高校数学II 対数関数の平行移動—真数が正になる範囲から漸近線と通る点を決める｜武蔵野個別指導塾

真数を基準点の横座標に合わせ、対数関数を移した後の点と漸近線を計算します。左右と上下の反転も座標で区別します。

よくあるのは、高2がy = log₂(x + 3)の括弧の中にあるプラスを見て、グラフを右へ3移動する場面です。元の曲線のどの点がどこへ移るかを確かめると、向きの取り違えに気づけます。真数が正になる範囲も同時に調べると、曲線が近づく直線の位置まで確かめられます。

要点（結論から）

• 真数が正となる範囲を最初に求め、境界を含めません。
• 元の点の真数をそろえると、横移動の向きと座標が決まります。
• 漸近線は真数が0になる縦の直線で、曲線は真数が正の側にあります。

式から何を読み取るか

問いの出方には、式から移動後のグラフを描く型、グラフの漸近線と通る点から式を決める型、反転を含む式の定義域や点を調べる型があります。いずれも、まず底が正で1でないこと、真数が正であることを確認します。その上で基準になる点を移せば、移動の向きと曲線の位置を検査できます。

対数の定義では、a > 0、a ≠ 1、M > 0のとき、logₐ M = pとaのp乗 = Mは同じ意味です。特にlogₐ 1 = 0、logₐ a = 1です。ここで使う対数関数の変化とグラフは、数学IIの学習範囲に含まれます。式の符号だけを見て図を推測するのではなく、真数が1やaになる場所を計算して点を置きます。

真数を元の横座標と見比べる

基準のグラフをy = logₐ xとします。底はa > 0、a ≠ 1で、定義域はx > 0、値域は実数全体です。このグラフは(1, 0)と(a, 1)を通り、縦軸x = 0を漸近線に持ちます。漸近線は曲線が近づく直線で、対数がその直線上で定義されるという意味ではありません。

元のグラフ上の点を(u, v)とすると、u > 0、v = logₐ uです。y = logₐ(x − h) + kでは、真数x − hをuに合わせればよいので、x = u + h、y = v + kです。したがって点は(u + h, v + k)に移ります。hが正なら右、負なら左、kが正なら上、負なら下です。式中のxの隣の符号と、移動の向きが逆になることを、この対応から説明できます。

真数の条件x − h > 0から定義域はx > hです。元の漸近線x = 0も右へh移ってx = hとなります。図1のように、真数を同じ値にそろえると、点の移動と境界の移動が一度に見えます。境界のx = hでは真数が0なので、その直線自体は定義域に入りません。縦への移動は真数を変えず、漸近線の位置も変えません。

さらに、式の外にマイナスを付けたy = -logₐ(x − h) + kでは、対応は(u, v)から(u + h, -v + k)です。横軸について反転し、その後に縦へ移すと見られます。真数の符号は変わらないので定義域はx > hのままです。一方、y = logₐ(h − x)では真数h − x > 0からx < hです。元の点は(h − u, v)へ移り、左右が反転します。どちらも漸近線はx = hですが、曲線が存在する側が異なります。

底が1より大きいと基準の曲線は増加し、0 < a < 1なら減少します。外側のマイナスは上下を反転するため増減を逆にします。内側のh − xも左右を反転するため増減を逆にします。2種類の反転は同じ操作ではありません。点の座標と真数の条件をそれぞれ使えば、形だけに頼らず区別できます。

基本例題: 左への移動を点で確かめる

次のグラフの定義域と漸近線を求め、基準の点(1, 0)、(2, 1)に対応する点の座標を答えてください。また移動の向きを答えてください。

y = log₂(x + 3) - 2

底2は正で1ではありません。真数が正という条件を先に書きます。

x + 3 > 0
x > -3

したがって定義域はx > -3です。基準の真数をuと置くと、x + 3 = uなのでx = u − 3です。出力は元の値から2引かれるため、(u, v)は(u − 3, v − 2)に移ります。つまり左へ3、下へ2の平行移動です。

(1, 0) → (1 - 3, 0 - 2) = (-2, -2)
(2, 1) → (2 - 3, 1 - 2) = (-1, -1)
x = 0 → x = -3

