高校数学II 相加相乗平均—非負の条件と等号が実現する条件をそろえる｜武蔵野個別指導塾

相加相乗平均を使う前に非負性を確かめ、等号を満たす値まで例題で点検します。

よくあるのは、高2の高校生が、積が正なら2つの数が負でも相加相乗平均の不等式をそのまま使えると考える場面です。積の平方根は計算できても、和が負なら左辺と右辺の大小は逆になります。式を見たら、まず何を2つの数とみなすかを書き出し、それぞれの符号を確かめましょう。続いて等号が成立する条件を元の文字に戻すと、得られた境界が実際に使えるかまで判断できます。扱う道具は2数の相加平均と相乗平均、不等式の証明、等号条件です。

問いはどこで分かれるか

1つ目は、不等式をそのまま証明する問いです。2つの非負の数の和と積が見えているとき、和の半分が積の平方根以上であることを使います。その前に、問題の仮定から2つの数がともに0以上だと説明できるかを見ます。文字が実数とだけ書かれている場合は、符号が決まらないので適用を急げません。

2つ目は、2つの数が等しくなるときを探す問いです。たとえば和が決まっているとき、相乗平均の側を上から押さえることで、積の上限が得られます。単に不等号を書くだけでなく、2つの数が等しい場合が元の条件に含まれるかも調べます。含まれなければ、その上限は実際の値とは限りません。

3つ目は、非負になる範囲を自分で取り出す問いです。x + 2 と 3 − x のような2つの式は、x の範囲によって符号が変わります。それぞれが0以上となる条件を別々に解き、共通部分で不等式を使います。片方が0となる端の値を含むかどうかにも注意します。

公式が使える場所と等号の意味

実数 a、b がともに非負、すなわち a ≧ 0、b ≧ 0 のとき、相加平均は (a + b)/2、相乗平均は √(ab) です。平方根の記号 √ は、0以上の平方根を表します。この2つについて次の不等式が成り立ちます。

(a + b)/2 ≧ √(ab)
等号成立は a = b のとき

条件の「ともに非負」は a = 0 や b = 0 を認めます。両方が0なら等号が成り立ち、一方が0で他方が正なら左辺が正、右辺は0なので等号は成り立ちません。ともに正という条件でも使えますが、0を許す問題で勝手に正と限定すると、端の値を見落とします。

図1のように、適用できるかの判定と、等号が実現するかの判定は別の段階です。式を代入する前に2つの数を明示すると、どちらの条件を確かめているかが見えます。

図1の最初の条件は積が非負であることだけではありません。a = -1、b = -9 なら ab = 9 ですが、(a + b)/2 = -5、√(ab) = 3 です。-5 ≧ 3 は成り立たないので、両方が負の場合に公式を使うことはできません。片方が負でもう片方が正なら積は負で、実数の範囲では √(ab) を定義できません。

なぜ公式が成り立つのかも確認します。a、b がともに非負なら √a、√b は実数であり、その差の2乗は0以上です。

(√a - √b)² ≧ 0
a - 2√(ab) + b ≧ 0
a + b ≧ 2√(ab)
(a + b)/2 ≧ √(ab)

最初の2乗が0になるのは √a = √b のときで、非負の a、b についてこれは a = b と同じです。したがって公式と等号条件の両方が、仮定から導かれます。非負条件は平方根を実数として扱うために必要であり、証明の途中から突然現れる飾りではありません。

不等式で得られるのは、まず値の範囲です。ある数以上と示しても、その数に等しい値をとれるとは限りません。たとえば u > 0、v > 0、u + v = 6 でさらに u ≠ v とすると、公式から uv ≦ 9 ですが、等号には u = v = 3 が必要で、追加条件に反します。ここでは uv < 9 であり、9はとれません。元の条件を最後に見直す理由はここにあります。

符号の分岐と平方根の扱い

2数の符号を調べるときは、積だけでなく各数の欄を作ると整理できます。両方が非負なら公式を使えます。一方が0で他方が非負の場合も含みます。両方が負なら積は正ですが、相加平均は負、相乗平均は正なので、公式の向きは成立しません。符号が異なれば積は負ですから、実数としての相乗平均をこの形では考えられません。

平方根を含む計算では、√(a²) = a を無条件に使わないことも大切です。実数 a について √(a²) は |a| です。たとえば a が負なら √(a²) = -a になります。公式の証明では a、b を非負と定めてから平方根を取り、その性質を使っています。符号の確認を先に置くと、この違いが見えやすくなります。

