは1、60度の向かいは√3です。角を切り替えても斜辺は2のままで、対辺と隣辺が入れ替わります。

図1の右側では一辺1の正方形を対角線で切っています。角は45度ずつで、対角線の長さをdとすると、d² = 1² + 1² = 2です。長さは正なのでd = √2です。これで直角をはさむ2辺と斜辺の比は1 : 1 : √2になります。

それぞれの図から比を読み、分母を有理化すると次の表になります。表の値は、図の辺の順序を圧縮したものです。

例えばtan 30度は1/√3です。分母と分子に√3を掛けると√3/3です。45度のsinは1/√2で、同様に√2/2です。0より大きい辺の比なので、この3つの鋭角では表の値は正です。30度と60度は、向かいの辺の大小に注意すると順番を取り戻せます。

表を使うときは、分子と分母が何を表すかまで戻せることが目標です。例えば60度のtanが√3という値は、長い辺を短い辺で割った√3/1から生まれます。一方、30度では同じ2辺を反対の順に割ります。数値の大きさだけで覚えると、分母に置く辺が入れ替わったことを見失います。

正方形から作る45度の場合は、直角をはさむ辺が等しいため、基準角をどちらに選んでも対辺と隣辺の長さは同じです。しかし、等しいのは長さであって2本の辺が同じ線分という意味ではありません。角に印をつけてから役割を決める手順は、45度でも省かずに使えます。

比を長さへ戻すときは単位にも注意します。1 : √3 : 2の1は1 cmという指定ではありません。短い辺が3 cmなら全体を3倍し、短い辺が√3 cmなら全体を√3倍します。比には単位がなく、倍率に長さの単位を添えて初めて各辺がcmで表されます。

基本例題：斜辺から2辺を戻す

直角三角形ABCで、角Cは90度、角Aは30度、斜辺ABは10 cmです。辺BCと辺ACの長さを根号を用いた正確な値で求めてください。

図2のように、角Aの対辺はBC、隣辺はACです。30度の対辺は斜辺の半分なので、BCをx cmとすると次の式になります。

x/10 = sin 30度
x/10 = 1/2
x = 5

ACをy cmとすると、隣辺にcosを使います。

y/10 = cos 30度
y/10 = √3/2
y = 5√3

答えはBC = 5 cm、AC = 5√3 cmです。確かめとして、5² + (5√3)² = 25 + 75 = 100 = 10²です。対辺と斜辺の比は5/10 = 1/2なので、与えられた30度にも戻ります。図2では短い辺が30度に向かい合うことも確認できます。

標準例題：短い辺から全体へ

直角三角形DEFで、角Fは90度、角Dは60度、辺DFは7 cmです。斜辺DEと辺EFを根号を用いた正確な値で求めてください。

角Dに隣り合うDFは短い辺です。30度・60度・90度の三角形の辺の比を、短い辺 : 長い辺 : 斜辺 = 1 : √3 : 2と並べれば、倍率は7です。比のどの位置に7を置くかを先に決めます。

DF : EF : DE = 1 : √3 : 2
DF = 7
倍率 = 7/1 = 7
EF = 7√3
DE = 14

答えはDE = 14 cm、EF = 7√3 cmです。元の条件に戻してみます。DF/DE = 7/14 = 1/2であり、cos 60度に一致します。また、7² + (7√3)² = 49 + 147 = 196 = 14²です。与えられた辺と角の両方に合います。

短い辺を斜辺と思い込んでDE = 7/2とすると、斜辺が他の辺より短くなってしまいます。計算する前に、直角の向かいの辺が最長であることも書き込んでおくと、倍率の置き場所を選びやすくなります。

発展例題：2つの直角三角形をつなぐ

水平な線分PQの長さは6 cmです。点RはPとQの間にあり、線分RSはPQに垂直で、SはPQの上側にあります。角SPRは30度、角SQRは45度です。PR、QR、RSをそれぞれ根号を用いた正確な値で求めてください。

2つの直角三角形は高さRSを共有します。まずRSをh cmと置き、各三角形で底辺をhを使って表します。hは正です。三角形PRSでは30度の対辺がhなので、隣辺PRは√3hです。三角形QRSは45度の直角二等辺三角形なのでQR = hです。

PR + QR = PQ
√3h + h = 6
(√3 + 1)h = 6
h = 6/(√3 + 1)
h = 6(√3 - 1)/(3 - 1)
h = 3(√3 - 1)

したがって各線分は次の長さです。

RS = 3(√3 - 1)
QR = 3(√3 - 1)
PR = √3・3(√3 - 1)
PR = 9 - 3√3

単位はすべてcmです。√3は1より大きく3より小さいので、3本の長さはいずれも正です。PR + QR = (9 − 3√3) + (3√3 − 3) = 6で、点RがPとQの間にある条件に戻ります。さらにRS/PR = 1/√3、RS/QR = 1ですから、それぞれの角に対応するtanも元の条件と一致します。

この問題では、底辺6をそれぞれの三角形に渡してはいけません。6は2つの底辺の和です。共通の高さを先に置き、各底辺へ移してから和を作ると、どこに何を代入したか追えます。

