高校数学II 二曲線で囲む面積—交点と上下関係を式で確かめ差を積分する｜武蔵野個別指導塾

交点の個数と差の符号を調べ、放物線と直線や2つの放物線が囲む領域の面積へつなげます。交点から二曲線の面積を求めます。

よくあるのは、高校生が2つのグラフの上下を図の印象だけで選び、引き算の順序を決める場面です。概形は領域を見つける助けになりますが、縦の位置が近い曲線では、手描きの線の太さや縮尺で上下を取り違えることがあります。式の差を調べれば、図が多少ゆがんでいても積分する高さを決められます。交点を端にした縦の細い帯を思い浮かべ、どの値からどの値を引くかを確かめましょう。

どの条件から領域が決まるか

放物線と直線の問題では、まず両方の y の式を等しくして交点の x 座標を求めます。2つの値が得られたら、小さい方から大きい方までが囲まれた部分の左右の端です。2つの放物線でも、同じように差を作って交点を探せます。片方ずつ軸との交点を求めても、2つの曲線の交点が求まるとは限りません。

次に、交点の間でどちらの y が大きいかを決めます。差を因数分解し、その区間で各因数の符号を調べれば、上下の順序を説明できます。区間の中の1点を代入する方法も使えますが、その前に区間内で差が0にならないことを交点の計算から確かめます。多項式の差は連続なので、途中で0にならずに符号が変わることはありません。

2つの交点がないときは、2曲線だけで有限の領域が囲まれると決めてはいけません。接して交点が1つの場合も、接点の両側で曲線が離れていけば、2曲線だけでは領域が閉じません。別に直線や区間が指定されていれば、その境界を含めて考えます。ここでは放物線と直線、または2つの放物線で囲まれる領域を中心に扱います。

縦の長さを積分する

連続な2つの関数 y = f(x)、y = g(x) が a ≦ x ≦ b で f(x) ≧ g(x) を満たすとします。この区間で2曲線と両端の縦線に囲まれた部分の面積は、上の値から下の値を引いた長さを積分して

S = ∫[a→b] {f(x) - g(x)} dx

と表せます。両端で f(a) = g(a)、f(b) = g(b) なら、縦線の長さは0で、2曲線が交点を端として囲む面積です。区間の途中で上下が入れ替わる場合は、入れ替わる点で分け、それぞれ上から下を引いて足します。差の定積分をそのまま使ってよいのは、その区間で差が負にならないと確かめたときです。

図1のように、同じ x における縦の長さは f(x) − g(x) です。高さは横軸からの距離ではなく、2曲線の y 座標の差です。両方が横軸の下にあっても、数として大きい方が上です。

図1では左右の交点の間に帯を置いています。端点で帯の高さが0になり、途中では正になることが、交点と上下の確認に対応します。図を描くときも、まず交点の座標を計算し、その後で線を結ぶと位置の取り違えを減らせます。

基本例題：直線と放物線

問題：放物線 y = x² と直線 y = x + 2 で囲まれる部分の面積を分数で求めてください。

どちらも連続な関数です。交点では2つの y が等しいので、次のように解きます。

x² = x + 2
x² - x - 2 = 0
(x + 1)(x - 2) = 0
x = -1, 2

それぞれ元の式に戻すと、交点は (-1, 1)、(2, 4) です。差を直線から放物線の順に作ります。

(x + 2) - x² = -(x + 1)(x - 2)

-1 < x < 2 では x + 1 は正、x − 2 は負です。したがって差は正で、直線が上、放物線が下です。両端では差が0になり、この2曲線で閉じた領域が得られます。

図2のように、縦の帯の上端は直線、下端は放物線です。交点の高さが1と4で異なることにも注意してください。

図2の領域を左端から右端まで積分します。原始関数への代入では、下端全体を括弧に入れます。

S = ∫[-1→2] (x + 2 - x²) dx
  = [x²/2 + 2x - x³/3] の x = -1 から x = 2 までの差
  = (2 + 4 - 8/3) - (1/2 - 2 + 1/3)
  = 10/3 - (-7/6)
  = 9/2

答えは 9/2 です。たとえば x = 0 では直線の値が2、放物線の値が0で、帯の高さは2です。元の2式に戻しても上の式と下の式の順序が合います。面積が正であることも、計算後の確認になります。

