高校数学B 二項分布の平均と分散—試行回数と成功確率を二つの条件から復元する｜武蔵野個別指導塾

成功回数の平均と分散から試行回数と成功確率を逆算し、整数条件を満たさない候補も見分けます。

よくあるのは、高2が成功回数の平均と分散から成功確率を逆算し、1を超える数をそのまま答えてしまう場面です。式を動かす途中に符号を間違えたのか、それとも最初から条件を満たす二項分布がないのか。平均と分散の関係を先に見ておくと、この二つを切り分けられます。試行回数も回数なので、正の整数になっているかまで確かめます。

どの量から出発するか

問題の出方は大きく3つあります。1つ目は、独立な試行の回数と毎回の成功確率が与えられ、成功回数の平均と分散を求める型です。回数を n、成功確率を p と決め、失敗確率 1 − p も書いてから公式に代入します。

2つ目は、平均と分散を手掛かりに n と p を復元する型です。平均だけでは積 np しか決まらず、回数と確率を分けられません。分散を平均で割ると 1 − p が得られるので、まず p を求め、次に n を求めます。ただし平均が0の場合は割れません。別に調べる必要があります。

3つ目は、与えられた平均と分散を持つ二項分布が存在するかを判定する型です。計算で得た p が 0 以上 1 以下でも、n が整数でなければ指定の分布は作れません。また、平均が正なのに分散が平均より大きければ、二項分布の条件と合いません。数値を出すことと、その数値が場面に戻せることは別の確認です。

1回の成功を足し合わせる

各試行が互いに独立で、どの回も成功確率が同じ p、試行回数が正の整数 n のとき、成功回数 X は二項分布 B(n, p) に従います。ここで 0 ≦ p ≦ 1 です。成功と失敗は各回で区別し、成功回数は 0 から n までの整数です。

i 回目の成功を表す変数を Xᵢ とし、成功なら 1、失敗なら 0 とします。このような変数を指示変数と呼びます。図1のように各回の 0 または 1 を足すと、合計が成功回数になります。確率変数の和の期待値は、独立でなくても各期待値の和です。

1回の期待値は、値にその確率を掛けて足すので E(Xᵢ) = 1・p + 0・(1 − p) = p です。また Xᵢ は 0 または 1 ですから、どちらの場合も Xᵢ² = Xᵢ です。したがって E(Xᵢ²) = p、分散は V(Xᵢ) = E(Xᵢ²) − E(Xᵢ)² = p − p² = p(1 − p) となります。

X = X₁ + X₂ + … + Xₙ です。期待値を足すと E(X) = np です。さらに各試行の独立性から指示変数も独立なので、和の分散は各分散の和です。よって V(X) = np(1 − p) となります。独立性の確認は分散を足すために必要であり、同じ成功確率という条件は各項を同じ p(1 − p) にするために必要です。

平均を m、分散を v と書くと、m = np、v = np(1 − p) です。m > 0 なら v/m = 1 − p、したがって p = 1 − v/m です。p が正なら n = m/p です。計算後は 0 < p ≦ 1 と n が正の整数であることを確かめ、元の2式に代入し直します。

端の場合も残さず扱います。n が正の整数で m = 0 なら p = 0 で、v も 0 です。このとき成功は毎回起こらず、平均と分散から n は一意に決まりません。m > 0 かつ v = 0 なら p = 1、n = m です。n が正の整数であれば、毎回成功する分布が成立します。負の平均や負の分散はこのモデルでは成立しません。

基本例題：回数と確率から求める

独立に行う8回の試行で、各回の成功確率は 3/4 です。成功回数 X の期待値と分散をそれぞれ分数または整数で求めてください。成功とは各回で決めた条件が満たされることとします。

まず n = 8、p = 3/4 です。各回は独立で確率も一定なので二項分布の公式を使えます。失敗確率は 1 − 3/4 = 1/4 です。図2では8回のそれぞれに成功と失敗の確率が対応しています。

期待値は E(X) = 8・(3/4) = 6 です。1回の期待値 3/4 を8回分足しました。分散は V(X) = 8・(3/4)・(1/4) = 3/2 です。1回の分散 3/16 を8回分足しました。答えは期待値 6、分散 3/2 です。

