高校数学II 指数関数の最大最小—置換後の区間と二次式の軸から端点の値まで調べる｜武蔵野個別指導塾

指数を置き換えた閉区間で軸と端点を比べ、最大値と最小値、それぞれを取る元のxまで求める手順を整理します。

よくあるのは、指数の部分をtと置いた高2が、tは正だからどの正の値でも取れると思い、放物線の頂点をそのまま最小値にする場面です。もとのxに範囲があれば、tにもそれに対応する範囲があります。頂点がその外にあるとき、その点は候補にできません。置換の前後で端点を対応させ、候補の値をもとの式に戻してみましょう。

最大と最小を決める二つの場所

指数を含む式の最大値・最小値は、指数の異なる項を共通の底の累乗で表し、正の文字に置き換えると、二次関数の問題として考えられることがあります。典型的な出方は、下に凸の二次式で軸が区間内にある型、軸が区間外にある型、上に凸の二次式で両端を比べる型です。どの型でも、値だけでなく、それを取るxまで求めます。

必要な道具は指数法則、指数関数の増減、二次式の平方完成です。底が正で1と異なる指数関数は、底が1より大きいと増加し、0より大きく1より小さいと減少します。閉区間の両端は含まれるため、端点で実際に取る値も候補になります。指数関数の変化とグラフは数学IIの学習範囲です。

置換の区間と軸の距離

a>0、a≠1とし、t=aのx乗と置きます。指数関数の値は正なのでt>0ですが、xの範囲が決まっている場合は、それを反映したさらに狭い範囲を使います。例えば1≤x≤3なら、底が2のとき2≤t≤8です。一方、底が1/2なら、xが増えるほど値が減るため1/8≤t≤1/2です。大小の順に書き直し、等号も残します。

図1のように、底によって両端の対応が入れ替わります。両端の値を計算してから小さい順に並べれば、減少する場合も迷いにくくなります。区間の途中の値も指数関数が連続的に変化するため、その間の値を取ります。

二次式をy=A(t-p)²+qとします。A>0なら下に凸で、軸t=pに近いほど値が小さく、遠いほど大きくなります。A<0なら上に凸で、この大小が逆になります。軸が区間内なら軸上の点も候補です。軸が外なら、区間内で軸に最も近い端点と最も遠い端点を比べます。軸が端点に一致するときは、その端点が頂点です。

両端が軸から等距離なら、両端で同じ値を取ります。最大または最小となるxも2つ答える必要があります。等距離かどうかは、両端の平均がpか、または各端点を代入した値が等しいかで判定できます。軸の位置を見る前にtの範囲を決めることが、この方法の出発点です。

区間の端が軸に一致する場合も、軸は区間に含まれます。例えば下に凸の式で左端が軸なら、左端で最小となり、右端で最大となります。等号の有無を確認しないまま「軸は内部ではない」と片付けず、実際にその点が許されるかを見ると判断できます。ここで扱う閉区間は両端を含むので、端の値を候補に入れられます。

値域を求める問いなら、得られた最小値以上、最大値以下と表します。最大値と最小値は、それぞれ実際に取る値です。途中の値も取れることは、置換後の二次式が区間上で途切れず変化することから確かめられます。ただし最大値だけを尋ねられた場合でも、どの端点が遠いかを比較した根拠を残すと、答えの抜けを防げます。

基本例題：軸が区間に入る場合

0≤x≤2のとき、y=4ˣ-6・2ˣ+5の最大値と最小値、およびそれぞれを取るxを求めてください。値は整数、xは整数または対数で表します。

底2は正で1より大きく、4ˣ=(2ˣ)²です。t=2ˣと置くと、xが0から2まで動く間、tは1から4まで増えます。したがって1≤t≤4です。式を平方完成します。

y = t²-6t+5
  = (t-3)²-9+5
  = (t-3)²-4

軸はt=3で、1≤3≤4なので区間内にあります。下に凸ですから最小値は-4です。t=3に対応するxは、底2の対数を使ってx=log₂3です。底2は正で1でなく、真数3は正なのでこの表記は定義されています。1<3<4より、このxは指定された区間内です。