標準例題：2つの放物線

問題：放物線 y = x² − 2x と放物線 y = -x² + 4x + 4 で囲まれる部分の面積を根号を含む正確な形で求めてください。

交点は式を等しくして求めます。両方とも多項式なので連続です。

x² - 2x = -x² + 4x + 4
2x² - 6x - 4 = 0
x² - 3x - 2 = 0
x = (3 - √17)/2, (3 + √17)/2

この問題では根号を含むため、答えも根号を含む正確な形で表します。左の交点を a、右の交点を b と置くと、a < 0 < b です。差は次のようになります。

(-x² + 4x + 4) - (x² - 2x) = -2(x² - 3x - 2)
                                  = -2(x - a)(x - b)

a < x < b では2つの因数の符号が異なるので、差は正です。よって後者の放物線が上にあります。中心を c = 3/2、半幅を d = √17/2 と置くと、差は 2{d² − (x − c)²} です。積分は式を展開して計算できます。

S = ∫[a→b] (-2x² + 6x + 4) dx
  = [-2x³/3 + 3x² + 4x] の x = a から x = b までの差
  = -(2/3)(b³ - a³) + 3(b² - a²) + 4(b - a)

ここで a + b = 3、ab = -2、b − a = √17 です。これらは求めた根を足し、掛け、引くことで確かめられます。

b² - a² = (b - a)(a + b)
          = 3√17
b³ - a³ = (b - a){(a + b)² - ab}
          = 11√17
S = -(22√17)/3 + 9√17 + 4√17
  = 17√17/3

答えは 17√17/3 です。交点では差の因数が0になり、x = 0 では上の式が4、下の式が0です。これで交点と上下を元の条件に戻せます。途中にある根号を小数へ丸める必要はありません。

発展例題：交点がある条件から調べる

問題：放物線 y = x² − 4x と直線 y = k が2点で交わり、その2曲線で囲まれる面積が 36 となる実数 k を求めてください。答えは整数で表します。

平方完成すると、放物線は y = (x − 2)² − 4 です。直線との交点の x 座標は次を満たします。

(x - 2)² = k + 4

k < -4 なら交点はなく、k = -4 なら接点が1つです。問題の2点で交わる条件は k > -4 です。この範囲で t = √(k + 4) と置けば t > 0、交点の x 座標は 2 − t、2 + t です。

直線から放物線を引いた差は t² − (x − 2)² です。交点の間では |x − 2| < t なので差は正です。したがって直線が上にあり、2つの交点が領域の端になります。

S = ∫[2-t→2+t] {t² - (x - 2)²} dx
  = ∫[2-t→2+t] (-x² + 4x + t² - 4) dx
  = [-x³/3 + 2x² + (t² - 4)x] の x = 2 - t から x = 2 + t までの差
  = 4t³/3

面積の条件を入れます。

4t³/3 = 36
t³ = 27
t = 3
k + 4 = 9
k = 5

t > 0 なので t = 3 が条件に合います。k = 5 を元に戻すと交点の x 座標は -1、5 で、確かに異なる2点です。中央の x = 2 では放物線が -4、直線が5なので高さは9、面積も 4・3³/3 = 36 です。答えは k = 5 です。

境界の k = -4 を含めると t = 0 で交点が重なり、面積は0です。2点で交わるという条件を式変形の前に書いておけば、この境界を答えに混ぜずに済みます。

引く順序を誤ったら

基本例題で、放物線の式から直線の式を引き、そのまま積分する誤答を考えます。

∫[-1→2] (x² - x - 2) dx = -9/2

定積分としては正しい値ですが、求めたい面積にはなりません。図3のように、交点の間では放物線が下、直線が上です。x = 0 に戻すと、0 − 2 = -2 となり、縦の長さとして負の数を使っていることに気づけます。

図3の縦線を下から上へ読むと、長さは 2 − 0 = 2 です。修正すると被積分関数は x + 2 − x² となり、面積は 9/2 です。計算の最後に負号を消すだけでは、途中で上下が入れ替わる別の問題に対応できません。差の符号と必要な区間分けを先に調べてから積分します。

交点の方程式が解けなかった場合も、すぐに端を想像で置いてはいけません。判別式や平方の形で実数解の個数を調べます。交点が2つなければ、2曲線だけで囲まれる部分が存在するかを先に判定します。積分区間が与えられている問題なら、その区間の端も境界になるため、条件を読み直します。

