高校数学II 恒等式の係数比較—成り立つ範囲を確かめ未知の係数を決定する｜武蔵野個別指導塾

一つの代入では足りない理由を確認し、欠けた次数の係数比較と、求めた定数を元の式へ戻す手順を読み解きます。

よくあるのは、高2の高校生が文字に一つの数を代入して両辺が等しくなったので、元の等式を恒等式と決める場面です。その数で等しいことは確かですが、別の数では両辺が違うかもしれません。未知の係数を決める問題では、等式がどの範囲の文字について成り立つのかを先に読みます。展開して同じ次数を並べ、最後に元の式へ戻すところまでが答えです。

数学IIの式と証明に含まれる等式の論証のうち、ここでは一変数の整式の恒等式を扱います。分母に文字を含む式の条件や、特定の値を選んで係数を決める方法は中心にしません。

問いの形を見分ける

出方の一つは、両辺の整式がすべての実数 x について等しいという条件から、文字定数を求める形です。たとえば左辺に x²、右辺に x² と x があれば、右辺の x の係数は左辺の零と対応します。見えている項だけを比べると条件が一つ抜けます。

別の形では、括弧の積の中に未知の係数が入っています。このとき括弧のまま見かけの数を比べず、まず両辺を展開して同じ次数ごとに整理します。さらに、未知数の個数より比較で得られる条件が多い場合は、連立して求めた値が残りの条件も満たすかを確かめます。満たさなければ、その恒等式を成立させる値はありません。

一方、ある特定の x で等式が成り立つように x を求める問題は方程式です。例えば x + 2 = 5 は x = 3 で成り立ちますが、x = 0 では成り立ちません。等号が書いてあるだけでは恒等式とは決められないので、問題文の「すべての x について」という条件と、求める文字の役割を区別します。

同じ次数を対応させる理由

恒等式とは、文字に許される値を入れたとき常に成り立つ等式です。ここでは係数を実数とする x の整式を考え、x はすべての実数を動くものとします。A、B、C と P、Q、R が x によらない定数なら、

Ax² + Bx + C = Px² + Qx + R

が x について恒等式であることと、A = P、B = Q、C = R が同時に成り立つことは同値です。零の係数の項も含めて各次数をそろえる操作を、係数比較と呼びます。

図1のように、左辺と右辺で同じ次数の係数を結びます。定数項は x の零乗に対応する位置です。図1では左辺の x の項がないため、その係数を 0 として右辺の Q と比べます。

なぜ対応させられるのでしょうか。両辺の差を ax² + bx + c とし、これがすべての実数 x で 0 だとします。x = 0 を入れると c = 0、x = 1 と x = -1 を入れるとそれぞれ a + b = 0、a − b = 0 です。この2式を加減して a = 0、b = 0 となります。逆に3つの係数がすべて 0 なら差は常に 0 です。高い次数の整式でも、恒等的に等しい整式の各次数の係数は等しくなります。

ここで使った3つの代入は、係数比較が必要な理由を確かめるためのものです。一つの代入だけでは、複数の係数に対する条件を一般には決め切れません。また、係数を求める途中で得た等式は必要な条件です。求まった値を戻して両辺が同じ整式になることも示すと、条件を満たすことまで確認できます。

係数を比べる前には、文字定数が x に依存しないことも確認します。例えば A が x によって変わるなら、Ax² を固定された係数 A の二次の項として扱うことはできません。また、両辺を整理した結果、ある次数が両方とも欠けていれば、その列の条件は 0 = 0 です。この条件は常に成り立ちますが、片方だけが欠けている場合には他方の係数を 0 にする必要があります。整理の順序を守れば、この二つを取り違えずに済みます。

基本例題：展開して3列に並べる

実数 a、b について、次の等式が x の恒等式となるように a、b を求めてください。求めた a、b は整数の値で記してください。

(x + 2)(ax + b) = 3x² + 7x + 2

左辺を分配法則で展開し、次数の高い順にまとめます。

(x + 2)(ax + b)
= ax² + bx + 2ax + 2b
= ax² + (b + 2a)x + 2b

図2のように、x²、x、定数の順に係数を照合します。図2の各列は、整理後の左辺と問題の右辺に対応しています。

恒等式であるための条件は次の3つです。

x² の係数：a = 3
x の係数：b + 2a = 7
定数項：2b = 2

最後の式から b = 1 です。a = 3、b = 1 を一次の条件に入れると 1 + 2・3 = 7 となり、残った条件も満たします。未知数は2個でも係数の条件は3個あるので、2個の式で求めた後に残りを捨てないことが重要です。

