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高校数学II 二つの円の共通弦—二式の差で直線を求め元の円との共有点に戻す｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学II 図形と方程式を掘り下げる

二円の差から得た直線を一方の円に代入し、共通弦の長さと、接して弦ができない境界まで区別する手順を追えます。

よくあるのは、高2が二つの円の式を引いて直線を出し、その直線上の点をすべて円の共有点と考えてしまう場面です。差が零になることは共有点に必要ですが、どちらの円の式も零にならない点も直線上にはあります。元の円に戻す一手で、2点を結ぶ共通弦と、接する場合や交点がない場合を区別できます。

どんな問いで差を取るか

1つ目は、二円の交点を通る直線の方程式を求める問いです。両方の式の二次の項をそろえて引くと一次式が残ります。ただし、その直線が実際に2つの円を横切るかどうかまで調べる必要があります。

2つ目は、交点の座標や共通弦の長さを求める問いです。差の式を一方の円に代入し、残った二次方程式を解きます。長さを求めるときは交点の座標を使う方法と、円の中心から直線への距離を使う方法があります。

3つ目は、文字を含む円について共有点の個数を判定する問いです。差の式が直線になっても、円とその直線が交わらないことがあります。接するときは共有点が1個で、長さが正の共通弦はありません。2点で交わるときに限り、2点を結ぶ線分を共通弦と呼びます。

差の式が示す候補

半径が正の二つの円の式を、それぞれ左辺を F、G として F = 0、G = 0 と書きます。共有点では F = 0 かつ G = 0 なので、F − G = 0 です。図1のように、2つの円が異なる中心を持つとき、二次の項が消えた差の式は中心を結ぶ線に垂直な直線を表します。

逆に、差の式 F − G = 0 だけからは F = G とわかるにとどまり、共通の値が零とは限りません。差の式と F = 0 を同時に満たす点なら、G = F − (F − G) = 0 です。したがって「差の式と一方の円」を連立することは、もとの二円を連立することと同値です。図1の直線のうち、両円周上にあるのは交点の2点です。

一般に円の中心を (a, b)、(c, d)、半径をそれぞれ r、s とすると、両方とも正として次の式を引けます。

F = (x - a)² + (y - b)² - r²
G = (x - c)² + (y - d)² - s²
F - G = 2(c - a)x + 2(d - b)y + a² + b² - c² - d² - r² + s²

中心が異なれば x、y の係数は同時に零ではないので、差の式は直線です。中心が一致する場合は注意が必要です。半径も等しければ二円は一致し、差は 0 = 0 で直線を定めません。半径が異なれば差は零でない定数となり、共有点はありません。いずれも通常の2点を結ぶ共通弦の直線を求める場面ではありません。

差の直線と一方の円の中心との距離を h、半径を r とします。h < r なら2交点、h = r なら1共有点、h > r なら共有点なしです。2交点のとき中心から直線に下ろした垂線の足は弦の中点です。直角三角形で弦の半分の長さは √(r² − h²)、弦の長さは 2√(r² − h²) です。この式には h < r を先に確かめてから入ります。

基本例題：差から交点へ戻す

円 C₁: x² + y² = 25 と円 C₂: (x − 6)² + y² = 25 の共通弦を含む直線、交点の座標、共通弦の長さを求めてください。座標と長さは整数で答えます。どちらも半径 5 の円で、中心は異なります。

図2のように、中心は (0, 0)、(6, 0) です。まず二つの左辺を零にそろえて引きます。

F = x² + y² - 25
G = (x - 6)² + y² - 25
G = x² + y² - 12x + 11
F - G = 12x - 36
12x - 36 = 0
x = 3

直線 x = 3 が候補です。この段階で直線全体を答えにできるのは、問われているものが弦を含む直線の場合です。実際に弦があるかは元の円へ代入して調べます。

3² + y² = 25
y² = 16
y = 4 または y = -4

共有点は (3, 4)、(3, -4) です。それぞれ C₁ に代入すると 9 + 16 = 25、C₂ に代入しても 9 + 16 = 25 です。縦の線分なので長さは 4 − (-4) = 8 です。中心から x = 3 までの距離も 3 で、2√(25 − 9) = 8 と一致します。

