高校数学B 独立な確率変数の分散—和と差のばらつきを係数の二乗で整理する｜武蔵野個別指導塾

独立な測定値の差では分散を加え、係数付きの和では係数を二乗する理由を、偏差の展開で検証します。

よくあるのは、高2が別々の装置の測定差を考え、差の分散もそれぞれの分散の差だと考える場面です。2台の値が独立に揺れるなら、一方が高く他方が低い組合せも起こります。差の平均と、差がその平均からどれだけ散らばるかは別の問いです。装置が別々という言葉だけで独立と決めず、問題の条件や確率の表を確かめてから計算します。

どの形で問われるか

第一の型は、独立な2変数の分散が与えられ、和や差の分散を求めるものです。差であっても、偏差を二乗すると負号は消えます。平均の差を求める式と混ぜないように、まず E と V を書き分けます。

第二の型は、2X − 3Y のように係数がつくものです。係数そのものではなく、各係数の二乗をそれぞれの分散に掛けます。最後に標準偏差を尋ねられたら、分散の非負の平方根を取ります。

第三の型は、独立の記述がない表を使うものです。公式を急いで当てはめず、組ごとの和や差の分布を求め、その定義から分散を計算します。周辺の分布が同じでも、組の対応が違えば差の散らばりは変わります。

偏差と独立の役割

確率変数 X の期待値を E(X)、分散を V(X) と書きます。分散は、X の平均からの偏差の二乗の期待値 V(X) = E((X − E(X))²) です。定数 a、b に対して、期待値の線形性により、独立かどうかにかかわらず E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y) です。分散を各変数の分散の和に分ける公式では、独立性を使って積の項が消えることを確かめます。

X と Y が独立なら、各変数の値の組の確率は、それぞれの値の確率の積になります。このとき次の式が成り立ちます。

V(aX + bY) = a²V(X) + b²V(Y)

図1のように、和の偏差を各変数の偏差に分けると、係数は二乗されます。差は b が負の場合なので、分散の項は引き算になりません。

図1の式の条件を確かめるため、U = X − E(X)、W = Y − E(Y) と置きます。E(U) = 0、E(W) = 0 です。独立性により E(UW) = E(U)E(W) = 0 となるので、展開後の積の項は消えます。

V(aX + bY) = E((aU + bW)²)     偏差の定義
             = E(a²U² + 2abUW + b²W²)     二乗を展開
             = a²E(U²) + 2abE(UW) + b²E(W²)     期待値の線形性
             = a²V(X) + b²V(Y)     独立性と分散の定義

この導出は、独立でない場合に積の項が消えると保証しません。たまたま消える場合はありますが、独立でないから必ず公式が破れると断言することもできません。また、X と Y が独立でも X と X は一般には独立ではありません。同じ量の2倍は、別々の2量の和と区別します。

条件が不明なときの進め方

平均と分散が各々わかっていても、2つの変数が同時にどの値を取りやすいかは決まりません。たとえば一方が平均より大きいときに他方も大きい傾向があれば、差ではその動きが打ち消されることがあります。反対の方向に動けば差が広がることもあります。個別の分布だけで差の分散を確定することはできません。

同時分布があれば、各組について差を計算し、同じ差になる組の確率を足します。得られた分布の確率が非負で合計 1 になることを確かめてから、期待値と二乗の期待値を求めます。独立と書かれず同時分布も与えられない問題では、必要な情報が足りないと判断します。独立を勝手に補う操作は、計算の簡略化ではなく条件の追加です。

係数が 0 の場合も同じ式に含まれます。たとえば a = 0 なら aX の偏差は常に 0 なので、その分散への寄与は 0 です。定数を加える場合も同様に偏差は増えません。一方、同じ X の複数の項は先にまとめてから係数を二乗します。こうして式の形と確率変数の関係を整えると、公式を使える範囲が明確になります。

基本例題：装置の差

2台の装置の測定値 X、Y は独立で、E(X) = 10、E(Y) = 8、V(X) = 4、V(Y) = 9 です。X − Y の期待値、分散、標準偏差を求めてください。標準偏差は根号を用いて表します。