等号は計算の途中で生じた条件を、最後まで運ぶ必要があります。2つの不等式を続けて使う場合、初めの式と次の式の両方で等号が成立しなければ、始点と終点は等しくなりません。それぞれの等号条件を並べ、同じ文字の値で同時に満たせるかを調べます。別々に満たせるだけでは不十分です。

等号が範囲から外れる場合

u > 0 で u ≠ 2 のとき、u + 4/u を考えます。2項は正で積が4なので、公式から u + 4/u ≧ 4 が得られます。等号には u = 4/u が必要で、u > 0 より u = 2 です。しかし u ≠ 2 という元の条件に反します。したがって、この範囲では u + 4/u > 4 です。

4以上という不等式も正しい一方、4を実際にとると書くことは誤りです。どこで誤ったかを見ると、公式そのものではなく、等号が可能だと決めた部分にあります。条件を追加したときは、もとの不等式が残るかと、等号が残るかを分けて調べてください。

範囲が端を含むかどうかも同様に重要です。たとえば 0 ≦ r ≦ 4 なら r と 4 − r はともに非負で、端の r = 0、4 も使えます。0 < r < 4 なら端は除かれますが、2項が等しい r = 2 は範囲内に残ります。端の扱いと等号の場所は別々に検査するので、閉じた範囲か開いた範囲かだけで結論を決めません。

基本例題：式の各項を非負の数として見る

問題：x > -1 のとき、式 x + 1 + 9/(x + 1) は 6 以上であることを証明し、等号が成立する x を求めてください。答えは実数で示します。

x > -1 より x + 1 > 0 です。分母が0ではなく、9/(x + 1) も正になります。したがって、図2の2つの数に相加相乗平均の不等式を適用できます。

図2の左右の項の積は 9 です。この積が正であることに加え、左右の各項が正であることを確認してから、次のように計算します。

(x + 1 + 9/(x + 1))/2 ≧ √((x + 1)・9/(x + 1))
(x + 1 + 9/(x + 1))/2 ≧ √9
(x + 1 + 9/(x + 1))/2 ≧ 3
x + 1 + 9/(x + 1) ≧ 6

等号の条件は、選んだ2つの数が等しいことです。x + 1 は正なので、以下の両辺に x + 1 を掛けられます。

x + 1 = 9/(x + 1)
(x + 1)² = 9
x + 1 = 3
x = 2

(x + 1)² = 9 から x + 1 = -3 も形式的には得られますが、x + 1 > 0 に反するため除きます。x = 2 は x > -1 に含まれ、元の式に戻すと 3 + 9/3 = 6 です。よって証明した境界で等号が実現します。

ここで x = -1 を試すことはできません。分母が0になり、元の式が定義されないからです。また x < -1 では2つの項がともに負となり、この形の公式は適用できません。どの x でも同じ変形をするのではなく、問題が与えた範囲を利用して適用を判断します。

標準例題：平行な条件を2つの数に移す

問題：a ≧ 0、b ≧ 0、a + b = 8 のとき、(a + 3)(b + 3) ≦ 49 を証明し、等号が成立する a、b を求めてください。

a + 3 ≧ 3 > 0、b + 3 ≧ 3 > 0 です。2つの数の和は、与えられた a + b を用いて次のように一定になります。

(a + 3) + (b + 3) = a + b + 6
(a + 3) + (b + 3) = 14

正の2数 a + 3、b + 3 に相加相乗平均の不等式を適用します。左辺が一定なので、積の平方根を上から押さえられます。

((a + 3) + (b + 3))/2 ≧ √((a + 3)(b + 3))
7 ≧ √((a + 3)(b + 3))
49 ≧ (a + 3)(b + 3)

等号のためには a + 3 = b + 3、つまり a = b が必要です。これと a + b = 8 を合わせると a = b = 4 で、非負条件も満たします。元の積は 7・7 = 49 なので、49が実現します。

計算の途中で (a + 3) + (b + 3) を 10 と取り違えると、上限を25と誤って求めてしまいます。a = b = 4 は元の仮定を満たし、積は49ですから、25が上限という主張は成り立ちません。等号候補を元の条件と式に戻すと、定数を足し落とした誤りも見つけられます。