逆に、a = 3、b = 1 を元の左辺に戻すと、

(x + 2)(3x + 1)
= 3x² + x + 6x + 2
= 3x² + 7x + 2

となり、任意の実数 x で右辺と一致します。したがって答えは a = 3、b = 1 です。これは数値を一つ入れた確認ではなく、元の式の両辺が同じ整式になった確認です。

標準例題：欠けた項も条件にする

実数 p、q、r について、次が x の恒等式となるように p、q、r を整数で求めてください。

(px + q)(x - 1) + r = 2x² + 5

右辺には一次の項がありません。右辺を 2x² + 0x + 5 と見る準備をしてから、左辺を整理します。

(px + q)(x - 1) + r
= px² - px + qx - q + r
= px² + (q - p)x + (r - q)

各次数の係数を比較すると、次の連立条件が得られます。

p = 2
q - p = 0
r - q = 5

順に代入して求めます。

p = 2
q = p = 2
r = 5 + q = 7

元の左辺に戻し、問題の右辺になるか確かめます。

(2x + 2)(x - 1) + 7
= 2x² - 2x + 2x - 2 + 7
= 2x² + 5

よって p = 2、q = 2、r = 7 です。一次の係数を 0 と置いたことが、正の一次項と負の一次項が打ち消し合う条件を表しています。項が書かれていないことと、その次数を比べなくてよいことは違います。

別の見方として、右辺を先に左辺へ移し、差が零の整式になる条件を考えても同じです。ただし移項の際は右辺の各項の符号を変えます。両辺に同じ次数が多い場合は、列に分けて左右を直接比べるほうが符号を追いやすくなります。

発展例題：条件が両立しない場合

実数 u、v について、次の等式が x の恒等式となるような組 (u, v) をすべて求めてください。存在する場合は整数で表します。

(x + 1)(ux + v) = 2x² + 5x + 4

まず左辺を展開します。

(x + 1)(ux + v)
= ux² + vx + ux + v
= ux² + (u + v)x + v

係数比較から、3つの条件が必要です。

u = 2
u + v = 5
v = 4

最初と最後を使うと u = 2、v = 4 です。ところが、この組を中央に戻すと u + v = 6 となり、必要な値 5 に一致しません。したがって条件は両立せず、求める組は存在しません。

実際に候補を元の左辺へ戻すと、

(x + 1)(2x + 4)
= 2x² + 6x + 4

となります。右辺とは x の係数が異なります。例えば x = 0 では両辺とも 4 ですが、x = 1 では左辺が 12、右辺が 11 です。一つの値で等しくても恒等式とは言えないことが、ここでも見えます。

また、u = 2 と u + v = 5 から v = 3 と決める選び方でも、残る定数項の条件 v = 4 に反します。どの2条件から出発しても、残りを調べれば矛盾を発見できます。逆に条件が両立した場合は、その値を元の式に戻して恒等的に一致することを示します。存在しない場合にも、どの条件が食い違ったかを書けば判断の根拠が伝わります。

誤答を直す：一度の一致と恒等式

次のような判断を考えます。

「x = 1 のとき x² + 1 と 2x はどちらも 2 だから、x² + 1 = 2x は恒等式である。」

図3のように、一つの値で一致することは、その値が等式を満たすことを示すにとどまります。図3の下段の値では両辺が異なるため、恒等式という結論は成り立ちません。

原因は「ある値で成り立つ」と「すべての値で成り立つ」を取り違えたことです。元の両辺を移項すると、

x² + 1 - 2x = (x - 1)²

です。x = 1 なら差は 0 ですが、x = 0 なら差は 1 です。よって恒等式ではなく、この等式を方程式として解くと実数解は x = 1 です。

係数比較を使う場合も同じ注意が必要です。方程式の解を求める場面で両辺の係数がすべて等しいと置くと、解を失うことがあります。反対に恒等式の問題で一つの x だけを代入すると、必要な条件が足りません。最初に、x が動く文字なのか、求める値なのかを問題文の余白に書いておくと区別しやすくなります。