練習問題

面積は正確な分数または整数で答えてください。交点や上下関係も式で確認します。

1. y = x² と y = 4x で囲まれる部分の面積を求めてください。
2. y = x² + 1 と y = 2x + 4 で囲まれる部分の面積を求めてください。
3. y = x² と y = -2x² + 3x で囲まれる部分の面積を求めてください。
4. y = x² + 2 と y = -x² + 4 について、2曲線だけで領域が閉じるか判定し、閉じる場合の面積を既約分数で求めてください。
5. y = x² + 3 と y = 2x + 2 が2曲線だけで有限の部分を囲むか判定してください。交点の個数も答えてください。

練習の答えと解き方

1

x² = 4x
x(x - 4) = 0
x = 0, 4
4x - x² = x(4 - x)

0 < x < 4 では差が正なので直線が上です。交点で2式の値はそれぞれ0、16と一致します。

S = ∫[0→4] (4x - x²) dx
  = [2x² - x³/3] の x = 0 から x = 4 までの差
  = 32 - 64/3
  = 32/3

x = 2 で直線は8、放物線は4です。高さ4が正であり、面積 32/3 の立式と一致します。

2

x² + 1 = 2x + 4
x² - 2x - 3 = 0
(x + 1)(x - 3) = 0
x = -1, 3
(2x + 4) - (x² + 1) = -(x + 1)(x - 3)

交点の間で差が正なので直線が上です。端の y 座標は順に2、10となり、どちらの式でも一致します。

S = ∫[-1→3] (-x² + 2x + 3) dx
  = [-x³/3 + x² + 3x] の x = -1 から x = 3 までの差
  = 9 - (-5/3)
  = 32/3

x = 1 では上が6、下が2で、帯の高さは4です。計算した正の面積に対応します。

3

x² = -2x² + 3x
3x² - 3x = 0
3x(x - 1) = 0
x = 0, 1
(-2x² + 3x) - x² = 3x(1 - x)

交点の間で後者が上です。交点の y 座標は0と1で、両方の放物線に代入して一致します。

S = ∫[0→1] (3x - 3x²) dx
  = [3x²/2 - x³] の x = 0 から x = 1 までの差
  = 3/2 - 1
  = 1/2

x = 1/2 では上が1、下が1/4で、差は3/4です。上下の判断が元の式でも確かめられます。

4

x² + 2 = -x² + 4
2x² = 2
x² = 1
x = -1, 1
(-x² + 4) - (x² + 2) = 2(1 - x²)

交点の間で後者が上にあり、2曲線が領域を囲みます。交点の y 座標は両方とも3です。

S = ∫[-1→1] (2 - 2x²) dx
  = [2x - 2x³/3] の x = -1 から x = 1 までの差
  = 4/3 - (-4/3)
  = 8/3

x = 0 では上が4、下が2です。答えは 8/3 で、根号を使わず正確に表せます。

5

x² + 3 = 2x + 2
x² - 2x + 1 = 0
(x - 1)² = 0
x = 1

交点は (1, 4) の1点です。差は次の形です。

(x² + 3) - (2x + 2) = (x - 1)²

差は接点以外で正なので、放物線は直線の上にあります。接点の左右で2曲線は離れるため、2曲線だけで有限の部分は囲みません。x = 1 を元の両式へ戻すと、どちらも4です。重解を2つの異なる交点として扱わないことが判定の要点です。

手元に残す要点

交点は2つの y の式を等しくして求めます。
交点の間の差の符号で上下を決めます。
面積は上の式から下の式を引いて積分します。
交点が重なる場合は領域が閉じるか見直します。

式が止まったときの見分け方

交点を求めた後で手が止まるなら、区間の内側の x を1つ選び、2つの y の値を縦に並べてみましょう。その点での比較に加え、差が区間内で0にならないことを交点の個数から確認すれば、区間全体の上下へつなげられます。積分値が負なら、原始関数を計算し直す前に、引いた順序と下端の括弧を調べます。

個別指導で説明するときは、解答の面積だけでなく「この x で上はどちらか」「端で2つの値は一致するか」を式で示してみてください。接する場合には、交点の個数と接点の左右の差を言葉にします。交点、差の符号、積分区間がそろえば、図の印象に頼らず領域の面積を求められます。