高校数学II 指数と対数の文章題—増加や減少の条件を式にして初めて達する回数を決める｜武蔵野個別指導塾

一定倍率で変化する量について、時刻0から立式し、直前と達成時を比べて最小回数を選ぶ道筋をたどります。回数の境界判定に役立ちます。

よくあるのは、対数を使って「約4.3回」と求めた後、四捨五入して4回と答える場面です。しかし、4回の時点では条件を満たしていないかもしれません。回数は整数で、しかも求めたいのは条件を初めて満たす時点です。実数の境界を計算したら、その前後の整数を元の量に戻して比べます。計算機の表示を丸める前に、何を数えているかを言葉で押さえましょう。

要点（結論から）

• 変化前を0回とし、初期量に倍率を回数分掛けます。
• 底が1未満では、指数と量の大小関係が逆になります。
• 以上と超えるを区別し、実数の境界から条件を満たす整数を選びます。

どのような条件から回数を決めるか

典型的な問いは、一定倍率で増える量が目標以上になるまでの回数です。例えば毎回同じ倍率を掛けるなら、加える量は一定ではありません。初めの量に倍率を回数分だけ掛けます。別の型では、一定倍率で減る量が目標以下になる時点を探します。増加と減少で変化の方向が逆になるため、不等式の向きも確認します。

もう1つの型は「以上」と「超える」、または「以下」と「下回る」の違いを問うものです。値が境界にちょうど一致することもあります。以上と以下には等号が入り、超えると下回るには入りません。最初から条件を満たす場合は0回が答えです。回数に0を含むのかは問題文で決め、以下では変化前を0回として数えます。

使う道具は指数法則、正の底を持つ指数関数の大小、対数の定義です。対数の値を小数に直せなくても、隣り合う整数の累乗との比較で答えを決定できます。この判断は、初期値や倍率を取り違えていないか確認する機会にもなります。

時刻0と境界を式にする

初期量をA、1回あたりの倍率をrとします。ここではA > 0、r > 0とし、nを0以上の整数とします。変化前はA、1回後はAr、2回後はAr²です。したがってn回後はArⁿです。1回後を初期量と取り違えると、答えが1回ずれます。図1のように、まず0回の位置を決めてから倍率を掛けます。

図1の矢印は、1回ごとに同じ倍率を掛けることを表します。r > 1なら量は各回で増え、0 < r < 1なら各回で減ります。r = 1なら量は変わりません。この場合、初期量が条件を満たせば答えは0回、満たさなければ何回繰り返しても到達しません。

底aが正で1ではなく、真数bが正のとき、aの何乗がbになるかを表す数をlogₐ bと書きます。つまりaのx乗がbであることと、x = logₐ bであることは同じです。底が1より大きい指数関数は増加し、0より大きく1より小さい底の指数関数は減少します。したがって、対数に移すときは底が1より大きいか小さいかで不等号の向きを区別します。

境界を実数Lとしたとき、n ≧ Lを満たす最小の整数は、Lが整数ならその整数、整数でなければLより大きい側の最初の整数です。一方、n > LならLが整数の場合も次の整数が必要です。四捨五入は最も近い整数を選ぶ操作なので、この条件判定とは一致しません。0回を含む点も忘れず、境界が負なら初期状態の判定に戻ります。

基本例題：増える量が初めて目標以上になる

ある量は初め12単位で、操作のたびに2倍になります。0回を変化前とし、初めて100単位以上になる最小の回数を整数で求めてください。

n回後の量を考えると、初期量12に2をn回掛けます。条件は次のようになります。

12・2ⁿ ≧ 100
2ⁿ ≧ 25/3
n ≧ log₂(25/3)

底2は正で1より大きく、真数25/3は正なので対数は定義されます。底が1より大きいため、不等号の向きは変わりません。ここで対数の近似値を四捨五入する必要はありません。2³ = 8、2⁴ = 16であり、8 < 25/3 < 16です。よって境界は3と4の間にあります。条件を満たす最初の整数は4です。

図2のように、元の初期量から直接計算すると3回後は96単位、4回後は192単位です。96 < 100 ≦ 192なので、答えは4回です。量は各回で増えるため、3回より前にも100単位以上になる時点はありません。