独立と明記されているので、分散の和の公式を使えます。期待値は係数をそのまま掛けます。

E(X - Y) = E(X) - E(Y) = 10 - 8 = 2
V(X - Y) = 1²V(X) + (-1)²V(Y)     独立性を使用
             = 4 + 9
             = 13
標準偏差 = √13

図2のように、平均は 10 と 8 の差ですが、分散には 4 と 9 の両方が加わります。標準偏差は分散そのものではなく、その非負の平方根です。

図2の結果を条件に戻すと、差の平均は 2、差の分散は非負の 13 です。標準偏差 √13 を二乗すると 13 に戻ります。もし 4 − 9 とすると負になり、二乗の平均という分散の定義に反します。

標準例題：係数と定数を分ける

独立な確率変数 A、B について、E(A) = 3、E(B) = -1、V(A) = 2、V(B) = 5 とします。T = 2A − 3B + 7 の期待値と分散を整数で求めてください。

定数 7 は平均を動かしますが、各値と平均を同じだけ動かすので偏差を変えません。A と B は独立ですから、分散には各係数の二乗を掛けます。

E(T) = 2E(A) - 3E(B) + 7     期待値の線形性
     = 2・3 - 3・(-1) + 7
     = 16
V(T) = 2²V(A) + (-3)²V(B)     独立性と定数の性質
     = 4・2 + 9・5
     = 53

確かめとして T の偏差を元の変数で表すと、T − 16 = 2(A − 3) − 3(B + 1) です。定数 7 が偏差から消え、各偏差の係数が 2 と -3 に戻ります。したがって、分散に現れる重み 4 と 9 は問題の式に対応します。

発展例題：同じ周辺分布でも組を調べる

X、Y の同時分布は次の表のとおりです。行と列の交点がその組の確率です。X と Y が独立か判定し、X − Y の分散を分数で求めてください。

行の合計から P(X = 0) = 1/2、列の合計から P(Y = 0) = 1/2 です。独立なら組 (0, 0) の確率はそれらの積 1/4 ですが、表では 1/2 です。よって独立ではありません。

確率が正の2組では、どちらも X − Y = 0 です。表の合計は 1 なので、差は確率 1 で 0 になります。

E(X - Y) = 0・1 = 0
E((X - Y)²) = 0²・1 = 0
V(X - Y) = 0 - 0² = 0

個別には E(X) = E(Y) = 1、E(X²) = E(Y²) = 2 なので、V(X) = V(Y) = 1 です。独立の場合の式を条件を見ずに使うと 2 となり、実際の 0 と一致しません。表へ戻ると、2つの値は常に同じ方向に動き、差が変化しないことが原因です。

誤答を直す：符号と条件を別々に見る

基本例題で「差だから V(X − Y) = 4 − 9」とする答えは誤りです。図3のように、差の偏差には負号がありますが、それを二乗した Y の項の係数は正です。独立であれば積の項が消えるため、分散は 4 + 9 になります。

図3の誤りを直すときは、まず差の平均と分散の行を分けます。次に独立という条件に印をつけ、(-1)² = 1 を書いてから加えます。答えが負なら分散の定義に反すると気づけますが、正の答えでも正しいとは限りません。たとえば 9 − 4 は正でも、同じ条件では 13 に一致しないからです。

独立の確認を飛ばす誤りにも注意します。発展例題では各変数の分散が正でも、差の分散は 0 です。別の装置という説明から独立を推測するのではなく、独立の指定か、各組の確率が周辺確率の積になることを確かめます。表の一組でも積と違えば独立ではありません。

分散の単位にも目を向けます。測定値が同じ単位で表されるなら、差の分散はその単位の二乗、標準偏差は元の単位です。単位の違う量をそのまま引かず、問題の係数が何を換算するかを先に確かめます。数値の符号、独立の条件、単位を別々に点検すると、正の答えに紛れた誤りも見つけやすくなります。

