高校数学II 複素数の相等—実部と虚部を分け虚数単位の累乗を整理する｜武蔵野個別指導塾

虚部にiを含める誤りを直し、実数係数の比較やiの累乗周期を追うことで、複素数の相等の条件をつかめます。

よくあるのは、高2の高校生が 3 − 2i の虚部を -2i と答える場面です。式の中で i が付いた項には目が向いていますが、虚部として取り出すのは i に掛かる実数です。さらに i の高い累乗が混ざると、見た目のまま係数を比べることもあります。まず実数と i の係数に整理し、それぞれの役割を確かめましょう。

数学IIの式と証明・複素数と方程式には複素数の学習が含まれます。ここでは複素数平面を使わず、数の表し方と等式にしぼって考えます。

何を取り出す問題か

最初の型は、与えられた複素数の実部と虚部を答える問題です。たとえば 5 + 7i なら、実部は 5、虚部は 7 です。虚部に i を含めて 7i と答えると、実数であるはずの係数と項を取り違えています。符号も係数の一部なので、引き算で書かれた場合は特に注意します。

次の型は、実数の文字を含む複素数どうしが等しいという条件から、その文字を求める問題です。左右をそれぞれ実数部分と i の係数に整理し、対応する係数を等しくします。複素数の等式を、実数の連立方程式に移す作業です。

もう1つは、i の大きな累乗を含む式を整理してから比較する型です。指数を4で割った余りに着目すれば、何回も掛け続ける必要はありません。ただし余りを求めた後の符号を間違えると、後の連立方程式も別の問題になります。周期の確認と相等の判断を分けて進めます。

実数の組として読む

i は i² = -1 を満たす虚数単位です。a、b が実数のとき a + bi と表される数を複素数といい、a を実部、b を虚部といいます。実数 a も a + 0i と書けるので複素数です。また 0 + bi も同じ形です。虚部が 0 の場合でも、実部と虚部の両方を答える問いなら 0 を省かずに書きます。

図1のように、実部と虚部はそれぞれ実数の位置と i の係数に対応します。例えば -4 − 3i は -4 + (-3)i ですから、実部は -4、虚部は -3 です。-3i は虚部そのものではなく虚部に i を掛けた項です。

a、b、c、d が実数なら、a + bi = c + di が成り立つことと、a = c かつ b = d が成り立つことは同じです。この事実を複素数の相等といいます。逆に、2組の係数がそれぞれ等しければ、元の複素数も等しくなります。係数が実数であることが前提です。文字について「実数」と指定されているかを確認しないまま係数を比較すると、この規則を適用できません。

累乗は i² = -1 から順に調べます。

i¹ = i
i² = -1
i³ = i²・i = -i
i⁴ = i²・i² = 1

i⁴ = 1 なので、非負整数 n を n = 4q + r、0 ≦ r ≦ 3 と書くと、iⁿ = (i⁴) の q 乗・iʳ = iʳ です。r = 0、1、2、3 に対応する値は順に 1、i、-1、-i です。指数が0のときも i⁰ = 1 として同じ表に入ります。割り切れたときは余り4ではなく0を見ることが、周期を使う際の要点です。

基本例題：2組の係数を照合する

実数 x、y について、(2x − 1) + (y + 3)i = 7 − 2i を満たす x、y を求め、それぞれ整数で答えましょう。

図2のように、左辺の実数部分は 2x − 1、i の係数は y + 3 です。右辺の -2i は (-2)i なので、その虚部は -2 です。文字 x、y は実数と指定されているため、両辺の係数を比較できます。

2x - 1 = 7
y + 3 = -2
2x = 8
x = 4
y = -5

答えは x = 4、y = -5 です。元の左辺に戻すと、実数部分は 2・4 − 1 = 7、i の係数は -5 + 3 = -2 です。したがって左辺は 7 − 2i となり、右辺と一致します。比較して得た値を戻すことで、連立方程式の計算だけでなく、最初に対応させた係数も点検できます。

右辺に i が見えない場合は、例えば 6 を 6 + 0i と書きます。見えない項を無視するのではなく、虚部が0という条件を取り出します。左辺でも同じで、i の項がなければ係数は0です。数が負なら、その符号まで含めて比較します。

