高校数学II 相加相乗平均の最小値—積が一定となる分け方と達成する値を探す｜武蔵野個別指導塾

積が一定になる2項の選び方と定義域の端を比べ、値を下から押さえる評価と最小値の違いを見分けられます。

よくあるのは、高2の高校生が式を相加相乗平均で下から押さえたあと、その値を無条件に最小値と呼ぶ場面です。不等式が保証するのは、それより小さくならないことです。実際にその値になる変数が、問題で許された範囲にあるとは限りません。等号の条件を解き、元の範囲へ戻すところまでを1組の作業にしましょう。

正の変数とその逆数を含む式を中心に、積が一定になる2項の選び方と、範囲が制限された場合の判断を扱います。等式や不等式の論証は数学IIの学習範囲に含まれます。微分を使わず、平方の符号と等号の成立から考えます。

要点（結論から）

• 相加相乗平均は、選んだ2項が非負であることを確認して使います。
• 正の変数と逆数の項は、積が一定になる組を探します。
• 等号の条件を解き、元の定義域に戻します。

問われ方と着目点

1つ目は、正の x に対して x + 定数/x の最小値を求める問いです。2項の積が正の定数になるため、そのまま相加相乗平均を使えます。下限を出したら、2項が等しい x を求め、正の範囲に入ることを確認します。

2つ目は、係数や定数が付いた式です。たとえば ax + b/x + c で a、b が正なら、ax と b/x を1組にします。積 ab は x によらず、c は最後に加えます。2項の係数が違っても、等号で等しくするのは x と 1/x ではなく、実際に選んだ ax と b/x です。

3つ目は x の範囲がさらに狭い問いです。一般の正の範囲で等号が成立しても、その x が指定範囲から外れることがあります。このとき先に得た数は指定範囲の値を下から押さえますが、その範囲の下限や最小値と一致するとは限りません。端点を含むかどうかで、最小値そのものが存在しないこともあります。

下限と達成を分ける

非負の2数 A、B について、相加相乗平均の関係は次のとおりです。

A + B ≥ 2√(AB)

等号は A = B のとき、かつそのときに限って成り立ちます。実際、√A と √B は実数なので、(√A − √B)² ≥ 0 です。展開すると A + B − 2√(AB) ≥ 0 となり、平方が 0 になる条件が √A = √B、すなわち A = B です。適用前に2項が非負かを調べます。負の項にこの形をそのまま使うことはできません。

図1のように、まず項の符号と積を見ます。次に等号の条件を解き、その解が元の定義域に入るかを調べます。対象となるどの値以下にもなる数を下界といい、下界のうち最大のものを下限といいます。一方、最小値は実際に取る値の中で最も小さい値です。下限が得られただけでは、後者の存在は決まりません。

図1の最後の確認で範囲外と判明したら、相加相乗平均で得た数に等しくなることはありません。指定範囲に合わせて式を下から押さえ直し、端点を含めて値の達成を調べます。逆数がある式では、最初から分母が 0 でないことにも注意します。

基本例題：係数を含む2項

正の実数 x に対し、2x + 18/x の最小値と、そのときの x を求めます。答えは整数で表します。

x > 0 なので、2x と 18/x はともに正です。積は (2x)(18/x) = 36 で一定ですから、相加相乗平均を使えます。

2x + 18/x ≥ 2√((2x)(18/x))
                 = 2√36
                 = 12

図2のように等号の条件は、選んだ2項を等しくすることです。x は正なので、両辺に x を掛けてから正の解を選びます。

2x = 18/x
2x² = 18
x² = 9
x = 3

x = 3 は指定された x > 0 を満たします。元の式に戻すと 2・3 + 18/3 = 6 + 6 = 12 です。したがって最小値は 12、そのとき x = 3 です。図2の2項は、実際にともに 6 になります。

ここで x² = 9 の負の解を残さない理由は、平方根の計算上の都合ではなく、元の条件が x > 0 だからです。逆に、等号の式だけを解いて元の式に戻さなければ、最小値がどの値かを取り違えることがあります。下からの評価と達成の確認を別々に書くと、どちらの根拠も読み取れます。