漸近線はx = -3です。図2のように、曲線はこの直線の右側にあります。移動した2点を元の式に戻すと、x = -2では真数が1でy = -2、x = -1では真数が2でy = -1です。どちらも条件x > -3を満たし、図の点と一致します。

真数を0にするx = -3は漸近線上ですが、点として打てません。また、x = 0は定義域に含まれます。定義域の境界と座標軸を同じものと思い込まないことが、図を正しく描くための一歩です。

標準例題: 漸近線と点から式を作る

グラフy = log₃ xを平行移動した曲線が、漸近線x = 2を持ち、点(3, 4)を通ります。この曲線の式を求め、定義域を不等式で答えてください。

横にh、縦にk移動した式をy = log₃(x − h) + kと置きます。底3は正で1ではありません。漸近線はx = hなので、条件からh = 2です。点(3, 4)の真数は3 − 2 = 1で正ですから、式に代入できます。

y = log₃(x - 2) + k
4 = log₃(3 - 2) + k
4 = log₃ 1 + k
4 = 0 + k
k = 4

求める式はy = log₃(x − 2) + 4、真数条件から定義域はx > 2です。元の(1, 0)が(3, 4)へ移ることでも確かめられます。実際、点の横座標は2より大きく、元の条件の漸近線と通る点をともに満たします。

ここで漸近線だけから決まるのは横方向です。縦方向には何だけ移しても同じ漸近線なので、通る点の条件が必要です。点が境界上やその左に指定されていれば、この向きの平行移動では真数が正にならず、条件を満たす式はありません。式へ代入する前に、その点が定義域にあるかを調べます。

発展例題: 左右反転と上下反転を見分ける

次の2つのグラフについて、定義域と漸近線を求め、それぞれ基準の点(1, 0)、(4, 1)に対応する点を答えてください。増加か減少かも判定します。

A: y = log₄(5 - x) + 1
B: y = -log₄(x - 5) + 1

底4は正で1ではありません。まずAの真数条件と座標対応を調べます。

5 - x > 0
x < 5
5 - x = u
x = 5 - u
y = v + 1

Aの定義域はx < 5、漸近線はx = 5です。(1, 0)は(4, 1)、(4, 1)は(1, 2)に対応します。真数を元に戻すと、x = 4では5 − 4 = 1でy = 1、x = 1では5 − 1 = 4でy = 2です。横座標が増えると真数が減り、底4の対数は増加するので、Aは減少します。

次にBを調べます。マイナスは対数全体の前にあるため、真数の条件に影響しません。

x - 5 > 0
x > 5
x - 5 = u
x = u + 5
y = -v + 1

Bの定義域はx > 5、漸近線はx = 5です。(1, 0)は(6, 1)、(4, 1)は(9, 0)に対応します。x = 6では真数1からy = 1、x = 9では真数4からy = 0となり、元の式でも一致します。底4の対数の増加を外側のマイナスが反転するので、Bも減少します。

2つはともに減少し、漸近線も同じですが、曲線のある側は反対です。増減だけから同じ曲線だと判断することはできません。別の見方として、AとBの真数をそれぞれuに固定し、対応する2点の横座標を比べると、境界x = 5を挟んで左右にあることがわかります。縦座標は一般には一致しないので、この2曲線を単に左右対称とすることもできません。

間違えた図を直すには

基本例題のy = log₂(x + 3) − 2について、「プラス3だから右へ3、漸近線はx = 3」と描いたとします。原因は、式に書かれた数を移動量にそのまま使い、移動後の点で真数が何になるかを確かめていないことです。

図3のように、真数が1になる位置はx + 3 = 1からx = -2です。その点の縦座標は-2です。右へ3という誤った操作では基準点(1, 0)を(4, -2)に移しますが、x = 4で真数は7となり、対数の値は0ではありません。よってその点は指定された曲線上にありません。真数が0になる境界もx = -3で、x = 3ではありません。

別の誤りは、定義域x > -3の端点を含めてx ≥ -3とすることです。端点では真数が0なので対数が定義されず、等号は付けられません。反対に、漸近線を描いた後で曲線を線の両側へ伸ばす誤りもあります。境界線と併せて真数が正の側を矢印で示すと、曲線の置き場所を検査できます。