見通しを変えると、(a + 3)(b + 3) = ab + 3(a + b) + 9 = ab + 33 です。a、b に直接公式を適用すれば ab ≦ 16 と出るので、同じ49に到達します。どちらも正しい方法ですが、加えた定数を和に2回数える点を落とすと、異なる上限を作ってしまいます。反例を元の仮定に戻し、主張自体を検査することが修正の出発点です。

発展例題：2つの式が同時に非負となる範囲

問題：-2 ≦ x ≦ 3 のとき、(x + 2)(3 − x) ≦ 25/4 を証明し、等号が成立する x を分数で求めてください。

はじめに不等式の適用条件を別々に確かめます。x ≧ -2 から x + 2 ≧ 0、x ≦ 3 から 3 − x ≧ 0 です。したがって2項は、ともに非負です。端の x = -2 と x = 3 でも、それぞれ一方の項が0となるだけなので公式を使えます。

2つの項の和は、x を消して一定になります。

(x + 2) + (3 - x) = 5
((x + 2) + (3 - x))/2 ≧ √((x + 2)(3 - x))
5/2 ≧ √((x + 2)(3 - x))
25/4 ≧ (x + 2)(3 - x)

最後に両辺を2乗してよいのは、5/2 と平方根がともに非負だからです。負の数を含む大小関係を、条件なしに2乗してはいけません。

等号条件は x + 2 = 3 − x です。これを解いて元の範囲へ戻します。

x + 2 = 3 - x
2x = 1
x = 1/2

1/2 は -2 以上 3 以下で、両方の項は 5/2 になります。元の積は (5/2)・(5/2) = 25/4 です。したがって、上から押さえた値に等しくなる x が確かにあります。

別の検算として積を展開し、平方を完成すると、(x + 2)(3 − x) = -(x − 1/2)² + 25/4 です。2乗は0以上なので同じ上限が得られ、2乗が0の x も一致します。この別の見方では、範囲外の実数 x に対しても式自体の上限は成立します。ただし相加相乗平均を使う証明は、2項が非負である範囲で行っている点を区別してください。

どの2項を選ぶと条件を使いやすいか

相加相乗平均は、和と積を結びつける道具です。したがって問題の条件が和を決めているか、積を決めているかを見てから2項を選びます。標準例題では a + 3 と b + 3 の和が14で一定なので、積を上から押さえる式が直接得られます。基本例題では2項の積が9で一定なので、和を下から押さえる式が得られます。

選び方を変えると、式の見通しも変わります。たとえば標準例題の積を展開し、a と b に公式を使うなら ab の上限を先に求めます。加えた定数の部分は a + b = 8 に戻してから整理します。どちらの方法でも仮定と等号条件が同じ結論を許すかが判断の基準です。途中で非負でない項を選んだ場合は、そのまま公式を当てはめず、選ぶ項や証明方法を見直します。

発展例題では、2項の和が一定でも x の範囲を確認しなければ公式を適用できません。たとえば x = 4 なら x + 2 は正で、3 − x は負です。和は5のままですが、2数の積は負になります。条件の一部が使えていても、適用に必要な条件がそろったとは限りません。

誤答を条件から直す

誤答：a = -4、b = -16 のとき、ab = 64 だから (a + b)/2 ≧ √(ab) に代入して -10 ≧ 8 となる。

原因は、積が正であることと、それぞれが非負であることを混同した点です。実際には -10 < 8 で、導いた不等式は偽です。図3のように、積だけの確認を通過条件にせず、各数の符号まで調べます。

図3の値は元の2数に戻して確かめられます。-4 と -16 は両方とも負なので、公式の仮定を満たしません。仮定を満たさないときは「公式で大小を決める」ことを止め、値を直接計算するか、必要に応じて別の方法を選びます。

もう1つの誤りは、非負の確認を済ませた後、等号条件を調べずに境界を到達可能と決めることです。2つの式が等しいという方程式を解き、元の範囲、分母が0でない条件、追加の条件に順番に戻します。条件に反するなら、その値に等号は成立しません。等号が成立しない理由を記すことで、不等式の証明と値の実現を分けて扱えます。