練習問題

各問の確率変数の分散は有限とします。答えの形を守り、独立の条件を確認してから計算してください。

1. 独立な P、Q の期待値はそれぞれ 6、2、分散はそれぞれ 3、7 です。P + Q と P − Q の期待値、分散を整数で求めてください。
2. 独立な R、S の分散はそれぞれ 4、1 です。3R + 2S − 5 の分散と標準偏差を求め、標準偏差は根号で表してください。
3. 独立な U、V の分散はそれぞれ 8、3 です。U − 2V の分散を整数で求めてください。また、同じ U を使った U − 2U の分散も求めてください。
4. C、D の組 (C, D) は (0, 1) と (2, 3) がそれぞれ確率 1/2 で起こります。独立か判定し、C − D の分散を整数で求めてください。
5. 独立な M、N について V(M) = 2、V(N) = 6 です。V(M + kN) = 56 を満たす実数 k を求めてください。

練習問題の答えと解き方

1

独立なので、和と差の分散に公式を使えます。期待値は独立性を使わずに線形性で計算します。

E(P + Q) = 6 + 2 = 8
E(P - Q) = 6 - 2 = 4
V(P + Q) = 1²・3 + 1²・7 = 10
V(P - Q) = 1²・3 + (-1)²・7 = 10

元の条件に戻すと、2つの平均の和は 8、差は 4 です。どちらの分散も係数の二乗が 1 なので、指定された 3 と 7 の和になります。平均が違っても分散が同じになることは矛盾しません。

2

定数 -5 は偏差を変えません。独立な R、S の係数をそれぞれ二乗してから、分散を加えます。

V(3R + 2S - 5) = 3²・4 + 2²・1
                 = 36 + 4
                 = 40
標準偏差 = √40 = 2√10

答えは分散が 40、標準偏差が 2√10 です。後者を二乗すると 40 になり、問題の分散に戻ります。3 と 2 を二乗せずに掛けると、元の偏差の二乗を表せません。

3

U と V は独立なので、最初の式には和の分散の公式を使います。2つ目は同じ U が繰り返されており、先に式をまとめます。

V(U - 2V) = 1²・8 + (-2)²・3
            = 8 + 12 = 20
U - 2U = -U
V(U - 2U) = (-1)²V(U) = 8

2つ目を独立な2変数とみなすと 40 と誤ります。元の式はどの U の値でも -U なので、偏差も U の偏差の符号を反転したものです。その二乗は変わらず、分散 8 に戻ります。

4

周辺確率は P(C = 0) = 1/2、P(D = 1) = 1/2 です。独立なら組 (0, 1) の確率は 1/4 ですが、与えられた確率は 1/2 なので独立ではありません。

0 - 1 = -1
2 - 3 = -1
E(C - D) = (-1)・(1/2) + (-1)・(1/2) = -1
V(C - D) = 0²・(1/2) + 0²・(1/2) = 0

2組の確率の合計は 1 で、どちらも差が -1 です。差が平均からずれる組はないので、元の表からも分散 0 と確かめられます。

5

M と N は独立なので、分散の公式を使い、実数 k の方程式を解きます。

V(M + kN) = 1²・2 + k²・6
2 + 6k² = 56
6k² = 54
k² = 9
k = 3 または k = -3

それぞれ代入すると 2 + 6・3² = 56、2 + 6・(-3)² = 56 です。どちらも元の分散の条件を満たし、二乗した係数から符号は決まりません。

覚えておくこと

独立な X、Y なら V(aX + bY) = a²V(X) + b²V(Y) です。 差の負号も二乗され、独立なら分散は加わります。 独立がないときは組の分布から偏差の二乗の平均を求めます。 標準偏差は分散の非負の平方根です。

つまずきを見分ける

計算前に「X と Y は独立か」「求めるのは平均か分散か」を口にしてもらうと、どこで条件が抜けたか見えます。個別指導では、まず X − Y の平均を書き、次にその偏差が (X − E(X)) − (Y − E(Y)) になることを確かめます。さらに二乗の展開で積の項を示し、独立によってその期待値が 0 になる理由を尋ねます。

同じ変数を2回使う式では、先に同類項をまとめられるかも確認します。非独立の表では、組ごとの差を各確率と対応させて計算してもらいます。符号だけでなく、どの組が起こるかに注目すると、和と差のばらつきを適切に判断できます。