高校数学B 二項分布の確率—成功回数の境界と余事象から累積確率を求める｜武蔵野個別指導塾

成功が3回以上となる回数を並べ、余事象との境界を確かめながら二項分布の確率を計算します。

よくあるのは、高2が検査の成功が最低何回かという条件を、ちょうどその回数だけ成功する条件と読んでしまう場面です。検査を繰り返して3回は成功してほしいとき、4回成功しても条件は満たします。回数を数直線に並べ、含む端点と含まない端点を決めてから計算しましょう。ここでは各試行が独立で成功確率が一定の場合を扱い、小さい回数について分数で正確に求めます。

どの範囲を足すか

出方の1つは「ちょうど k 回」です。成功回数を X とすると X = k の1項を計算します。成功する位置は複数あるので、特定の順序の確率に位置の選び方を掛けます。

2つ目は「k 回以下」です。X = 0 から X = k までを足します。0回も条件に含まれる点に注意します。「k 回未満」なら k は入りません。回数は整数なので、k 回未満は k − 1 回以下と同じです。

3つ目は「少なくとも k 回」です。k 回ちょうどから最大の試行回数までを足すか、反対の「k 回未満」を全体から引きます。両方の範囲を書き、項の少ないほうを選ぶと計算を整理できます。境界を先に決める作業は、式の形が変わっても共通です。

二項分布の項と境界

1回の試行で成功する確率を p、失敗する確率を 1 − p とします。n 回の試行は互いに独立で、それぞれ成功確率が同じ p であるとします。成功回数 X は二項分布 B(n, p) に従い、取りうる値は 0, 1, …, n です。n は非負の整数、p は 0 以上 1 以下です。

0 以上 n 以下の整数 k について、ちょうど k 回成功する確率は次の式です。

P(X = k) = nCk・p の k 乗・(1 - p) の (n - k) 乗

nCk は n 個の位置から成功する k 個の位置を選ぶ組合せの数です。1つの並びでは独立性により成功の確率を k 個、失敗の確率を n − k 個掛けます。各並びの確率は一定で、並びは互いに重ならないため、組合せの数を掛けます。0乗は1として扱います。

図1のように「3回以上」とその余事象を分けると、境界の3は左側ではなく右側に入ります。足した範囲が重ならず、0から最大回数まで抜けなく覆うことを確かめます。

図1のように、たとえば最大が5回なら、3回以上は 3, 4, 5、余事象は 0, 1, 2 です。「3回以下」の余事象は「3回より多い」で、3を反対側に二重に入れません。成功と失敗の呼び名を交換する場合も、求める事象が元の言葉と一致するか確認します。正規近似は使わず、ここでは有限個の項をそのまま計算します。

基本例題：3回以上の成功

ある検査を独立に5回行います。各回の成功確率は 1/2 です。成功が少なくとも3回となる確率を、既約分数で求めてください。失敗は成功しないこととします。

成功回数を X とすると、独立性と一定の確率から X は B(5, 1/2) に従います。求めるのは X = 3 だけではなく、図2のように 3, 4, 5 の3つです。それぞれの並びは互いに重なりません。

図2のように、反対側は 0, 1, 2 です。まず直接足します。各並びの確率は成功と失敗を合わせて5個の 1/2 を掛けるので 1/32 です。

P(X = 3) = 5C3・(1/2)³・(1/2)² = 10/32
P(X = 4) = 5C4・(1/2)⁴・(1/2) = 5/32
P(X = 5) = 5C5・(1/2)⁵ = 1/32
P(X ≧ 3) = (10 + 5 + 1)/32 = 1/2

組合せは順に10通り、5通り、1通りです。分子の和16は、条件を満たす成功・失敗の並びの数です。別の確認として、余事象の並びは 1 + 5 + 10 = 16 通りなので、その確率も 16/32 です。二つの範囲は32通りを重なりなく分け、答えと余事象の確率の和は1に戻ります。

標準例題：以下を直接数える

ある装置を独立に4回動かします。各回に合図が出る確率は 1/3 です。合図が出る回数が1回以下となる確率を既約分数で求めてください。合図が出ないことを失敗とします。