縦移動にも注意が必要です。y = log₂(x + 3) − 2の-2は、真数ではなく対数の値を変えます。これを横移動に混ぜてx = -5を境界とすれば、そこで真数が-2となってしまいます。境界は真数を0にする式から求め、点の高さは元の関数値に縦移動を加えて求めると、2つの役割を分けられます。

手を動かして確かめる5問

各問で底と真数の条件を確認し、座標は順序対で、定義域は不等式で答えてください。

1. y = log₅(x − 4) + 3の定義域、漸近線、基準点(1, 0)の移動先を求めてください。
2. y = log₂(x + 6) + 1はy = log₂ xをどの向きへ何だけ平行移動したものですか。基準点(2, 1)の移動先も求めてください。
3. y = -log₃(x + 2)の定義域、漸近線、基準点(3, 1)の移動先と増減を求めてください。
4. y = log₂(7 − x) − 3の定義域、漸近線、基準点(1, 0)と(2, 1)の移動先を求めてください。
5. y = log₅ xを平行移動したグラフの漸近線がx = -1で、点(4, 2)を通ります。式と定義域を求めてください。

解答と考え方

1. 底5は正で1ではありません。真数の条件と点の対応は次の通りです。

x - 4 > 0
x > 4
(1, 0) → (1 + 4, 0 + 3) = (5, 3)

定義域はx > 4、漸近線はx = 4、移動先は(5, 3)です。元の式へ戻すと、x = 5で真数は1、y = 0 + 3 = 3です。境界4は含まれません。

2. 底2は正で1ではなく、真数条件はx + 6 > 0、すなわちx > -6です。x + 6を元の横座標に合わせるので、左へ6、上へ1の移動です。

(2, 1) → (2 - 6, 1 + 1)
= (-4, 2)

元の式でx = -4とすると真数は2、y = 1 + 1 = 2です。点が定義域内にあることも確かめられます。

3. 底3は正で1ではありません。真数x + 2 > 0より定義域はx > -2、漸近線はx = -2です。左へ2移した後、横軸について反転します。

(3, 1) → (3 - 2, -1)
= (1, -1)

x = 1で真数は3、元の式はy = -1です。底3の基準曲線は増加しますが、外側の負号で上下が反転するため、移動後は減少します。

4. 底2は正で1ではありません。真数を正とする範囲と、元の点(u, v)の対応を求めます。

7 - x > 0
x < 7
7 - x = u
x = 7 - u
y = v - 3

定義域はx < 7、漸近線はx = 7です。2点の移動先はそれぞれ(6, -3)、(5, -2)です。元の式ではx = 6で真数1、x = 5で真数2となり、指定した高さに戻ります。曲線を境界の右側へ描くと真数が負になるため、この条件に合いません。

5. 底5は正で1ではありません。y = log₅(x − h) + kと置きます。漸近線からh = -1であり、点(4, 2)では真数4 + 1 = 5 > 0です。

2 = log₅(4 + 1) + k
2 = 1 + k
k = 1

式はy = log₅(x + 1) + 1、定義域はx > -1です。x = 4を元の式に戻すとy = 1 + 1 = 2となり、指定の点を通ります。真数が0になるx = -1も指定の漸近線と一致します。

要点を持ち帰る

• 真数が正となる範囲を最初に求め、境界を含めません。
• 元の点の真数をそろえると、横移動の向きと座標が決まります。
• 漸近線は真数が0になる縦の直線で、曲線は真数が正の側にあります。
• 内側と外側の負号は異なる反転なので、点と定義域の両方を確かめます。

説明が止まる場所を見つける

移動の方向を言えたとしても、真数が1になる点を答えられるかを確かめると、符号を覚えただけかどうかが見えます。個別指導では、まず基準点の横座標を真数に等しい値として書き、移動後のxを自分の言葉で求めてもらいます。次に境界を等号付きで含めていないか、反転の前後でどの座標が変わったかを式と図の両方で確認します。点を元の式へ戻す習慣が、見た目の似たグラフを区別する手がかりです。