練習：条件の確認から始める5問

次の問題は、答えの前に2つの数の符号と等号条件を書いてから解いてください。問題中の数は計算のために設定したものです。

1. m ≧ 0、n ≧ 0、m + n = 12 のとき、mn ≦ 36 を証明し、等号となる m、n を整数で求めてください。
2. 2 ≦ y ≦ 18 のとき、(y − 2)(18 − y) ≦ 64 を証明し、等号となる y を整数で求めてください。
3. p ≧ 0、q ≧ 0、p + q = 14 のとき、p² + q² ≧ 98 を証明し、等号となる p、q を整数で求めてください。
4. c = -9、d = -4 について、(c + d)/2 と √(cd) をそれぞれ分数または整数で求め、相加相乗平均の不等式を適用できるか判断してください。
5. t ≧ 1 のとき、t + 8/t ≧ 4√2 を証明し、等号となる t を根号を用いて求めてください。

練習の答えと解き方

1. 和が一定の2数

m、n はともに非負なので、公式を使えます。

(m + n)/2 ≧ √(mn)
6 ≧ √(mn)
36 ≧ mn

等号条件は m = n です。m + n = 12 と合わせると m = n = 6 です。元の条件へ戻すと和は12、積は36で、非負条件も満たします。2乗の前に両辺が非負であることも確認できます。

2. 端を含む範囲

y ≧ 2 より y − 2 ≧ 0、y ≦ 18 より 18 − y ≧ 0 です。和は16ですから、2つの数に公式を使います。

((y - 2) + (18 - y))/2 ≧ √((y - 2)(18 - y))
8 ≧ √((y - 2)(18 - y))
64 ≧ (y - 2)(18 - y)

等号には y − 2 = 18 − y が必要です。2y = 20 より y = 10 となります。元の範囲に含まれ、2つの項はともに8で、積は64です。両端では積が0であり、64にはなりません。

3. 積の上限から2乗の和へ

p、q は非負で、和が14なので、相加相乗平均から次が成り立ちます。

(p + q)/2 ≧ √(pq)
7 ≧ √(pq)
49 ≧ pq

求める式は p² + q² = (p + q)² − 2pq です。pq ≦ 49 の両辺に負の数 -2 を掛けると不等号の向きが変わるため、次のようになります。

-2pq ≧ -98
p² + q² = 196 - 2pq
p² + q² ≧ 98

等号は p = q のときで、和が14だから p = q = 7 です。元の式は 7² + 7² = 98 で、和も14です。不等号の向きを変える箇所を明示すると、上限から下限へ移る理由を追えます。

4. 積の符号だけでは決められない

(c + d)/2 = (-9 - 4)/2 = -13/2
cd = (-9)・(-4) = 36
√(cd) = 6

2数はどちらも負であり、非負という仮定を満たしません。したがって公式は適用できません。直接比較しても -13/2 < 6 なので、公式と同じ向きの不等号は成立しません。積が正で平方根を計算できることと、公式の仮定が満たされることは別です。

5. 分母と等号を両方調べる

t ≧ 1 より t > 0、8/t > 0 です。2つの正の数 t、8/t の積は8です。

(t + 8/t)/2 ≧ √(t・8/t)
(t + 8/t)/2 ≧ √8
(t + 8/t)/2 ≧ 2√2
t + 8/t ≧ 4√2

等号条件は t = 8/t です。t > 0 を使って t² = 8、t = 2√2 と求まります。2√2 ≧ 1 であり、元の式に戻すと 2√2 + 8/(2√2) = 2√2 + 2√2 = 4√2 です。負の平方根は t ≧ 1 に反します。

覚えておくこと

• 相加相乗平均は、選んだ2数がともに非負のときに使います。
• 2数の積が非負というだけでは、各数が非負とは限りません。
• 等号の条件は2数が等しいことで、元の条件への代入も必要です。
• 境界を示した後、等号を実現できるかを別に確かめます。

つまずきの見分け方

式に不等号を書けても、選んだ2数を言葉にできないときは、各項の下に「1つ目」「2つ目」と書き、何が非負なのか確認します。分母がある場合は、先に0にならない範囲を示し、その範囲で分数全体の符号を決めます。積が正という返答だけなら、両方が負の例を挙げて適用条件との違いを点検できます。

個別指導では、解答の最後に「等号となる文字の値は、問題の条件に戻して許されますか」と尋ね、候補を元の式へ代入するところまで見ます。上限や下限が出ても、等号が認められない場合はその事実を言葉で残します。非負の確認と等号の実現をそろえると、不等式が示す範囲を正しく読めます。