高校数学B 確率分布表—結果を確率変数の値へまとめて分布表を完成させる｜武蔵野個別指導塾

色札の組を得点別にまとめ、未知の確率を総和1の条件で決める手順を確かめます。

よくあるのは、色札を2枚選んで得点を決めるとき、出た札の組の個数をそのまま得点の種類として数えてしまう場面です。赤と青の組も青と赤の組も同じ得点になるなら、得点の欄は一つです。ただし、それぞれの組が起こる確率は両方とも集めます。結果を区別する段階と、同じ得点にまとめる段階を分けると、表の意味が見えてきます。

問われ方を見分ける

一つ目は、操作の結果から確率分布表を作る型です。まず起こりうる結果とその確率を調べ、各結果に対応する得点を書きます。同じ得点に対応する結果が複数あれば、それらの確率を足します。結果の並びに重複や数え漏れがないことも必要です。

二つ目は、確率に文字を含む表から未知数を求める型です。確率の合計が1という条件を式にし、求めた値を各欄に戻して、どの確率も0以上であることを確かめます。式が解けても、負の確率が残るなら問題の条件を満たしません。

三つ目は、文字の値によって同じ欄に集まる結果が変わる型です。文字を含む得点が別の得点と等しくなる場合は、別々の列に置いたままにはできません。等しくなる場合とならない場合を分け、表に現れる値が重ならないようにします。区間で指定された事象の計算には立ち入らず、ここでは表の完成に集中します。

結果から値へ写す

試行の結果によって値が定まる変数を確率変数といいます。確率変数 X がとる値と、それぞれの値をとる確率の対応を X の確率分布といい、表で表したものが確率分布表です。得点の単位が点なら、上の行には得点、下の行にはその得点になる確率を置きます。

図1のように、異なる結果が同じ値に移ることがあります。左側の結果は区別して数え、右側で値ごとに確率を集めます。値の種類の数と、もとの結果の数は一致するとは限りません。

図1では結果Aと結果Bがともに1点、結果Cが2点です。AとBは同時には起こらない別の結果なので、1点の確率はそれぞれの確率の和です。Cを1点の欄に混ぜないよう、得点を決める規則を先に確認します。

完成した表には二つの点検があります。各欄の確率は0以上1以下であり、値ごとの確率を合計すると1です。起こりうる結果を漏れなく分けたうえで、各結果を必ず一つの値へ移せば、移す前後で確率の総和は変わりません。0の確率の値は実際には起こらないので、通常は表に含めず、問題で欄が指定されているときは0と書いてもかまいません。

同様に確からしい結果が全部で N 個あり、そのうちある得点になる結果が r 個なら、その得点の確率は r/N です。しかし、結果が同様に確からしいと書かれていない場合は、個数の比をそのまま確率とすることはできません。各結果に与えられた確率を使って合計します。

基本例題：色札の組を得点に移す

赤札2枚と青札1枚があります。同じ色の札も区別できるものとして、この3枚から同時に2枚を無作為に選びます。赤札の枚数を X 点とします。X の確率分布表を作り、確率は分数で答えてください。

まず赤札を赤A、赤B、青札を青Cと名付けます。2枚の組は、赤Aと赤B、赤Aと青C、赤Bと青Cの3通りです。無作為に同時に選ぶので、この3通りは同様に確からしく、それぞれの確率は1/3です。

図2のように、赤Aと赤Bは2点、残りの2組はそれぞれ1点に対応します。得点1には異なる2組が集まるため、確率を足します。

P(X = 1) = 1/3 + 1/3 = 2/3
P(X = 2) = 1/3

最初の行は1点になる2組の確率の和です。次の行は2点になる1組の確率です。赤札は2枚しかなく青札は1枚なので、0点や3点はこの操作では生じません。以上を表にします。

確率は非負で、2/3 + 1/3 = 1です。逆に各欄をもとの組へ戻すと、1点の欄に2組、2点の欄に1組があり、3組が漏れなく使われています。図2の矢印もこの対応を示します。

標準例題：未知の確率を決める

確率変数 Y は0、2、5をとり、それぞれの確率は順に k、2k、1/4 です。k を分数で求め、分布表を完成させてください。

3つの値は異なり、問題文がそれ以外の値を挙げていないので、3欄の確率の合計は1です。これを式にすると、次のようになります。

k + 2k + 1/4 = 1
3k = 3/4
k = 1/4

1行目は総和の条件、2行目は同類項をまとめて1/4を移した式、3行目は両辺を3で割った式です。2k = 1/2 となるので、表は次のようになります。

元の条件に戻すと、左の2欄は k と 2k の比で、各欄は0以上です。また 1/4 + 1/2 + 1/4 = 1 です。総和の式を満たしても負の欄がある設定なら分布表として成立しないため、この非負の確認は省きません。

発展例題：文字によって値が重なる

一つの箱に区別できる札A、B、C、Dが1枚ずつ入っています。1枚を無作為に取り、Aなら0点、Bなら1点、Cなら a 点、Dなら2点とします。a は実数です。得点を Z として、a = 1 の場合と a が0、1、2のいずれとも異なる場合の確率分布表を作ってください。確率は分数で答えます。

4枚はそれぞれ同じ確率で選ばれるので、各札の確率は1/4です。まず a = 1 なら、BとCが同じ1点です。この2枚の確率を加えます。

P(Z = 0) = 1/4
P(Z = 1) = 1/4 + 1/4 = 1/2
P(Z = 2) = 1/4

総和は1です。1点の欄を札に戻せばBとCの2枚に対応し、ほかの2欄は各1枚に対応します。

次に a が0、1、2のいずれとも異なるなら、4枚は互いに異なる得点に対応します。得点 a の大小は指定されていないので、以下は大小順ではなく札の順に並べた表です。