標準例題：範囲の端が最小を作る

実数 x が x ≥ 4 を満たすとき、x + 9/x の最小値と、そのときの x を求めます。答えは整数または既約分数で表します。

x ≥ 4 より x > 0 です。まず広い範囲 x > 0 での下限を調べます。

x + 9/x ≥ 2√(x・9/x)
               = 2√9
               = 6

等号には x = 9/x が必要です。これを解くと x² = 9、正の条件から x = 3 です。しかし 3 は x ≥ 4 に入りません。よって 6 は指定範囲で達成されず、このまま最小値とは言えません。

そこで端の x = 4 における値と比較します。x は正なので分母の符号を変えずに、差を因数分解できます。

x + 9/x - (4 + 9/4)
= x + 9/x - 25/4
= (4x² - 25x + 36)/(4x)
= (x - 4)(4x - 9)/(4x)

x ≥ 4 なら x − 4 ≥ 0、4x − 9 > 0、4x > 0 です。したがって差は 0 以上で、等号は x = 4 のとき成立します。元の範囲に 4 が含まれるので、最小値は 25/4、そのとき x = 4 です。代入すると 4 + 9/4 = 25/4 と戻ります。

相加相乗平均で得た 6 は間違いではありません。範囲内の値は確かに 6 以上ですが、達成しないため、その情報だけでは最も小さい値を決められないのです。端の値との差を調べる方法は、候補の端点が見えていて、その差を符号判定しやすい場合に役立ちます。

発展例題：端に近づくが到達しない

実数 x が x > 5 を満たすとき、x + 4/x に最小値が存在するか調べます。存在するなら値と x を整数または既約分数で示し、存在しなければ理由を述べます。

x > 5 なので x と 4/x は正です。積が 4 であることから、まず次の評価が得られます。

x + 4/x ≥ 2√(x・4/x)
               = 4

等号は x = 4/x、すなわち正の範囲では x = 2 のときです。これは x > 5 に入りません。4 は指定範囲での下界ですが、この範囲の下限ではありません。下限が29/5であることを、次に確かめます。

端の 5 を代入した式の値は 5 + 4/5 = 29/5 です。ただし x = 5 は範囲に含まれません。実際にすべての x > 5 でこの値より大きいことを調べます。

x + 4/x - 29/5
= (5x² - 29x + 20)/(5x)
= (x - 5)(5x - 4)/(5x)
> 0

分子の2因子と分母はいずれも正なので、不等号は厳密な > です。しかし、このことだけでは別の、もっと大きい最小値が存在しないとはまだ言えません。そこで範囲内の任意の x に対して、より小さい値を与える範囲内の数を作ります。

y = (x + 5)/2
5 < y < x
x + 4/x - (y + 4/y)
= (x - y) + 4(y - x)/(xy)
= (x - y)(xy - 4)/(xy)
> 0

x > y > 5 だから x − y > 0、xy − 4 > 0、xy > 0 です。どの x を選んでも、範囲内の y で元の式の値がさらに小さくなります。したがって最小値は存在しません。端を含める条件 x ≥ 5 なら x = 5 で 29/5 が最小値ですが、今回の条件ではその点を使えません。

29/5 が下限であることも確かめられます。正の整数 n に対し x = 5 + 1/n とすると、いずれも x > 5 です。上の差の式に代入すると、差は (1/n)(21 + 5/n)/(25 + 5/n) となり、n を大きくすると 0 にいくらでも近づきます。つまり 29/5 より大きい数を下限に選んでも、それより小さい式の値が範囲内にあります。下限に近づくことと、下限を取ることは別の事柄です。

誤答から条件を拾い直す

「x ≥ 4 のとき x + 9/x ≥ 6 だから、最小値は 6」という答えを考えます。評価式は正しいものの、等号に必要な x = 3 が範囲外です。図3のように、式を下から押さえる評価と、範囲内での達成を別の欄で確認します。

図3の範囲外という判定が、修正の出発点です。標準例題では x = 4 の値との差を調べ、25/4 を達成することを示しました。範囲に端点が含まれない発展例題では、端の値を代入して最小値にすることもできません。

別の誤りは、2x + 18/x の等号を x = 1/x とすることです。相加相乗平均で選んだ2数は 2x と 18/x なので、等号の式にも係数を残します。また、積が一定でない2項を選ぶと、右辺に x が残り、定数の下限を直ちに得られません。式の見た目ではなく、符号、積、等号の3点を順に確かめましょう。

練習：条件を最後まで使う

各問で最小値が存在するときはその値と、それを与える x を求めてください。存在しない場合はその理由を示します。答えは整数、既約分数または根号を用いて表します。いずれも x は実数です。

