高校数学II 分数式の加減—共通分母と括弧を保ち分子の符号を整理する｜武蔵野個別指導塾

因数分解で共通分母を作り、引く分子の括弧と除外値を残す手順を例題でたどり、符号の誤りを防ぐ分数式の加減です。

よくあるのは、高2の高校生が分数式の分子を引くとき、先頭の項にだけ負号を付け、後ろの符号を変え忘れるという場面です。通分までは合っているのに、その後の1行で答えが変わってしまいます。分子全体をひとまとまりとして扱い、元の分母が零になる値も控えておけば、どこを点検すればよいか見えてきます。ここでは分数式の加減と、それに必要な因数分解を扱います。

数学IIでは分数式が学習範囲に含まれます。数の分数で使った通分を文字の式へ広げますが、文字には分母を零にする値がある点に注意します。

問題の姿を先に見る

1つ目は、異なる一次式を分母にもつ2つの分数式を足し引きする型です。分母の積を共通分母にし、各分子に不足する因子を掛けます。引き算なら、通分後の右側の分子を括弧ごと引くことが要点です。

2つ目は、分母に二次式があり、因数分解してから通分する型です。展開したまま分母どうしを掛けることもできますが、共通する因子が見えにくくなります。先に因数を比べると、必要な因子を重ねずに共通分母を作れます。

3つ目は、通分後の分子が分母と共通因子をもち、さらに約分できる型です。短い式に直しても、元の式で分母が零だった値は使えません。加減の結果と、その結果が元の式と一致する範囲を一組で答えます。

共通分母を作る前に残す条件

分数式は整式を整式で割った形の式です。分母が零になる値では、その分数式は定義されません。複数の分数式を加減するときは、元のどの分母も零でないことが必要です。例えば分母が x − 2 と x + 3 なら、x ≠ 2、x ≠ -3 を最初に書きます。

通分は分子と分母に同じ零でない式を掛け、値を変えずに分母をそろえる操作です。元の条件の下で追加する因子も零でないことを確かめます。共通分母ができたら、足す場合は分子どうしを足し、引く場合は後ろの分子全体を引きます。

図1のように、条件の記録、因数の比較、分子の括弧という順に進めます。特に除外値は、最後に見える分母からだけ決めるものではありません。

図1の最初の箱に戻れば、途中で因子が消えても元の条件を確認できます。共通分母には、各分母に現れる因子を必要な最大の個数ずつ含めます。例えば一方に同じ因子が2個、他方に1個あれば、共通分母には2個必要です。

なお、分母が x − 2 と 2 − x の場合は、後者が前者の負の式です。別の因子とみなして積を作る前に、2 − x = -(x − 2) と直すと符号を管理しやすくなります。符号を直した分だけ分数式全体の符号も変えることが必要です。

基本例題：引く分子を一度包む

次の式を1つの分数式に直し、元の式で許されない x の値も答えてください。

(2x + 1)/(x - 1) - (x - 3)/(x + 2)

元の分母より、x ≠ 1、x ≠ -2 です。共通分母を (x − 1)(x + 2) とすると、左の分子には x + 2、右の分子には x − 1 を掛けます。この条件では両因子とも零ではありません。

図2のように、引く側に掛けた積を括弧で囲んでから展開します。途中の負号は右側の積全体に作用します。

図2の対応を式に書くと、次のとおりです。

(2x + 1)/(x - 1) - (x - 3)/(x + 2)
= {(2x + 1)(x + 2) - (x - 3)(x - 1)}/{(x - 1)(x + 2)}
= {(2x² + 5x + 2) - (x² - 4x + 3)}/{(x - 1)(x + 2)}
= (2x² + 5x + 2 - x² + 4x - 3)/{(x - 1)(x + 2)}
= (x² + 9x - 1)/{(x - 1)(x + 2)}

答えは最後の式、条件は x ≠ 1、x ≠ -2 です。分子の -4x を引くため、展開後は +4x になります。符号を暗算せず、積の展開と括弧を外す行を分けると、この変化を追えます。

確かめとして x = 0 を元の式に入れると、-1 − (-3/2) = 1/2 です。答えに入れても (-1)/(-2) = 1/2 です。これは計算の点検には役立ちますが、1つの値が合うことだけで式全体の一致を証明したことにはなりません。上の通分と展開の各行が、許された値で等しいことが根拠です。