辺の比を使う問題では、同じ角を持つ直角三角形を重ねて考えられます。対応する辺を同じ倍率で伸ばすからです。倍率が不明なら、既知の辺を対応する比の数で割ってから、目的の辺の比に掛けます。この順序は根号を含む長さでも変わりません。

取り違えた答えを図に戻す

30度のsinを√3/2と書いた場合を考えます。図3のように、斜辺2の直角三角形で30度の向かいの辺は1です。√3は60度の向かいの辺なので、これは30度のcosに当たります。角を見ずに長い辺を分子にしたことが誤りの原因です。

図3の短い辺を指し、対辺/斜辺 = 1/2と書き直します。次に同じ図を60度から見ると、√3が対辺です。sin 60度 = √3/2となり、元の数値がどの角で使えるかまで確認できます。

計算結果が負になった場合も、まず長さに戻します。鋭角の直角三角形の辺は正なので、負の辺は採用できません。また、sinやcosが1より大きく出たら、斜辺より短い辺を分子に置いたか確認します。tanは対辺/隣辺なので1を超えることもあり、3つを同じ基準で判定しないようにします。

練習：比の出どころから使う

各問の長さは正確な値で答え、根号を含む場合は分母を有理化してください。

1. 一辺が4 cmの正方形を対角線で分けます。対角線の長さと、できた三角形の45度のsinを求めてください。
2. 直角三角形で30度の向かいの辺が8 cmです。斜辺と60度の向かいの辺を求めてください。
3. 直角三角形で60度の向かいの辺が6√3 cmです。残る2辺を求めてください。
4. 直角三角形で45度の隣辺が9 cmです。斜辺と対辺を求めてください。
5. 水平な線分UVは4 cmで、点Wはその間にあります。WXはUVに垂直でXはUVの上側、角XUWは60度、角XVWは45度です。UW、VW、WXを求めてください。

練習の答えと道筋

1. 対角線をa cmとすると、三平方の定理から次の通りです。

a² = 4² + 4²
a² = 32
a = 4√2
sin 45度 = 4/(4√2)
sin 45度 = 1/√2
sin 45度 = √2/2

対角線は4√2 cmです。斜辺の二乗は32で、元の2辺の二乗の和16 + 16に戻ります。対辺と斜辺の比も上の値です。

2. 短い辺 : 長い辺 : 斜辺 = 1 : √3 : 2です。倍率は8なので、斜辺と長い辺を順に求めます。

斜辺 = 2・8 = 16
60度の向かいの辺 = √3・8 = 8√3

それぞれ16 cm、8√3 cmです。8/16 = 1/2で30度のsinに戻り、8² + (8√3)² = 16²も成り立ちます。

3. 長い辺が6√3 cmなので、倍率をkとすると次のようになります。

√3k = 6√3
k = 6
短い辺 = 6
斜辺 = 12

答えは6 cmと12 cmです。(6√3)/12 = √3/2で60度のsinに一致し、6² + (6√3)² = 12²です。元の長い辺も倍率6から復元できます。

4. 45度の直角三角形は直角をはさむ2辺が等しいので、対辺は9 cmです。斜辺をb cmとします。

b² = 9² + 9²
b² = 162
b = 9√2

斜辺は9√2 cmです。対辺/隣辺 = 9/9 = 1で45度のtanに戻り、両辺の二乗の和も斜辺の二乗と一致します。

5. WXをt cmとします。60度の対辺はWX、隣辺はUWです。45度の三角形ではVW = WXです。

UW = t/√3
VW = t
UW + VW = 4
t/√3 + t = 4
t(1 + √3)/√3 = 4
t = 4√3/(1 + √3)
t = 4√3(√3 - 1)/2
t = 6 - 2√3

続いて底辺を求めます。

WX = 6 - 2√3
VW = 6 - 2√3
UW = (6 - 2√3)/√3
UW = 2√3 - 2

単位はすべてcmです。UW + VW = (2√3 − 2) + (6 − 2√3) = 4です。さらにWX/UW = √3、WX/VW = 1となり、元の60度と45度に対応します。√3は1より大きく3より小さいため、各長さは正で、WはUとVの間にあります。

手元に残す5行

正三角形の半分は、短い辺 : 長い辺 : 斜辺 = 1 : √3 : 2です。 正方形の半分は、直角をはさむ辺 : 辺 : 斜辺 = 1 : 1 : √2です。 基準角の向かいが対辺、直角の向かいが斜辺です。 sinは対辺/斜辺、cosは隣辺/斜辺、tanは対辺/隣辺です。 答えは元の角の比と三平方に戻して確かめます。

立ち止まる場所を見つける

表は書けるのに辺を間違えるなら、角の印と対辺の位置を図に書いてみます。辺の比は言えるのに長さが出ないなら、与えられた辺が比の何番目かを指し、その倍率を式にします。根号の整理で止まったときは、分母と分子に同じ正の数を掛ける前後で比が変わらないことを確かめます。

個別指導の場では、まず自分で描いた図に30度と60度を入れ、短い辺を指して説明できるかを見ます。次に、斜辺から求める式と短い辺から戻す式を比べ、分母に置いた量を声に出して確認します。特別角の値は、2つの図形に戻れば辺の位置から再び作れます。