例えば直線上の (3, 0) は両方の左辺の値が等しいものの、どちらも 9 で 25 ではありません。式の差が零という条件と、円周上という条件が別であることをこの点で確かめられます。

標準例題：斜めの共通弦

円 C₁: x² + y² = 25 と円 C₂: (x − 4)² + (y − 2)² = 5 の交点と共通弦の長さを求めてください。座標と長さは整数または根号で表します。中心と半径はそれぞれ (0, 0)、5 と (4, 2)、√5 で、半径は正です。

F = x² + y² - 25
G = (x - 4)² + (y - 2)² - 5
G = x² + y² - 8x - 4y + 15
F - G = 8x + 4y - 40
8x + 4y - 40 = 0
2x + y = 10
y = 10 - 2x

この直線を C₁ に代入します。y の係数は零でないため、ここでは y を表して代入できます。

x² + (10 - 2x)² = 25
x² + 100 - 40x + 4x² = 25
5x² - 40x + 75 = 0
x² - 8x + 15 = 0
(x - 3)(x - 5) = 0
x = 3 または x = 5

x = 3 のとき y = 4、x = 5 のとき y = 0 です。交点は (3, 4)、(5, 0) です。C₁ ではそれぞれ 9 + 16 = 25、25 + 0 = 25 です。C₂ でもそれぞれ 1 + 4 = 5、1 + 4 = 5 となり、両方の円周上に戻ります。

長さ = √((5 - 3)² + (0 - 4)²)
長さ = √20
長さ = 2√5

中心 (0, 0) から 2x + y − 10 = 0 までの距離は 10/√5 = 2√5 です。半径 5 より小さいので2交点があり、長さも 2√(25 − 20) = 2√5 と検算できます。差の式が斜めでも、中心からの距離と弦の半分でできる直角三角形は同じです。

発展例題：接する境界を含めて分ける

実数 t に対し、円 C₁: x² + y² = 9 と円 C₂: (x − 4)² + y² = t² + 1 を考えます。共有点の個数を t の範囲で分け、2交点を持つ場合の共通弦の長さを t の式で求めてください。範囲は不等式、長さは根号を使って表します。C₂ の半径は √(t² + 1) で常に正です。

F = x² + y² - 9
G = (x - 4)² + y² - t² - 1
G = x² + y² - 8x + 15 - t²
F - G = 8x + t² - 24
8x + t² - 24 = 0
x = (24 - t²)/8

中心は異なるため、この式はどの t でも縦の直線です。C₁ の中心からこの直線までの距離は |24 − t²|/8 です。半径 3 と比べると、2交点の条件は次のようになります。

|24 - t²|/8 < 3
|24 - t²| < 24
-24 < 24 - t² < 24
0 < t² < 48

よって 0 < |t| < 4√3 で2個です。等号の場合は t² = 0 または 48 で、t = 0、または t = ±4√3 です。残る |t| > 4√3 では共有点がありません。t² は負にならないため、これで実数 t の場合を尽くします。

2交点のとき、弦の半分は C₁ の半径 3 と中心からの距離から求まります。

長さ = 2√(9 - ((24 - t²)/8)²)
長さ = √(576 - (24 - t²)²)/4
長さ = √(t²(48 - t²))/4

条件内では根号の中が正です。t = 0 では差の直線は x = 3 で、C₁ 上の点は (3, 0) だけです。この点を C₂ に戻すと (3 − 4)² = 1 で一致します。t² = 48 では直線は x = -3、共有点は (-3, 0) で、C₂ に戻すと (-3 − 4)² = 49 = 48 + 1 です。どちらも1点で接し、長さが正の弦ではありません。

例えば t² > 48 なら差の直線は x < -3 にあり、C₁ のどの点もその直線上にありません。差の式が立派な直線でも、共有点が存在する保証にはならないことが見えます。半径の和や差との比較も可能ですが、この方法は得られた直線と一方の円の関係だけで境界を調べられます。