最大値は軸から遠い端点で取ります。図2のように、t=1は軸から2、t=4は軸から1離れています。代入すると、t=1でy=0、t=4でy=-3です。よって最大値は0、そのときx=0です。

もとの式でも確かめます。x=0なら4⁰-6・2⁰+5=0です。x=log₂3なら2ˣ=3、4ˣ=9なので9-18+5=-4です。区間内の点を二次式の距離で比較したので、端点や頂点以外にもっと大きい値や小さい値はありません。

標準例題：減少する底と区間外の軸

-1≤x≤1のとき、y=(1/4)ˣ-5・(1/2)ˣ+8の最大値と最小値、およびそのときのxを分数または整数で求めてください。

底1/2は正で1より小さく、(1/4)ˣ=((1/2)ˣ)²です。t=(1/2)ˣと置くと、x=-1でt=2、x=1でt=1/2です。減少するので、1/2≤t≤2となります。端点の順を逆にしても、等号は消えません。

y = t²-5t+8
  = (t-5/2)²-25/4+8
  = (t-5/2)²+7/4

軸t=5/2は区間の右外にあります。区間内ではtが大きいほど軸に近くなるため、最小はt=2、最大はt=1/2です。端点に代入して値を求めます。

t=2のとき y = 4-10+8 = 2
t=1/2のとき y = 1/4-5/2+8 = 23/4

したがって、最小値は2でx=-1、最大値は23/4でx=1です。もとの式に戻すと、x=-1では4-5・2+8=2、x=1では1/4-5/2+8=23/4です。頂点の値7/4は二次式全体の最小値ですが、対応するt=5/2は指定区間にないため採用できません。

別の見方として、端点から軸までの距離はそれぞれ1/2と2です。距離の二乗に正の数を掛けて同じ定数を足すので、遠い方が大きいと判定できます。底の増減による端点の対応と、二次式の増減による値の比較は別々の手順です。

発展例題：両端で同じ最大値を取る

0≤x≤2のとき、y=9ˣ-10・3ˣ+7の最大値と最小値、それぞれを取るxを求めてください。値は整数、xは整数または対数で表します。

底3は正で1より大きく、t=3ˣと置くと1≤t≤9です。9ˣ=t²を使い、平方完成します。

y = t²-10t+7
  = (t-5)²-25+7
  = (t-5)²-18

軸t=5は区間内なので、最小値は-18で、3ˣ=5を満たすx=log₃5で取ります。底3は正で1でなく、真数5は正です。1<5<9より、対応するxは確かに0と2の間です。

最大値については、軸から両端までの距離がともに4です。よって両端の値は等しく、最大値は16-18=-2です。t=1はx=0、t=9はx=2に対応します。最大となるxは0と2の両方です。

もとの式でx=0なら1-10+7=-2、x=2なら81-90+7=-2です。またx=log₃5なら9ˣ=25なので25-50+7=-18です。2つの端点を比べず、片方だけ書くと値が合っていても、そのときのxが不足します。

誤答から区間を取り戻す

標準例題で「t>0だからt=5/2を取れ、最小値は7/4」と答えると誤りです。原因は、置換後に正という条件だけを残し、もとのxの閉区間を落としたことです。t>0は必要ですが、それだけでは1/2≤t≤2という条件を表し切れません。

図3のように、軸は許された区間の外にあります。修正するときは、x=-1とx=1のそれぞれからtを求め、底が1未満なので小さい方を左に置きます。そのうえで、軸に最も近いt=2を選び、x=-1に戻します。

もう一つの誤りは、軸が区間内にあるとき、頂点の値を無条件に最小値とすることです。上に凸なら頂点は最大値です。例えばy=-(t-p)²+qでは、二乗が0以上なのでy≤qです。最小値は軸から遠い端点で取り、等距離なら両端を答えます。

端点の値が等しいとき、平方完成の計算が間違っているとは限りません。軸からの距離を描き、対称な位置にあるかを調べてください。またtの値をxと誤記しないよう、最後に対応する指数の式を1行書きます。