合図が出る回数を Y とすると、条件から Y は B(4, 1/3) に従います。1回以下には0回と1回が入ります。各回の失敗確率は 2/3 ですから、独立性を使って次のように計算します。

P(Y = 0) = 4C0・(2/3)⁴ = 16/81
P(Y = 1) = 4C1・(1/3)・(2/3)³ = 32/81
P(Y ≦ 1) = 16/81 + 32/81 = 48/81 = 16/27

0回の項は、4回とも合図が出ない場合です。1回の項には、合図が出る位置の4通りが含まれます。残りの2回、3回、4回の確率は順に 24/81、8/81、1/81 で、合計は 33/81 です。求めた 48/81 と合わせると 81/81 となり、条件を満たす場合と満たさない場合が全体に戻ります。

発展例題：条件から必要な回数を選ぶ

ある操作を独立に4回行い、各回の成功確率を 1/2 とします。「成功が k 回以上」となる確率が 1/4 以下となる、0 以上 4 以下の整数 k のうち最小のものを求めてください。

成功回数を Z とすると Z は B(4, 1/2) に従います。どの並びも確率は 1/16 で、成功回数 0, 1, 2, 3, 4 に対応する並びの数は順に 1, 4, 6, 4, 1 です。境界を右に動かすと範囲が狭くなります。

P(Z ≧ 3) = (4 + 1)/16 = 5/16
1/4 = 4/16
5/16 > 4/16
P(Z ≧ 4) = 1/16 ≦ 1/4

k = 3 は条件を満たさず、k = 4 は満たします。k が3以下なら、少なくとも3回の範囲を含むため確率は 5/16 以上です。したがって最小の k は4です。元の条件へ戻すと、4回以上は4回とも成功する場合で確率は 1/16、確かに 1/4 以下です。近い値を1つ試すだけでなく、それより小さい候補が成立しないことも示します。

誤答を直す：境界と失敗を分ける

基本例題で「少なくとも3回」を「ちょうど3回」として 10/32 と答える誤りを考えます。この値は3回成功する並びの確率としては正しいものの、4回と5回の成功を落としています。条件の「少なくとも」は最低回数を指定し、それ以上の成功を除きません。

図3のように、まず取りうる値を並べて該当する値に印を付けます。図3では3回だけを囲む読み方から、3回以上の範囲へ直しています。修正後は 10/32 に 5/32 と 1/32 を足し、1/2 です。

別の失敗は、余事象を「3回以下」とすることです。この場合は3回が両方に入ってしまいます。余事象は「3回に届かない」なので2回以下です。また、失敗確率を p と置いたまま計算していないか確認します。成功確率が 1/2 では取り違えが見えにくいため、標準例題のように成功と失敗の確率が異なる場面でも式の各因子を点検します。

条件そのものが壊れているときは、計算を続ける前に止まります。たとえば前の結果によって次の成功確率が変わる場合、同じ p を使う二項分布の式はそのまま使えません。試行回数が途中で変わる場合も、固定した n 回という前提を確かめ直します。必要な確率が与えられなければ、数字を補わず条件の不足を指摘します。

計算の前後に確かめること

累積確率を直接足す場合、各項は互いに重ならない成功回数に対応します。たとえば「2回以上4回以下」なら、2回、3回、4回の3項です。2以上と4以下を別々に計算して足すと、2回から4回までを重複して数えます。条件を満たす回数の集合に直してから、足す項を決めてください。

余事象を使う場合、1から引くのは条件を満たさない全範囲です。「2回以上4回以下」の反対は、2回未満または4回より多い場合です。片方だけを引くと、もう片方の不要な結果が残ります。両端の外側を引く方法と、中央の項を直接足す方法を比べ、範囲を書いて選びます。

端の回数も点検の材料です。0回以上は必ず起こるので確率は1、n回より多いことは起こらないので確率は0です。計算結果が0未満や1より大きければ、確率として成立しません。ただし0から1の間に収まるだけでは正解とは限らず、境界や係数を元の試行の並びに戻して確認します。