標準例題：共通因子を重ねず通分する

次の式を既約な1つの分数式に直し、元の式で許されない x の値を答えてください。

(x + 1)/(x² - 4) + 2/(x² + x - 2)

まず元の分母を因数分解します。

x² - 4 = (x - 2)(x + 2)
x² + x - 2 = (x + 2)(x - 1)

したがって x ≠ 2、x ≠ -2、x ≠ 1 です。共通する x + 2 は1個で足ります。共通分母を (x − 2)(x + 2)(x − 1) として、各分子に不足分を掛けます。

(x + 1)/(x² - 4) + 2/(x² + x - 2)
= {(x + 1)(x - 1) + 2(x - 2)}/{(x - 2)(x + 2)(x - 1)}
= (x² - 1 + 2x - 4)/{(x - 2)(x + 2)(x - 1)}
= (x² + 2x - 5)/{(x - 2)(x + 2)(x - 1)}

分子に x = 2、-2、1 を順に代入すると 3、-5、-2 なので、分母の一次因子は分子の因子ではありません。これ以上の約分はなく、答えは最後の式と上の3つの除外値です。

元の2つの分母をそのまま掛けても共通分母にはなります。ただし共通因子 x + 2 が余分に1個入り、その後の分子にも同じ因子が現れます。小さい共通分母を選ぶと展開する量が減り、約分し忘れも避けやすくなります。どちらの方法でも元の除外値は同じです。

x = 0 で元の式は -1/4 − 1 = -5/4、答えも (-5)/4 = -5/4 です。元の分母が零にならない値で点検することに意味があります。除外値を代入して一致を試すことはできません。

発展例題：消えた因子の値を戻さない

次の式を既約な1つの分数式に直し、元の式で許されない x の値を答えてください。

(x + 3)/(x² - 9) - 1/(x + 3)

元の分母を先に調べます。

x² - 9 = (x - 3)(x + 3)

よって x ≠ 3、x ≠ -3 です。共通分母を (x − 3)(x + 3) として、右の分子に x − 3 を掛けます。

(x + 3)/(x² - 9) - 1/(x + 3)
= {(x + 3) - (x - 3)}/{(x - 3)(x + 3)}
= (x + 3 - x + 3)/{(x - 3)(x + 3)}
= 6/{(x - 3)(x + 3)}

答えは 6/(x² − 9)、条件は x ≠ 3、x ≠ -3 です。先に左の分数式を約分して 1/(x − 3) としても、元の条件を残せば同じ結果になります。この例では最後の分子は定数ですが、途中で左の分子と分母の x + 3 が消えるので、-3 を忘れないようにします。

別の見方では、左を約分してから、異なる2つの一次式を共通分母にそろえます。ただし約分は x + 3 ≠ 0 の範囲で行う操作です。約分された式には x = -3 を代入できても、元の左の分数式には代入できません。変形後の式の定義域が広がることと、元の式の値を求められる範囲とは区別します。

x = 0 では元の式が -1/3 − 1/3 = -2/3、答えも 6/(-9) = -2/3 です。また、引く側の分子が1であっても、通分後には x − 3 という2項の式になるため、括弧が必要です。もとの見た目が短い場合ほど、通分後の分子を確認します。

誤答の分岐点を探す

基本例題で、次のように括弧を外すと誤りです。

(2x² + 5x + 2) - (x² - 4x + 3)
= 2x² + 5x + 2 - x² - 4x + 3

引く分子の先頭の x² にだけ負号を付け、残りの項をそのまま写したことが原因です。括弧の前のマイナスは、括弧の中の各項に掛かります。図3のように、3項それぞれの符号を変えてから同類項をまとめます。

図3の修正を式にすると次のようになります。

-(x² - 4x + 3)
= -x² + 4x - 3

誤った行では、例えば x = 0 とすると左辺が -1、右辺が 5 となり、一致しません。各項に符号を配った修正後は -1 に戻ります。具体的な値で異常を見つけたら、その値だけを直すのではなく、括弧を外した行へ戻って原因を調べます。