係数を比べる前の点検

実部と虚部は、式を a + bi の形に整理してから読みます。例えば実数 m、n について (m + ni) + (2 − 3i) は (m + 2) + (n − 3)i です。実数どうし、i の付く項どうしを集めた後なら、実部は m + 2、虚部は n − 3 と読めます。元の式の最初の項だけを見て実部を m と決めると、後から加えた2を落としてしまいます。

実部と虚部を両方答える問題では、片方が0でも記録します。例えば -5i = 0 + (-5)i の実部は0、虚部は -5 です。反対に 9 = 9 + 0i の虚部は0です。0を補う操作は値を変えませんが、相等の条件を2本とも書く助けになります。答えを a + bi に戻せるかで、取り出した位置と符号を再確認できます。

累乗の表を使うときは、指数を4で割った商と余りを一度書きます。例えば指数が大きくても、4の倍数の部分は i⁴ を繰り返し掛けた1に変わります。余りの部分だけを i⁰、i¹、i²、i³ のいずれかとして読むので、余りが0から3の範囲にあるかも点検できます。余りを計算することと値を表から選ぶことは別の操作です。どちらで間違えたかを確かめるため、途中の余りを省略しないようにします。

標準例題：累乗を先に整理する

実数 a、b が (a + 2) + (b − 1)i = 2i¹⁴ + 3i¹⁵ を満たすとき、a、b を整数で求めましょう。

14 を4で割ると商3、余り2です。15 を4で割ると商3、余り3です。よって、それぞれを対応する小さい累乗に直します。

i¹⁴ = (i⁴)³・i² = -1
i¹⁵ = (i⁴)³・i³ = -i
2i¹⁴ + 3i¹⁵ = 2・(-1) + 3・(-i)
                  = -2 - 3i

整理後の右辺の実部は -2、虚部は -3 です。実数である a、b を含む左辺と比較します。

a + 2 = -2
b - 1 = -3
a = -4
b = -2

答えは a = -4、b = -2 です。左辺に戻すと (-4 + 2) + (-2 − 1)i = -2 − 3i です。一方、元の右辺も周期から -2 − 3i なので、元の等式を満たします。

ここで指数14と15を足したり、係数2と3を指数に加えたりはしません。累乗の周期は各項に別々に適用します。i³ が -i になる根拠を i²・i = (-1)i と書けば、余り3を見て符号を取り違えた場合にも戻れます。高い指数を小さくする段階と、実部・虚部を集める段階を分けると、誤りの場所が見つけやすくなります。

発展例題：両辺に文字がある場合

実数 s、t について、(s + 2t) + (2s − t)i = (8 − s) + (t + 1)i を満たす s、t を分数または整数で求めましょう。

左右の実部と虚部を比較すると、実数の連立方程式が得られます。両辺に同じ文字が現れても、対応する係数を等しくする手順は変わりません。

s + 2t = 8 - s
2s - t = t + 1
2s + 2t = 8
2s - 2t = 1
4s = 9
s = 9/4
2・(9/4) + 2t = 8
2t = 7/2
t = 7/4

答えは s = 9/4、t = 7/4 です。2式を加えると t が消えるため、この順序を選びました。代入法でも同じ答えに至りますが、符号をそろえてから加えると計算が短くなります。

元の左辺の実部は 9/4 + 2・(7/4) = 23/4、虚部は 2・(9/4) − 7/4 = 11/4 です。右辺の実部は 8 − 9/4 = 23/4、虚部は 7/4 + 1 = 11/4 です。両辺とも 23/4 + (11/4)i となるため、元の条件を満たします。途中で得た値が分数でも、実数という条件には合っています。

係数比較で得た連立方程式は、元の等式と同値です。したがって連立方程式を解いて得た候補を戻せば、条件を満たすことを確認できます。比較前に式を誤って整理していないか、元の左右を別々に計算することも有効です。両辺を同じ誤った式に置き換えて確認すると、元の条件との食い違いを見逃すからです。

誤りを見つけて戻る場所

-4 − 3i の実部と虚部を問われ、「実部は -4、虚部は -3i」と答えたとします。実部の位置は合っていますが、虚部は -3 です。図3のように、-3i は項であり、その i の係数を取り出します。

原因は「虚数の項」と「虚部」という2つの言葉を同じものとして扱うことです。修正するときは、式を -4 + (-3)i と書き直し、a + bi の b に当たる実数を指で追います。虚部を聞かれた答えに i が残っていたら、まず係数を取り出せているか点検しましょう。