練習：条件を式に直す

次の文字係数は実数です。各等式について x はすべての実数を動くものとします。求める値がある場合は整数で答えてください。

1. ax + b = 4x − 3 が恒等式となる a、b を求めてください。
2. (x − 3)(cx + d) = 2x² − 7x + 3 が恒等式となる c、d を求めてください。
3. ex² + (f − 2)x + 6 = 5x² + 6 が恒等式となる e、f を求めてください。
4. (x + 2)(gx + h) = x² + 4x + 5 が恒等式となる組 (g, h) をすべて求めてください。
5. k(x + 1)² + l(x − 1) = 2x² + 7x − 1 が恒等式となる k、l を求めてください。

練習の答えと確かめ

1. 一次と定数の係数をそれぞれ比べると a = 4、b = -3 です。戻すと左辺は 4x − 3 となり、問題の右辺そのものです。係数を左右逆に置いても、等しいという条件は同じです。

2. 左辺を展開します。

(x - 3)(cx + d)
= cx² + dx - 3cx - 3d
= cx² + (d - 3c)x - 3d

係数比較より c = 2、d − 3c = -7、-3d = 3 です。定数の条件から d = -1 で、一次の条件も -1 − 6 = -7 と満たします。元に戻すと、

(x - 3)(2x - 1)
= 2x² - x - 6x + 3
= 2x² - 7x + 3

となるので、c = 2、d = -1 です。

3. 一次の項が右辺にないことに注意します。

e = 5
f - 2 = 0
6 = 6

よって e = 5、f = 2 です。元の左辺は 5x² + (2 − 2)x + 6 = 5x² + 6 となり、右辺に一致します。定数項の条件は常に成立するため、新しい未知数の条件は生みません。

4. 左辺を整理すると次の形です。

(x + 2)(gx + h)
= gx² + (h + 2g)x + 2h

係数比較では g = 1、h + 2g = 4、2h = 5 です。最初の2条件から h = 2 ですが、これでは 2h = 4 となり、最後の条件を満たしません。したがって組は存在しません。候補を元に戻した (x + 2)(x + 2) は x² + 4x + 4 で、指定された定数項 5 に届きません。

5. 平方を先に展開してから、同じ次数をまとめます。

k(x + 1)² + l(x - 1)
= k(x² + 2x + 1) + lx - l
= kx² + (2k + l)x + (k - l)

係数比較より k = 2、2k + l = 7、k − l = -1 です。最初の2式から l = 3、最後の式も 2 − 3 = -1 です。元に戻すと、

2(x + 1)² + 3(x - 1)
= 2x² + 4x + 2 + 3x - 3
= 2x² + 7x - 1

となります。答えは k = 2、l = 3 です。

手元に残す要点

• 恒等式では、指定された範囲のどの値でも等式が成り立ちます。
• 両辺を整式に整理し、欠けた次数には係数 0 を補います。
• 同じ次数の係数を比べ、得られた条件をすべて調べます。
• 求めた係数を元の式へ戻し、両辺の整式が一致することを示します。
• 条件が矛盾するときは、成立する係数の組はありません。

つまずきが見えたとき

途中で手が止まったら、まず「x は一つの値を探す文字か、動いても等式が成り立つ文字か」と声に出して確認します。次に展開後の式を次数順に書き、左右の x²、x、定数の欄を指で対応させます。一次の欄が空いていたら、そこへ 0 を書いてから連立条件に移ります。

個別指導で説明するなら、「この式は x = 1 だけでなく、別の値でも成り立ちますか」「最後に使わなかった係数の条件は何ですか」と問い、書いた式と発言を照らします。候補が出た後は、元の括弧に戻して展開し、問題の右辺へ到達するかを確かめます。一つの一致から全体の一致へ飛ばず、条件を一列ずつ確かめれば、係数決定の根拠が残ります。