区間の向きを取り違えた場合も、端点を元に戻して点検できます。標準例題でx=-1に対しt=1/2と書いたなら、(1/2)の-1乗は2なので対応が逆です。まず両端をそれぞれ代入し、次に数の大小で並べると、式の増減を記憶だけに頼らず確認できます。軸の左右に区間がまたがる場合は、左右の端点を代入するか、軸からの距離をそれぞれ計算します。片方を見ただけでは、どちらが遠いかは決まりません。

手を動かして試す5問

それぞれ最大値・最小値と、その値を取るxを求めてください。値は整数または分数、xは整数または対数で表します。

1. 0≤x≤2、y=4ˣ-4・2ˣ+1。
2. 0≤x≤2、y=-9ˣ+6・3ˣ+2。
3. 0≤x≤2、y=(1/4)ˣ-3・(1/2)ˣ+4。
4. 0≤x≤1、y=16ˣ-6・4ˣ+8。
5. 1≤x≤3、y=-4ˣ+10・2ˣ-7。

解答と考え方

1. t=2ˣとすると1≤t≤4です。y=t²-4t+1=(t-2)²-3なので、最小値は-3でt=2、つまりx=1です。軸からの距離はt=1で1、t=4で2なので最大値はt=4で1、x=2です。もとの式に戻すとx=1で4-8+1=-3、x=2で16-16+1=1です。

2. t=3ˣとすると1≤t≤9です。y=-t²+6t+2=-(t-3)²+11です。上に凸で軸は区間内なので最大値は11、t=3よりx=1です。軸から遠い端はt=9なので最小値は-25、x=2です。もとの式でもx=1で-9+18+2=11、x=2で-81+54+2=-25となります。

3. t=(1/2)ˣとすると、底が1未満なので1/4≤t≤1です。y=t²-3t+4=(t-3/2)²+7/4で、軸は区間の右外です。軸に近いt=1で最小値2を取り、x=0です。遠いt=1/4で最大値53/16を取り、x=2です。もとの式に代入して、x=0では1-3+4=2、x=2では1/16-3/4+4=53/16と確かめます。

4. t=4ˣとすると1≤t≤4です。y=t²-6t+8=(t-3)²-1ですから、最小値は-1、t=3よりx=log₄3です。底4は正で1でなく真数3は正、さらに1<3<4なのでxは区間内です。軸から遠いt=1で最大値3、x=0です。もとの式でx=0なら1-6+8=3、4ˣ=3なら16ˣ=9で9-18+8=-1です。

5. t=2ˣとすると2≤t≤8です。y=-t²+10t-7=-(t-5)²+18です。最大値は18でt=5、x=log₂5です。底2は正で1でなく真数5は正、2<5<8なのでxは区間内です。両端は軸からともに3離れるので最小値は9、x=1と3の両方です。もとの式ではx=1で-4+20-7=9、x=3で-64+80-7=9、2ˣ=5のとき-25+50-7=18です。

練習を振り返ると、2問目と5問目はともに上に凸ですが、最小を取る端点の数が異なります。端点の個数は放物線の向きだけでは決まらず、軸からの距離で決まります。3問目では、底が小さいことと放物線が下に凸であることを別々に使いました。この区別を自分の言葉で言い直してみてください。

覚えておくこと

置換したら、底の増減を使って閉区間を移します。 平方完成し、軸が区間の内か外かを見ます。 上に凸か下に凸かを確かめ、軸と端点を比較します。 値を取るtをもとのxに戻し、両端が同値なら両方答えます。

どこで止まったかを見分ける

計算が合わないときは、最初にxの両端とtの両端を矢印で結べるか確かめます。底が1未満のときに矢印が交差する理由を説明できれば、区間の順序を自分で直せます。次に、平方完成した式から軸までの距離を読み、上に凸か下に凸かによって最大と最小がどう入れ替わるかを言葉にします。

個別指導では、端点が等距離のときに2つのxを挙げられるか、そして元の式への代入が置換前の値と一致するかを確認します。置換区間と軸の位置がそろえば、指数関数の最大最小は根拠を持って決まります。