もう1つの誤りは、分母どうしと分子どうしをそれぞれ足すことです。たとえば 1/2 + 1/3 は 2/5 ではなく 5/6 です。分数式でも同様に、先に同じ大きさの分母へそろえてから分子を加減します。分母が同じになった後も、分母を足さずにそのまま保ちます。

手を動かす5問

いずれも式を既約な1つの分数式に直し、元の式で許されない x の値を答えてください。問題を解いた後、元の分母と答えの分母を比べて条件を見直します。

1. 1/(x − 4) + 2/(x + 1)
2. (x + 2)/(x + 4) − (x − 1)/(x − 2)
3. 3/(x² − 1) + 1/(x − 1)
4. (x − 5)/(x² − 25) + 1/(x − 5)
5. 1/(2 − x) − 2/(x + 2)

5問の答えと道筋

1

x ≠ 4、x ≠ -1 です。異なる一次因子を共通分母に含めます。

1/(x - 4) + 2/(x + 1)
= {(x + 1) + 2(x - 4)}/{(x - 4)(x + 1)}
= (3x - 7)/{(x - 4)(x + 1)}

分子は x = 4、-1 で零にならないので約分できません。答えに x = 0 を入れると 7/4 で、元の -1/4 + 2 と一致します。

2

x ≠ -4、x ≠ 2 です。引く積をまとめてから符号を変えます。

(x + 2)/(x + 4) - (x - 1)/(x - 2)
= {(x + 2)(x - 2) - (x - 1)(x + 4)}/{(x + 4)(x - 2)}
= {(x² - 4) - (x² + 3x - 4)}/{(x + 4)(x - 2)}
= -3x/{(x + 4)(x - 2)}

分母の因子は分子と共通しません。x = 1 では元の式は 3/5、答えも -3/(-5) = 3/5 です。

3

x² − 1 = (x − 1)(x + 1) より、x ≠ 1、x ≠ -1 です。後ろの分子に x + 1 を掛けます。

3/(x² - 1) + 1/(x - 1)
= {3 + (x + 1)}/{(x - 1)(x + 1)}
= (x + 4)/{(x - 1)(x + 1)}

分子は x = 1、-1 で零にならないので既約です。x = 0 では元の -3 − 1 と答えの -4 が一致します。

4

x² − 25 = (x − 5)(x + 5) なので、x ≠ 5、x ≠ -5 です。先に約分しても、この2つの値は除きます。

(x - 5)/(x² - 25) + 1/(x - 5)
= 1/(x + 5) + 1/(x - 5)
= {(x - 5) + (x + 5)}/{(x + 5)(x - 5)}
= 2x/(x² - 25)

答えに x = 0 を入れると 0 で、元の 1/5 − 1/5 と一致します。分子 2x と分母に共通因子はありません。

5

元の分母から x ≠ 2、x ≠ -2 です。2 − x の符号をそろえてから通分します。

1/(2 - x) - 2/(x + 2)
= -1/(x - 2) - 2/(x + 2)
= {-(x + 2) - 2(x - 2)}/{(x - 2)(x + 2)}
= (-x - 2 - 2x + 4)/(x² - 4)
= (2 - 3x)/(x² - 4)

分子は除外値のどちらでも零にならず、既約です。x = 0 では元の 1/2 − 1 = -1/2 と、答えの 2/(-4) が一致します。分母の向きを直すとき、分数式全体に負号が付くことを押さえます。

最後に残す3点

元の分母が零となる値を最初に除きます。 因数分解して不足する因子を分子に掛けます。 引く分子は括弧で包み、各項の符号を変えます。

どの行で止まっているか

通分後に手が止まるなら、各分母から共通分母まで何を掛けたかを指でたどり、同じ因子を分子に書けるか確かめます。分母がそろっているのに答えが違うなら、引く分子を指して「どこからどこまで引くか」と声に出し、括弧を外す前後の各項を対応させます。

個別指導で確かめる際にも、完成した答えだけでなく、除外値を決めた元の分母と、符号を変えた行を示して説明すると、計算の分岐点が明確になります。短くした式に代入できる値と、元の式で許される値を区別できれば、通分後の式も条件とともに扱えます。括弧と除外値が、分数式の加減を支えます。