1. x > 0 のとき、3x + 27/x の最小値を求めます。
2. x > 0 のとき、x + 5/x + 2 の最小値を求めます。
3. x ≥ 3 のとき、x + 1/x の最小値を求めます。
4. x > 2 のとき、x + 1/x に最小値があるか調べます。
5. 0 < x ≤ 1 のとき、4x + 16/x の最小値を求めます。

練習の答えと道筋

1. 2項は正で、積は 81 です。

3x + 27/x ≥ 2√81 = 18
3x = 27/x
x² = 9
x = 3

x = 3 は正で、元の式は 9 + 9 = 18 です。最小値は 18、そのとき x = 3 です。

2. x と 5/x は正で、積は 5 です。

x + 5/x + 2 ≥ 2√5 + 2
x = 5/x
x² = 5
x = √5

√5 は正で、5/√5 = √5 です。元の式の値は 2√5 + 2 なので、最小値は 2√5 + 2、そのとき x = √5 です。

3. 広い範囲 x > 0 では x + 1/x ≥ 2 ですが、等号の x = 1 は範囲外です。端の値 10/3 との差を調べます。

x + 1/x - 10/3
= (3x² - 10x + 3)/(3x)
= (x - 3)(3x - 1)/(3x)
≥ 0

x ≥ 3 で分母は正、分子は非負です。x = 3 が範囲に入り、元の式は 3 + 1/3 = 10/3 です。最小値は 10/3、そのとき x = 3 です。

4. x > 2 では次のように端の値 5/2 より大きくなります。

x + 1/x - 5/2
= (2x² - 5x + 2)/(2x)
= (x - 2)(2x - 1)/(2x)
> 0

さらに任意の x > 2 に対し y = (x + 2)/2 と置けば、2 < y < x です。

x + 1/x - (y + 1/y)
= (x - y)(xy - 1)/(xy)
> 0

y も元の範囲にあり、より小さい値を与えるので最小値は存在しません。5/2 は端の x = 2 の値ですが、その x は許されません。

5. 正の範囲全体での相加相乗平均は 4x + 16/x ≥ 16 です。等号条件 4x = 16/x から x = 2 ですが、x ≤ 1 に入りません。範囲の右端の値 20 と比べます。

4x + 16/x - 20
= (4x² - 20x + 16)/x
= 4(x - 1)(x - 4)/x
≥ 0

0 < x ≤ 1 では、分母は正で、2つの因子 x − 1、x − 4 はともに 0 以下です。等号は x = 1 で成立し、元の式は 4 + 16 = 20 です。最小値は 20、そのとき x = 1 です。

要点

• 相加相乗平均は、選んだ2項が非負であることを確認して使います。
• 正の変数と逆数の項は、積が一定になる組を探します。
• 等号の条件を解き、元の定義域に戻します。
• 範囲外なら端との差を調べ、端を取れるかも確かめます。
• 下限に近づけても、達成しなければ最小値とは呼べません。

つまずきの見分け方

答案に「≥」の行はあるのに「等号は」の行がないときは、まず2項を指して、それぞれが何を表すか言葉にしてみてください。たとえば基本例題なら「2x と 18/x が等しい」と言えるかが手がかりです。係数を落とした場合は、その式から x を求め直し、2項の値が本当に一致するか確かめます。

個別に式を確認するときは、下限を書いた後で「その値になる x は範囲内ですか」と尋ね、範囲を数直線上に書いて照合すると原因を切り分けられます。端を含まない場合に端の値を答えたなら、その端が元の不等号を満たすか代入します。最小値を主張するには、どの値よりも小さくならない根拠と、その値を実際に取る根拠の両方が必要です。

範囲の端を候補に選ぶ際にも、端に近い数を1つ試すだけでは証明になりません。標準例題の差の分子は (x − 4)(4x − 9) であり、指定範囲のどの x についても両因子が非負になるため、まとめて比較できます。端点そのものが許されるかどうかも同じ行で確認します。

また、相加相乗平均の右辺が定数にならなかった場合は、選んだ項の積に変数が残っていないか調べます。例えば x と 9x を組にすると積は 9x² です。これは今回の逆数を含む和の最小値を直ちに押さえる組ではありません。項の係数と分母を含めて積を計算する習慣が、使える評価を選ぶ助けになります。