別の失敗として、i¹² を -1 とする場合があります。12 は4で割り切れ、i¹² = (i⁴)³ = 1 です。i² = -1 という事実は正しくても、すべての偶数乗が -1 になるわけではありません。偶数かどうかで止めず、4で割った余りまで調べます。

また、文字が実数と指定されていない等式で、見かけ上の係数を直ちに比較するのも危険です。例えば z = i とすると z + 0i = 0 + 1i ですが、z と 0 は等しくありません。z が複素数なら z 自身に i が含まれるためです。実数係数に整理できるかという前提に戻りましょう。

練習：条件を自分で分ける

次の5問を解きます。文字は指定されたものについて実数です。値は整数または分数で答え、累乗の問題では 1、-1、i、-i のいずれかで答えてください。

1. 8 − 6i の実部と虚部をそれぞれ求めてください。
2. i²³ の値を求めてください。
3. 実数 x、y が (x − 4) + (2y + 1)i = -3 + 9i を満たすとき、x、y を求めてください。
4. 実数 p、q が p + qi = 4i¹⁷ − 2i¹⁸ を満たすとき、p、q を求めてください。
5. 実数 u、v が (u + v) + (u − 2v)i = 5 + (v − 1)i を満たすとき、u、v を求めてください。

解答と確かめ

1. 8 − 6i = 8 + (-6)i です。実部は 8、虚部は -6 です。この2つから 8 + (-6)i を作ると、与えられた数に戻ります。-6i は虚部に i を掛けた項です。

2. 23 = 4・5 + 3 なので、i²³ = (i⁴)⁵・i³ = -i です。確かめると、i²⁰ = 1 に i³ = -i を掛けて元の指数23に戻ります。余りが3であることと負の符号を両方確認します。

3. 実部と虚部を比較します。

x - 4 = -3
2y + 1 = 9
x = 1
2y = 8
y = 4

答えは x = 1、y = 4 です。元の左辺は (1 − 4) + (2・4 + 1)i = -3 + 9i で、右辺と一致します。虚部の比較では 2y + 1 全体を9と置きます。

4. 17 = 4・4 + 1、18 = 4・4 + 2 です。したがって次のように整理します。

i¹⁷ = i
i¹⁸ = -1
4i¹⁷ - 2i¹⁸ = 4i - 2・(-1)
                   = 2 + 4i
p = 2
q = 4

答えを左辺に戻すと 2 + 4i です。元の右辺も 4i − 2・(-1) = 2 + 4i ですから、両辺が一致します。負の2に負の1を掛ける箇所を見落とさないようにします。

5. 左右で対応する係数を比較します。

u + v = 5
u - 2v = v - 1
u - 3v = -1
u = 3v - 1
3v - 1 + v = 5
4v = 6
v = 3/2
u = 7/2

答えは u = 7/2、v = 3/2 です。元の左辺の実部は 7/2 + 3/2 = 5、虚部は 7/2 − 2・(3/2) = 1/2 です。右辺の実部は 5、虚部は 3/2 − 1 = 1/2 です。元の両辺が 5 + (1/2)i になることまで確かめられます。

手元に残す要点

• a + bi の実部は実数 a、虚部は実数 b です。
• 実数係数の複素数どうしは、実部と虚部がそれぞれ等しいとき、またそのときに限り等しくなります。
• i の非負整数乗は指数を4で割った余りで整理します。
• 求めた文字を元の両辺に戻し、実部と虚部を照合します。

どこで止まったかを見分ける

答えに i が残るなら、虚部と虚数の項を区別できているかを確かめます。「虚部に i を掛けたら元の項に戻るか」と問い直すと、係数の符号も見直せます。累乗の段階で止まる場合は i、-1、-i、1 を i² = -1 から順に作り、指数を4で割った余りとの対応を確かめます。

連立方程式は解けるのに答えが合わない場合は、比較する前の左右の実部と虚部に印を付け、元の式に戻ります。個別指導で確認するなら、「右辺の虚部はいくつですか」「その文字を実数と扱える条件はどこですか」と尋ね、書かれた式と説明を照らし合わせます。対応する2つの実数をそろえれば、複素数の等式は実数の計算として追えます。