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高校数学II 内分点の座標—線分の比と重みの対応を図から確かめて式を作る｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学II 図形と方程式を掘り下げる

線分の比と座標の係数を対応させ、比の逆算や端点を入れ替える場合も図と計算でたどります。鍵は内分点です。

よくあるのは、高2が内分点に近い端点の係数を、線分の比の順番のまま小さくしてしまう場面です。例えば左から A、P、B と並び、AP が PB より短いなら、P は A に近い点です。その座標は A の座標に近くなるはずですが、式の係数を取り違えると B の近くに移ってしまいます。比は線分の長さを表し、係数は端点の座標を混ぜる重みです。対応を図と式の両方から追いましょう。

内分の問題で何を求めるか

最初の型は、2点と比から内分点を求めるものです。比の左右と端点を対応させ、横座標と縦座標を別々に計算します。負の座標があっても長さの比は正なので、座標の符号を比に混ぜないことが出発点です。

次の型は、内分点から比を逆算するものです。座標の差から線分全体のうちどれだけ進んだかを求め、その割合を AP と PB の比に戻します。どちらか一方の座標が両端で等しい場合、その座標では進み具合を決められません。異なるもう一方を使い、最後に両方の座標を点検します。

もう1つは、未知の端点や文字を求める型です。座標の式を連立して候補を出し、その点が指定された線分の内部にあり、比が正しいかを元の条件に戻して調べます。式が解けても、2点が一致したり、2つの座標が同じ割合を示さなかったりする場合は条件を満たしません。外分はここでは扱いません。

長さの比から重みを作る

異なる2点 A、B を結ぶ線分の内部に P があり、AP:PB = m:n とします。m、n は正です。したがって m + n も正で、次の式の分母は零になりません。A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂) とすると、P の座標は

x = (nx₁ + mx₂)/(m + n)
y = (ny₁ + my₂)/(m + n)

です。A の係数は n、B の係数は m です。図1のように、A に付く重みは反対側の PB に対応します。P が A の近くなら PB が長く、A の重みが大きくなります。

この対応は暗記だけでなく、移動の割合から導けます。P は A から B への道のり全体の m/(m + n) だけ進んだ位置にあります。横座標の変化も同じ割合なので、次のように整理できます。縦座標も同様です。

x = x₁ + m(x₂ - x₁)/(m + n)
  = ((m + n)x₁ + mx₂ - mx₁)/(m + n)
  = (nx₁ + mx₂)/(m + n)

この導出は B が A より左にある場合や、両点の横座標が等しい場合にも使えます。差 x₂ − x₁ の符号が移動方向を表すからです。縦方向にも同じ割合で移動するので、縦の線分でも式は成立します。2点が一致すると線分の長さが零となり、正の長さの比を使った内分点は定まりません。

順序を逆にして B から見れば、BP:PA = n:m です。端点と比の両方を入れ替えれば同じ点になります。端点だけ、あるいは比だけを入れ替えると別の点になり得るので、式を書く前に A、P、B の順に比を書き添えます。m = n なら両方の重みが同じになり、各座標の平均である中点になります。

基本例題：座標を比で配分する

異なる2点 A(1, 2)、B(9, 6) について、線分 AB を AP:PB = 1:3 に内分する点 P の座標を求めてください。答えは座標で示します。

比は正で、両端は異なります。図2のように P は A から B へ全体の 1/4 進んだ点です。A の座標に 3、B の座標に 1 を掛けます。

x = (3・1 + 1・9)/(1 + 3)
  = 12/4
  = 3
y = (3・2 + 1・6)/(1 + 3)
  = 12/4
  = 3

よって P(3, 3) です。確認として、A から P への横と縦の変化はそれぞれ 2、1、P から B への変化は 6、3 です。後者は前者の3倍なので、2つの部分の長さも 1:3 です。P は A と B の間にあり、A の近くという図の見通しにも合います。

別の計算では A からの変化を使えます。B までの横の差は 8、縦の差は 4 です。その 1/4 を A に加えても (1 + 2, 2 + 1) = (3, 3) となります。係数の位置が不安なときは、こちらから独立に計算して照らせます。

標準例題：座標から比を逆算する

A(-4, 1)、B(6, 11) の線分上に P(-1, 4) があります。AP:PB を最も簡単な整数の比で求めてください。

A と B は異なります。横座標は -4 から 6 まで 10 増え、A から P までは 3 増えます。したがって P は A から全体の 3/10 進んだ位置です。残りは 7/10 です。

AP/AB = (-1 - (-4))/(6 - (-4))
      = 3/10
PB/AB = 1 - 3/10
      = 7/10
AP:PB = 3:7

縦座標でも、全体の差は 10、A から P への差は 3 なので同じ割合です。実際に 3:7 の内分公式へ戻すと、横座標は (7・(-4) + 3・6)/10 = -1、縦座標は (7・1 + 3・11)/10 = 4 です。指定された P を再現でき、割合が 0 と 1 の間なので線分の内部にあります。

もし横の差から出た割合と縦の差から出た割合が違うなら、その点は2点を結ぶ直線上にありません。片方の座標だけで計算を終えず、もう一方へ戻す理由はここにあります。また、割合が 0 以下または 1 以上なら、内部の点という条件を満たしません。端点自体も正の比による内分点から除きます。

発展例題：未知の端点と比の条件

A(2, -1)、B(a, b) は異なり、P(5, 3) は AB を AP:PB = 2:3 に内分します。B の座標を求めてください。答えは座標で示します。

比の合計は 5 で正です。P の各座標に内分公式を適用し、未知数をそれぞれ解きます。

5 = (3・2 + 2a)/5
25 = 6 + 2a
2a = 19
a = 19/2
3 = (3・(-1) + 2b)/5
15 = -3 + 2b
2b = 18
b = 9