誤答を点で検査する

「x² + y² = 4 と (x − 6)² + y² = 4 の式の差から x = 3。したがって共有点は直線 x = 3 上の全点」という答えを考えます。差の計算自体は正しいのですが、結論が誤りです。図3のように2つの半径は 2、中心間の距離は 6 で、差の直線はどちらの円にも届きません。

元の円に戻すと失敗の理由が式でも見えます。

3² + y² = 4
y² = -5

実数 y の二乗は負にならないため、共有点はありません。修正した答えは「差の式は x = 3 だが、共有点はない」です。2点が存在しないので共通弦もありません。仮に y² = 0 なら1点で接し、y² が正なら2点になります。計算が途中で止まったときは、差の直線を元の円に代入する行まで戻ると、存在しない交点を答える失敗を防げます。

自分で解く5問

次の各問では、円の半径は正です。交点の座標には必要に応じて根号を残し、弦の長さは整数または根号を使い、文字の範囲は不等式で答えてください。

x² + y² = 16 と (x − 4)² + y² = 16 の共通弦を含む直線、交点、弦の長さを求めてください。
x² + y² = 10 と (x − 2)² + (y − 2)² = 10 の交点と共通弦の長さを求めてください。
x² + y² = 4 と (x − 5)² + y² = 9 の共有点の個数と座標を求めてください。
x² + y² = 1 と (x − 5)² + y² = 4 について、差の式と共有点の個数を求めてください。
実数 k に対し x² + y² = 4 と (x − 3)² + y² = k² + 1 が2点で交わる k の範囲を求めてください。

5問の解答

1

差を取ると次のとおりです。

(x - 4)² + y² - (x² + y²) = 0
-8x + 16 = 0
x = 2
2² + y² = 16
y² = 12
y = ±2√3

共通弦を含む直線は x = 2、交点は (2, 2√3)、(2, -2√3)、長さは 4√3 です。各点で両方の左辺は 4 + 12 = 16 です。2つの縦座標の差が正の長さ 4√3 に戻ります。

2

両辺が等しいことから差を取って一方に戻します。

(x - 2)² + (y - 2)² - x² - y² = 0
-4x - 4y + 8 = 0
y = 2 - x
x² + (2 - x)² = 10
2x² - 4x - 6 = 0
x² - 2x - 3 = 0
(x - 3)(x + 1) = 0
x = 3 または x = -1

交点は (3, -1)、(-1, 3) です。どちらも最初の円では二乗の和が 10、次の円でも二乗の和が 10 です。座標差は 4 と -4 なので、弦の長さは √(16 + 16) = 4√2 です。

3

(x - 5)² + y² - (x² + y²) = 9 - 4
-10x + 25 = 5
x = 2
2² + y² = 4
y² = 0
y = 0

共有点は1個で (2, 0) です。元の円で 2² = 4、もう一方で (2 − 5)² = 9 となり、点は両円に属します。重なった2つの異なる交点として数えず、接する1点と数えます。

4

(x - 5)² + y² - (x² + y²) = 4 - 1
-10x + 25 = 3
x = 11/5
(11/5)² + y² = 1
y² = -96/25

差の式は x = 11/5、共有点は0個です。半径の和は 1 + 2 = 3、中心間距離は 5 なので、円が離れていることとも一致します。直線が得られても、実数の交点があるかを別に調べます。

5

(x - 3)² + y² - (x² + y²) = k² + 1 - 4
-6x + 9 = k² - 3
x = (12 - k²)/6

原点からこの直線までの距離が半径 2 より小さいことが必要十分です。

|12 - k²|/6 < 2
|12 - k²| < 12
-12 < 12 - k² < 12
0 < k² < 24
0 < |k| < 2√6

答えは 0 < |k| < 2√6 です。端の k = 0 では x = 2 で (2, 0) が両円上、k² = 24 では x = -2 で (-2, 0) が両円上です。それぞれ1点のため範囲に含めません。さらに |k| が 2√6 より大きいと直線が x < -2 に移り、最初の円との共有点はありません。