4欄の合計は1で、各欄を札AからDに戻せます。なお a = 0 ならAとC、a = 2 ならCとDがそれぞれ同じ欄に入ります。文字を含む列が常に別の値であると決めつけず、等号が成り立つ条件を先に調べます。負の得点を許す設定なので、a 自体の符号は確率の非負性とは別の問題です。

誤答から直す：結果数と得点数

基本例題で「1点、2点の2種類だから、それぞれの確率は1/2」と答えたとします。得点の種類が2つあることは正しいのですが、その2種類が同じ確率で起こるとは限りません。図3のように、得点1には2組、得点2には1組が対応するためです。

図3の左の考え方では、結果から値への対応を調べず、値の個数で1を割っています。右では同様に確からしい3組を数え直し、1点の2組にそれぞれ1/3を割り当てます。その和が2/3です。合計が1になることは必要ですが、誤答の1/2と1/2も合計は1です。総和だけでは元の操作との対応を検査できません。

逆に、結果の確率が同じではない問題で、結果の個数だけを数えるのも誤りです。結果AとBが同じ値に対応していても、確率がそれぞれ1/5と2/5なら、その値の確率は3/5です。結果の個数と確率を別々の欄に書き、足すのは確率の欄だと確かめます。

表を作る前の点検

操作が途中で失敗する場合も、結果として扱うかを問題文から判断します。たとえば札を取り出せなかった場合に得点0と定められているなら、その結果の確率も0点の欄に加えます。失敗時の扱いが定められていなければ、勝手に0点と決めて表を完成させることはできません。時間切れも同様に、時間切れが起こる可能性とそのときの得点が条件に含まれるかが必要です。

与えられた表に負の確率がある場合や、合計が1にならない場合は、そのまま確率分布とは呼べません。未知数を求めた後にも確率が負になるなら、総和の式の解は得られても、条件を満たす分布は存在しません。外部の計算道具が使えない場合も、各欄を通分して手計算で総和を確認できます。道具が数値を返しても、もとの条件と各欄の意味を照合することが必要です。

練習問題

いずれも答えの確率は分数で表してください。各問題の操作に書かれた選び方を使い、確率分布表を完成させます。

1. 区別できる白玉3個と黒玉1個から1個を無作為に選びます。白なら3点、黒なら0点とする得点 X の分布表を作ってください。
2. 1から6までの目が同様に確からしく出るさいころを1回投げます。目が1または2なら0点、3または4なら1点、5または6なら4点とする得点 Y の分布表を作ってください。
3. 確率変数 U は1、4、7をとり、その確率は順に 2c、c、1/10 です。c を求めて分布表を作ってください。
4. 区別できる札E、F、G、H、Iを1枚ずつ箱に入れ、1枚を無作為に選びます。EとFは2点、Gは5点、HとIは8点です。得点 V の分布表を作ってください。
5. 確率変数 W は0、3、6をとり、その確率は順に d、d + 1/5、2d です。d を求めて分布表を作ってください。

練習問題の答えと解き方

1

4個は同様に確からしいので、各玉の確率は1/4です。0点は黒玉1個に対応し、3点は白玉3個に対応します。

P(X = 0) = 1/4
P(X = 3) = 1/4 + 1/4 + 1/4 = 3/4

各確率は非負で、和は1です。黒1個と白3個に戻すと、4個を漏れなく数えています。

2

6つの目は各1/6の確率です。各得点に2つの目が対応します。

P(Y = 0) = 1/6 + 1/6 = 1/3
P(Y = 1) = 1/6 + 1/6 = 1/3
P(Y = 4) = 1/6 + 1/6 = 1/3

和は1です。各欄を目に戻すと、1と2、3と4、5と6に分かれ、6つの目が重複なく使われています。

3

確率の和を1と置き、c を解きます。

2c + c + 1/10 = 1
3c = 9/10
c = 3/10

最初の式は全欄の総和、次は1/10を移した式、最後は3で割った式です。2c = 3/5 なので次の表です。

各欄は非負で、6/10 + 3/10 + 1/10 = 1です。左2欄は元の条件どおり 2c と c です。

4

各札の確率は1/5です。同じ点数の札に対応する確率を足します。

P(V = 2) = 1/5 + 1/5 = 2/5
P(V = 5) = 1/5
P(V = 8) = 1/5 + 1/5 = 2/5

和は1です。欄を札に戻すと順に2枚、1枚、2枚で、5枚を漏れなく数えています。

5

総和の条件に3欄の式を代入します。

d + (d + 1/5) + 2d = 1
4d = 4/5
d = 1/5

同類項をまとめて1/5を移し、4で割りました。各欄に戻すと d + 1/5 = 2/5、2d = 2/5 です。

どの欄も非負で、和は1です。真ん中の欄は左の欄より1/5大きく、右は左の2倍なので、元の条件にも戻ります。

覚えておくこと

結果ごとに値を決め、同じ値に対応する確率を足します。 各確率の非負性と総和1を確かめます。 文字を含む値が重なる条件も調べます。

つまずきの見分け方

表の確率の和が1でも、もとの結果との対応が誤っていることがあります。得点の欄から結果を逆にたどり、同じ結果を二度使っていないか、抜けた結果がないかを確認します。各結果が同様に確からしいという根拠を言葉で示せなければ、個数を割る前に条件へ戻ります。

個別指導では、まず生徒に結果の一覧と得点を別の列に書いてもらい、同じ値に線を引いてもらいます。未知数を含む表なら総和の式と、代入後の各欄の符号を別々に説明できるか確かめます。結果から値への対応をたどれば、確率分布表の各欄の根拠が残ります。