したがって B(19/2, 9) です。得た点は A と異なります。A から P への変化は (3, 4)、P から B への変化は (9/2, 6) です。後者は前者の 3/2 倍で、両方とも同じ向きです。よって P は線分の内部にあり、長さの比は 2:3 です。未知の端点を求めた後には、このように図形の条件まで戻します。

逆に P が与えられず、ある比で計算した2つの座標が食い違う問題もあります。そのとき片方の座標だけに合わせて比を決めることはできません。移動の割合を t と置くなら、0 < t < 1 と、横・縦の両方が同じ t で表せることを同時に使います。分母として端点間の座標差を使う場合は、先にその差が零でないことを確かめます。

係数を逆に置いた答えを直す

基本例題で、誤って x = (1・1 + 3・9)/4 = 7、y = (1・2 + 3・6)/4 = 5 とすると、点は (7, 5) になります。計算そのものは合っていますが、図3のようにこの点は B に近く、求める 1:3 の位置と反対です。

誤りの理由は、AP に対応する 1 を A の重みとしてしまったことです。(7, 5) では A からの変化が (6, 3)、B までの変化が (2, 1) なので、比は 3:1 です。比が逆になっていることを元の長さからも確認できます。

修正するときは、まず図に A、P、B の順と 1:3 を書きます。次に A の反対側の長さ 3 を A に、B の反対側の長さ 1 を B に掛けます。分母は比の合計 4 です。直した点 (3, 3) についても、比と内部にあることを確認して初めて答えにします。中点では係数を入れ替えても結果が変わらないため、係数の誤りを見つけにくい点にも注意が必要です。

自分で解く5問

いずれも答えは座標または最も簡単な整数の比で示してください。点は特に断らない限り相異なります。

A(-3, 4)、B(7, -6) を結ぶ線分を AP:PB = 2:3 に内分する P の座標を求めてください。
A(4, -5)、B(4, 7) の線分上に P(4, -2) があります。AP:PB を求めてください。
A(-2, 3)、B(8, -2) を BP:PA = 4:1 に内分する P の座標を求めてください。
A(1, 2)、B(11, 7) に対し Q(7, 6) は線分 AB を正の比で内分する点でしょうか。理由を示し、内分するなら比を求めてください。
A(-1, 2)、B(a, b) について、P(3, -1) が AP:PB = 4:1 に内分します。B の座標を求めてください。

5問の解答と戻し方

1. 両方の符号を残す

A の重みは 3、B の重みは 2 です。分母は 5 なので、

x = (3・(-3) + 2・7)/5
  = 5/5
  = 1
y = (3・4 + 2・(-6))/5
  = 0/5
  = 0

答えは P(1, 0) です。A から P への変化 (4, -4) に対し、P から B への変化 (6, -6) は 3/2 倍です。同方向で長さの比が 2:3 となり、内部の点であることも確認できます。

2. 差が零でない座標を選ぶ

横座標は両端とも 4 なので、その差では割れません。縦座標で見ると、全体の差は 12、A から P までは 3 です。

AP/AB = (-2 - (-5))/(7 - (-5))
      = 3/12
      = 1/4
PB/AB = 1 - 1/4
      = 3/4
AP:PB = 1:3

答えは 1:3 です。縦方向の長さは AP = 3、PB = 9 であり、元の点に戻しても比は 1:3 です。横座標はどの点でも 4 のままです。

3. 比の順番を直す

与えられたのは B からの順です。AP:PB = 1:4 と直してから式を作ります。

x = (4・(-2) + 1・8)/5
  = 0
y = (4・3 + 1・(-2))/5
  = 10/5
  = 2

答えは P(0, 2) です。A からの変化 (2, -1) に対し、P から B への変化 (8, -4) は4倍です。したがって AP:PB = 1:4、指定された順では BP:PA = 4:1 です。

4. 両方の割合を照合する

横座標からは A からの割合が (7 − 1)/(11 − 1) = 3/5 です。一方、縦座標からは (6 − 2)/(7 − 2) = 4/5 です。割合が一致しないので Q は直線 AB 上にありません。

答えは内分しない、です。横の割合 3/5 に合わせる点を作ると縦座標は 2 + 3・5/5 = 5 となり、指定の 6 には戻りません。片方が内部の割合でも、もう一方の一致が必要です。

5. 端点を逆向きに求める

A の重みが 1、B の重みが 4 です。比の和 5 は零ではありません。

3 = (-1 + 4a)/5
15 = -1 + 4a
4a = 16
a = 4
-1 = (2 + 4b)/5
-5 = 2 + 4b
4b = -7
b = -7/4

答えは B(4, -7/4) です。A から P への変化は (4, -3)、P から B への変化は (1, -3/4) です。後者は前者の 1/4 倍なので、同方向に並び、長さの比は 4:1 です。B は A と異なり、元の条件に戻せます。

割合を使うときの点検

比を逆算するときは、座標の差を取る順番にも意味があります。分子を P の座標から A の座標を引いた値にしたなら、分母は B の座標から A の座標を引いた値にそろえます。両端の大小が逆でも、分子と分母はともに負になり、内部の点なら割合は正です。分子だけ順番を変えると、線分の内部にある点でも負の割合になってしまいます。

また、計算結果が 1/3 という割合なら、それは AP:AB です。残りの PB:AB は 2/3 なので、求める AP:PB は 1:2 です。割合の分母をそのまま比の後ろに置くと、全体と残りを混同します。図に全体を3等分して P の位置を記すと、この違いを確認できます。逆に比から割合を作るときも、前側の長さを比の合計で割ります。