場面に戻すと、平均6は8回中の平均成功回数です。1回の試行で必ず6回成功するという意味ではありません。各回の成功確率を 3/4 として8回繰り返す設定に戻し、8・(3/4) = 6 と 6・(1/4) = 3/2 の両方を確認します。分散を求めるときに 1/4 を掛け忘れると平均と同じ6になり、失敗の可能性を式に反映できません。

標準例題：二つの条件から復元する

X は二項分布 B(n, p) に従い、n は正の整数です。平均が 4、分散が 12/5 のとき、n と p を求めてください。p は分数で表します。

平均が正なので、平均で分散を割れます。まず 1 − p = (12/5)/4 = 3/5 です。よって p = 1 − 3/5 = 2/5 です。平均の式から n・(2/5) = 4 なので、n = 4・(5/2) = 10 です。10は正の整数で、2/5 は確率の範囲内です。

元の条件への代入も行います。10・(2/5) = 4、10・(2/5)・(3/5) = 12/5 です。成功確率 2/5 の独立試行を10回行う場面に戻しても両条件が一致するため、答えは n = 10、p = 2/5 です。逆に、平均4だけなら n = 8、p = 1/2 なども可能です。分散が2つの値を分ける役割を持ちます。

発展例題：候補が成立しない場合

X が B(n, p) に従うとし、n は正の整数です。平均が 3、分散が 2 となる n と p が存在するか調べてください。存在する場合は n を整数、p を分数で答えます。

平均が正なので、1 − p = 2/3 です。したがって p = 1/3 です。平均の式に代入すると n/3 = 3 なので n = 9 です。9は正の整数で、1/3 は 0 以上 1 以下です。実際に 9・(1/3) = 3、9・(1/3)・(2/3) = 2 となり、両条件へ戻ります。よって存在し、n = 9、p = 1/3 です。

ここで分散を 2 から 5/2 に変えるとどうなるでしょうか。1 − p = (5/2)/3 = 5/6 なので p = 1/6、n = 3/(1/6) = 18 です。これも正の整数なので成立します。一方、平均を 3、分散を 9/4 とすると p = 1 − (9/4)/3 = 1/4、n = 3/(1/4) = 12 で成立します。

成立しない例も調べます。平均 3、分散 5/3 なら p = 1 − (5/3)/3 = 4/9、n = 3/(4/9) = 27/4 です。確率 4/9 自体は範囲内ですが、27/4 回という試行はできません。よって正の整数 n を要求する二項分布は存在しません。途中の式が正しくても、最後の整数条件で不成立になることがあります。

誤答を原因から直す

平均 2、分散 3 という条件に対し、分散から平均を引いて p = 3 − 2 = 1 とする誤答を考えます。図3のように、平均と分散は差ではなく比で結ばれています。平均が正のとき、分散は平均に 1 − p を掛けたものです。

正しくは 1 − p = 3/2 なので p = -1/2 です。これは確率の範囲外ですから、その条件を満たす二項分布はありません。仮に誤答の p = 1 を使うと、失敗確率が0なので分散も0になります。与えられた分散3へ戻らないことからも誤りがわかります。

別の失敗は、v/m を p としてしまうことです。v/m は失敗確率 1 − p なので、最後に1から引きます。さらに n の計算で割り算を省かず、元の平均と分散に戻すことが修正の手順です。m > 0 の場合、0 ≦ v < m でなければ成立しません。ただしこの範囲に入るだけでは足りず、求めた n の整数性も必要です。

条件を変えたときの見通し

平均 m を正の値に固定して考えると、分散は m(1 − p) です。p が1に近づくと、各回がほぼ確実に成功するため、成功回数の揺れは小さくなります。p = 1 では失敗が起きず、成功回数は常に n なので分散は0です。一方、p が正である限り 1 − p は1より小さく、分散は平均より小さくなります。この関係は、逆算の前に与えられた数を点検する道具になります。

ただし平均を固定したまま p を自由に変えると、n = m/p も変わります。n は正の整数に限られるので、式の上で選んだどの p も試行の設定に使えるわけではありません。たとえば平均が 2 で p = 3/4 なら n = 8/3 となり、整数回の試行には戻せません。確率の条件だけでなく、回数の条件も別に確かめる理由がここにあります。