図2では目標の線を挟んで、直前と達成時を示しています。比較を2つ書く理由は、達成を示すだけでは最小回数と決まらないからです。例えば5回でも条件は満たしますが、4回ですでに達成しているので最小ではありません。逆に直前が不足していることだけでも、次に達成するとは限りません。両方を確かめて初めて結論が出ます。

標準例題：減少と等号を分ける

初めに81単位ある量が、操作ごとに1/3倍になります。変化前を0回として、初めて3単位以下になる回数と、初めて3単位を下回る回数をそれぞれ整数で求めてください。

底1/3は正で1より小さく、量は毎回減ります。まず以下の条件を立てます。

81・(1/3)ⁿ ≦ 3
(1/3)ⁿ ≦ 1/27
(1/3)ⁿ ≦ (1/3)³
n ≧ 3

最後の行では底が1未満なので、指数が大きいほど値が小さいことを使いました。3回後は81/27 = 3単位、2回後は81/9 = 9単位です。2回後は3単位より多く、3回後は等しいので、以下になる最小回数は3回です。

次に下回る条件は81・(1/3)ⁿ < 3です。同じ変形をするとn > 3となります。したがって答えは4回です。4回後の量は81/81 = 1単位で、3回後の3単位は「下回る」を満たしません。境界が整数のときに、等号の有無が答えを変えます。

同じ問題を対数で扱う場合、底1/3と真数1/27はどちらも正で、底は1ではありません。log₍₁/₃₎(1/27) = 3です。ただし減少する対数関数を使うので、不等号の向きは元の式から逆になります。累乗の形がすぐ見える場合は、先に指数を比較する方が判定しやすいでしょう。

発展例題：2つの量が逆転する時点

容器Pには初め5単位、容器Qには初め40単位の量があります。操作のたびにPは2倍、Qは1/2倍になります。変化前を0回として、Pの量が初めてQの量以上になる回数を整数で求めてください。

両方が変わるので、Qの初期量40を固定した目標として扱ってはいけません。同じ回数nを両方に入れて比べます。

Pの量 = 5・2ⁿ
Qの量 = 40・(1/2)ⁿ
5・2ⁿ ≧ 40・(1/2)ⁿ
2ⁿ/(1/2)ⁿ ≧ 8
4ⁿ ≧ 8
n ≧ log₄ 8
n ≧ 3/2

両辺を割る際、5と(1/2)ⁿは正なので不等号は変わりません。底4は正で1より大きく、真数8も正です。4の3/2乗は8なので、境界は3/2です。nは0以上の整数だから最小は2回です。

元の量で確認すると、1回後のPは10単位、Qは20単位で、Pはまだ小さいままです。2回後はPが20単位、Qが10単位となり、Pが以上になります。比P/Qは各回で4倍されるため、それ以前に逆転することもありません。2つの量の差を直接変形するより、正の量の比を使えば指数をまとめやすくなります。

四捨五入の誤答を直す

基本例題で境界が3と4の間にあるとき、仮に小数で3.1と表示されたとして、四捨五入で3回と答えるのは誤りです。問題の条件は「境界に最も近い整数」ではなく「境界以上の最小の整数」だからです。3回後は96単位で100単位に届かず、4回後は192単位で達成します。図3のように、実数の境界が3と4の間にあるなら、条件を満たす側の4を選びます。

図3の境界の位置は模式的に示しています。境界の小数表示を正確に読む図ではなく、3回が不足し4回で達成するという関係を示す図です。実際の値を求めずとも、2³ < 25/3 < 2⁴で境界の範囲は確定します。

別の誤りは、減少の式で底が1未満なのに不等号を変えないことです。例えば標準例題では指数が大きいほど量は小さくなります。2回後と3回後の実際の量を見比べれば、n ≦ 3という結論が不自然だと気づけます。等号のつく場合とつかない場合をそれぞれ元の日本語に戻すことも修正の手掛かりです。