独立という条件は、ある回の成功・失敗を知っても別の回の成功確率が変わらないことに関わります。成功確率が毎回同じでも、結果が連動する場合には積を使えるとは限りません。逆に独立であっても各回の成功確率が違えば、同じ p の累乗と組合せ係数を一括で使う式は適用できません。どちらの条件が欠けたかを分けて確かめます。

練習問題

各問題では試行は互いに独立で、各回の成功確率は一定です。答えは指定どおり既約分数または整数で表してください。

1. コイン型の札を3回投げ、表が出る確率は各回 1/2 です。表がちょうど2回出る確率を既約分数で求めてください。
2. 独立な通信を3回試み、各回の成功確率は 2/3 です。成功が1回以下となる確率を既約分数で求めてください。
3. 独立な抽選を4回行い、各回に印が出る確率は 1/4 です。印が少なくとも1回出る確率を既約分数で求めてください。
4. 独立な点灯試験を5回行い、各回の点灯確率は 1/2 です。点灯が2回より多く4回未満となる確率を既約分数で求めてください。
5. 独立な作業を3回行い、各回の成功確率は 1/2 です。成功が k 回以上となる確率が 1/2 以下となる、0 以上 3 以下の整数 k の最小値を求めてください。

練習の答えと解き方

1

表の回数を X とすると X は B(3, 1/2) に従います。表の位置を3個から2個選び、各並びの確率を掛けます。

P(X = 2) = 3C2・(1/2)²・(1/2)
= 3/8

表2回の並びは3通りです。残る表0回、1回、3回はそれぞれ1通り、3通り、1通りなので、合計8通りに戻ります。

2

成功回数を X とすると X は B(3, 2/3) です。成功しない確率は 1/3 であり、1回以下には0回を含みます。

P(X = 0) = (1/3)³ = 1/27
P(X = 1) = 3C1・(2/3)・(1/3)² = 6/27
P(X ≦ 1) = (1 + 6)/27 = 7/27

残る2回と3回の確率は 12/27 と 8/27 です。求めた範囲と合わせると 27/27 となり、元の3回の試行の全結果を覆います。

3

印の回数を X とすると X は B(4, 1/4) です。1回以上の余事象は0回であり、4回とも印が出ない確率を1から引きます。

P(X = 0) = (3/4)⁴ = 81/256
P(X ≧ 1) = 1 - 81/256 = 175/256

0回と1回以上は重ならず、全結果を分けます。答えと 81/256 を足すと1なので、元の条件の外側も含めて確認できます。

4

点灯回数を X とすると X は B(5, 1/2) です。2回より多く4回未満の整数は3のみです。

P(2 < X < 4) = P(X = 3)
= 5C3・(1/2)³・(1/2)²
= 10/32 = 5/16

3回点灯する位置は10通りです。両端の2と4は条件に入らず、残りの回数の並びは合計22通りなので、10通りと合わせて32通りです。

5

成功回数を X とすると X は B(3, 1/2) です。成功回数ごとの並びの数は 1, 3, 3, 1 です。

P(X ≧ 1) = (3 + 3 + 1)/8 = 7/8 > 1/2
P(X ≧ 2) = (3 + 1)/8 = 4/8 = 1/2

k = 0 では確率が1なので条件を満たしません。k = 1 も満たさず、k = 2 は等号を含む条件を満たすため、最小値は2です。元の場面でも2回または3回成功する4通りが8通りの半分に当たります。

覚えておくこと

• ちょうど k 回は1項、k 回以上は k を含む範囲です。
• k 回以上の余事象は k 回未満です。
• 組合せは成功する位置の選び方を数えます。
• 独立性と成功確率の一定を式の前に確かめます。

つまずきの見分け方

個別に確かめるときは、式を求める前に成功回数の候補を紙に並べてもらいます。境界を含むか迷う場合は、条件の回数ちょうどと、その1回上・1回下を具体的に場面へ戻します。余事象を使う場合は2つの範囲に重なりや抜けがないかを指で追います。

式では nCk の k が成功回数と一致するか、p と 1 − p の指数の和が n になるかを確認します。最後に求めた確率と残りの確率を足して1に戻るか、また条件を満たさない場合を誤って足していないかを点検します。境界の言葉を整数の集合に直せば、累積確率の計算は見通せます。