また、平均と分散が同じ正の値という条件では、v/m = 1 から p = 0 になります。しかし p = 0 なら平均 np は0ですから、正の平均という前提に反します。等号の場合を近い値として処理せず、元の式に戻して矛盾を確認します。平均と分散がともに0なら矛盾はなく、正の整数 n が複数可能です。

独立性が失われると、同じ成功確率の試行でも分散をそのまま足せません。たとえば1回目の結果を2回目にそのまま繰り返すと、2回とも成功するか2回とも失敗するかのいずれかです。2回の結果が連動しているので、独立な2回の公式を無条件に当てはめないことが大切です。期待値の和は使えますが、分散の計算にはその連動を反映した分布が必要です。

練習問題

いずれも各試行は互いに独立で成功確率は一定とします。n は正の整数、p は 0 以上 1 以下です。答えの分数は約分してください。

1. 12回の独立な部品検査で、各回の合格確率は 1/3 です。合格回数の平均と分散を分数または整数で求めてください。
2. 5回の独立な抽選で、各回の当たりの確率は 2/5 です。当たり回数の平均と分散を分数または整数で求めてください。
3. 成功回数の平均が 6、分散が 9/2 です。n と p をそれぞれ整数、分数で求めてください。
4. 成功回数の平均が 2、分散が 3/2 です。n と p をそれぞれ整数、分数で求めてください。
5. 成功回数の平均が 2、分散が 4/3 です。条件を満たす二項分布があるか判定し、あれば n と p を整数、分数で求めてください。さらに平均と分散がともに0の場合、n が一意に決まるか答えてください。

練習の答えと解き方

1. n = 12、p = 1/3 です。失敗確率は 2/3 なので、平均は 12・(1/3) = 4、分散は 12・(1/3)・(2/3) = 8/3 です。12回に戻して、平均4に失敗確率 2/3 を掛けると 8/3 となり、条件と一致します。

2. n = 5、p = 2/5 です。失敗確率は 3/5 ですから、平均は 5・(2/5) = 2、分散は 5・(2/5)・(3/5) = 6/5 です。5回のうち当たり回数は0から5までであり、平均2はその範囲にあります。元の確率と回数を両式に入れ直して確認できます。

3. 平均は正なので、1 − p = (9/2)/6 = 3/4 です。よって p = 1/4、n = 6/(1/4) = 24 です。24は正の整数です。24・(1/4) = 6、6・(3/4) = 9/2 と条件へ戻ります。

4. 1 − p = (3/2)/2 = 3/4 なので、p = 1/4 です。n = 2/(1/4) = 8 です。8は正の整数で、8・(1/4) = 2、2・(3/4) = 3/2 となります。答えは n = 8、p = 1/4 です。

5. 1 − p = (4/3)/2 = 2/3 より p = 1/3 です。n = 2/(1/3) = 6 となり、正の整数です。6・(1/3) = 2、2・(2/3) = 4/3 なので存在します。平均と分散がともに0なら p = 0 で、正の整数 n はどれでも条件を満たします。したがって n は一意に決まりません。

覚えておくこと

平均は np、分散は np(1 − p) です。 平均が正なら、分散を平均で割ると 1 − p です。 逆算後は確率の範囲と試行回数の整数性を確かめます。 平均0では割らず、p = 0 と n の不定性を調べます。

つまずきの見分け方

個別指導で確かめるときは、まず「各回は独立か」「成功確率は毎回同じか」を言葉で説明してもらいます。次に1回の成功を 0 と 1 で表し、その平均と分散をそれぞれ p、p(1 − p) と書けるかを見ます。平均だけを足す場面と、独立性を使って分散も足す場面を区別できれば、公式を暗記しただけの状態から一歩進めます。

逆算では、v/m を書いた直後にそれが成功確率か失敗確率かを確認します。求めた n が整数か、両方の式に代入すると問題の平均と分散に戻るかも確認します。平均が0の場合を先に分ければ、0で割る操作を避けられます。二項分布の復元は、式と試行の条件が一致して初めて完了します。