条件を立て直すための確認

文章題では「毎回増える量」と「毎回掛ける倍率」を混同しやすいものです。初期量が10単位で毎回2倍なら、1回後は20単位、2回後は40単位です。増加分はそれぞれ10単位、20単位で一定ではありません。毎回10単位ずつ増える別の条件では、同じ式を使えません。問題文の変化が倍率なのか増加分なのかを、1回後と2回後に戻して確認します。

また、境界に達しない場合もあります。正の初期量が毎回1/2倍になるとき、何回操作しても量は正です。「0以下になる最小回数」は存在しません。対数で0を真数に置くこともできません。これに対し、初期量がすでに条件を満たす問題では、0回が最小です。答えが存在しない場合と0回の場合を分けるには、計算前に初期状態と変化の方向を見ます。

倍率が正でも1のときは、対数の底にできません。たとえば初期量8単位が毎回1倍なら、どの回数でも8単位です。8単位以上という条件なら0回ですが、8単位を超えることはありません。底が1ではないかを確認する理由は、記号上の注意にとどまらず、このような到達の可否に直結しています。

練習問題

いずれも変化前を0回とし、最小の回数を整数で答えてください。量の単位は各問内で共通です。

1. 初め7単位の量を毎回3倍にします。初めて150単位以上になるのは何回後ですか。
2. 初め64単位の量を毎回1/2倍にします。初めて4単位以下になるのは何回後ですか。また、初めて4単位を下回るのは何回後ですか。
3. 初め15単位の量を毎回2倍にします。初めて120単位を超えるのは何回後ですか。
4. 初め6単位の量を毎回3倍にします。初めて5単位以上になるのは何回後ですか。
5. 初め2単位の量Xを毎回3倍にし、初め54単位の量Yを毎回1/3倍にします。Xが初めてY以上になるのは何回後ですか。

解答と考え方

1. n回後の量は7・3ⁿです。条件は3ⁿ ≧ 150/7です。3² = 9 < 150/7 < 27 = 3³なので、最小は3回です。元の量では2回後が63単位、3回後が189単位です。63 < 150 ≦ 189となり、増加することからそれより前も不足します。

2. n回後は64・(1/2)ⁿです。4以下の条件を整理すると(1/2)ⁿ ≦ 1/16 = (1/2)⁴です。底が1未満なのでn ≧ 4となります。3回後は8単位、4回後は4単位なので、以下は4回です。下回る条件はn > 4となり5回です。5回後は2単位で、4回後は等しいため下回りません。

3. 条件は15・2ⁿ > 120、すなわち2ⁿ > 8 = 2³です。底2は1より大きいのでn > 3、答えは4回です。3回後は120単位でちょうど等しく、4回後は240単位です。以上なら3回ですが、超える場合は等しい時点を含みません。

4. 操作を行う前の量6単位がすでに5単位以上です。0回が答えです。式にすると3ⁿ ≧ 5/6ですが、nを0以上の整数とするので、0を代入した時点で条件を満たします。1回後の18単位を計算しても、それより前の0回を除外する理由にはなりません。

5. n回後の条件は2・3ⁿ ≧ 54・(1/3)ⁿです。両辺を正の2・(1/3)ⁿで割ると9ⁿ ≧ 27です。9¹ = 9 < 27 < 81 = 9²なので、最小は2回です。1回後のXは6単位、Yは18単位で未達成です。2回後はXが18単位、Yが6単位です。比が毎回9倍されるため、これが初めての逆転です。

要点

• 変化前を0回とし、初期量に倍率を回数分掛けます。
• 底が1未満では、指数と量の大小関係が逆になります。
• 以上と超えるを区別し、実数の境界から条件を満たす整数を選びます。
• 初期状態と、達成時および直前の量を元の場面で確かめます。

つまずきの位置を見つける

答えが1回ずれた場合は、最初に書いた値が0回後か1回後かを説明してみましょう。減少の問題で不等号が逆になった場合は、連続する2回分の量を計算して、指数が増えると量がどう動くかを言葉にします。個別指導では、式を立てた理由、等号を含めた理由、直前が未達成である根拠を順番に確かめます。対数の式だけが正しくても、回数の条件への戻し方まで説明できると、境界に等しい場合にも対応できます。