高校数学C パレート図の作り方—度数の順と累積割合から着目する項目を選ぶ｜武蔵野個別指導塾

度数を並べ替え、同数やその他を扱いながら、固定した分母で累積割合を読む手がかりはパレート図です。

よくあるのは、理系の高3が分類表から累積割合を計算するとき、途中までの度数を分母にも使ってしまう場面です。2項目までの合計を2項目までの合計で割れば、そこで100%になります。しかし、図が示したいのは調べた全体のうち、左から何項目でどれほどを占めるかです。分母を固定すると、項目を加えるたびに変わる量と、最後まで変わらない量が見えてきます。

何を比べ、どこで区切るか

パレート図の作り方を問う問題には、度数表から棒と累積割合の折れ線を作る型があります。また、完成した図から、指定された割合に初めて達するまでの項目を選ぶ型もあります。もう一つは、同数の項目や「その他」をどこに置くかという表示の決まりを読み、別の並べ方と比較する型です。

まず、各記録が互いに重ならない項目のどれか一つに分類されているか確認します。対象期間と数える単位も必要です。1件が複数の項目に入る集計では、度数の合計は件数と一致しないことがあるため、その合計を何の全体と呼ぶかを明示します。ここでは各記録を一つに分類し、集めた記録の件数を分母にします。例題の数字は説明用に作ったものです。例題で割合を整数の%で答える場合は、百分率の小数第1位を四捨五入します。

この図は、どの項目の件数が多く、上位を合わせると全体のどれくらいかを示します。棒が高いことだけで原因や対策の効果は決まりません。着目する項目を選ぶ際は、図の割合に加えて、項目の内容や調べた範囲も確かめます。

棒と折れ線が持つ別々の単位

度数は各項目に入った件数です。累積度数は、並べた左端からその項目までの度数を足した値です。累積割合は、累積度数を全項目の度数の合計で割った値です。百分率で表すときは、その商を100倍します。合計が0件なら割合の分母が0になるため、累積割合は計算できません。

図1のように、棒は個々の度数を左軸の件数で読み、折れ線の点はそこまでの累積割合を右軸の%で読みます。横軸の同じ項目に対応していても、棒の高さと折れ線の高さは違う量です。左右の目盛りの単位を混ぜず、右軸は0%から100%まで示します。

図1では、左から度数が4件、3件、1件です。合計は8件で、累積割合は順に50%、87.5%、100%です。棒を降順にすると件数の大きい項目が左に集まり、左からまとめた割合を追いやすくなります。折れ線の各点はその項目まで含んだ値なので、点と項目の対応をずらさないようにします。

同数の項目は互いの順を入れ替えても降順です。ただし、同数の途中で区切ると選ばれる項目は順序によって変わります。名前順などの規則を先に決め、どの規則を使ったか示します。「その他」は小さい項目をまとめた箱であり、個々の項目とは粒度が異なります。問題で最後に置くと指定されたら、その度数が直前の棒より大きくても最後に置き、厳密な降順の例外であることを明記します。中身が大きければ細分することも検討します。

基本例題：図書室の記録を並べる

架空の図書室で、1週間に届いた資料整理の依頼を1件につき主な内容一つで分類しました。分類と件数は、配架12件、ラベル8件、補修6件、確認4件です。各項目の累積度数と累積割合を求め、割合は整数の%で答えてください。また、累積割合が初めて75%以上になるまでの項目を答えてください。

まず、件数はすでに大きい順です。分母となる全件数を先に求めます。

12 + 8 + 6 + 4 = 30 件

次に、左から前の累積度数へ次の件数を加えます。

配架まで                 12 件
ラベルまで       12 + 8 = 20 件
補修まで          20 + 6 = 26 件
確認まで          26 + 4 = 30 件

どの行も30件を分母にして、百分率を求めます。割り切れない値は最後に四捨五入して整数にします。

配架まで       12/30 × 100 = 40 %
ラベルまで     20/30 × 100 = 66.6… % → 67 %
補修まで       26/30 × 100 = 86.6… % → 87 %
確認まで       30/30 × 100 = 100 %

判定には丸める前の値を使います。20/30は75%未満、26/30は75%以上です。したがって配架、ラベル、補修の3項目です。75%はこの問題で指定した境界であり、常にこの割合を使うという規則ではありません。

図2のように、4本の棒の高さはそれぞれ12、8、6、4件です。折れ線の点は順に40%、約67%、約87%、100%に置きます。最後の点が100%に達するのは、30件を分子と分母の両方に使うためです。表の4件を足し直して30件に戻ることと、最後の累積度数が30件であることを別々に確認します。

標準例題：同数の境界を読む

架空の展示準備で、用具の不足を1件ずつ記録しました。紙9件、留め具6件、箱6件、札3件です。同数の項目は問題文の記載順に並べます。累積割合を整数の%で示し、75%以上に初めて達するまでの項目を答えてください。その後、同数の2項目の順を入れ替えると、選ばれる項目がどう変わるかも答えてください。

合計と累積度数を順に計算します。

9 + 6 + 6 + 3 = 24 件
9 件
9 + 6 = 15 件
15 + 6 = 21 件
21 + 3 = 24 件

分母を24件に固定し、最後に四捨五入します。

9/24 × 100 = 37.5 % → 38 %
15/24 × 100 = 62.5 % → 63 %
21/24 × 100 = 87.5 % → 88 %
24/24 × 100 = 100 %

75%に相当するのは24 × 75/100 = 18件です。2項目では15件、3項目では21件なので、紙、留め具、箱を選びます。箱と留め具を入れ替えても3項目まで必要で、選ばれる集合は同じです。

一方、境界が50%なら、最初の9件は12件に届かず、次の6件を加えると15件です。このときは2項目で止まるので、同数のどちらを先に置いたかによって選ばれる2番目の項目が変わります。どちらか一方が実質的に重要だと図だけで決めず、同数の両方を候補にして確認する読み方もあります。元の内訳9、6、6、3を足せば24件で、最終割合の分母と一致します。

発展例題：「その他」の位置と内訳

架空の工作室で、貸出用具の不備を主な種類ごとに1件ずつ分類しました。刃の緩み14件、目盛りのかすれ10件、持ち手の傷6件、その他10件です。その他は3種類の小分類を合わせたもので、内訳は5件、3件、2件です。その他を最後に置く決まりで累積割合を小数第1位まで求め、70%以上に初めて達するまでの項目を答えてください。次に、その他を内訳に分けて全項目を降順にしたとき、同じ境界まで何項目必要か答えてください。

まず、まとめた表の合計を求めます。その他の10件を小分類と重ねて数えないことが条件です。

14 + 10 + 6 + 10 = 40 件
14/40 × 100 = 35.0 %
(14 + 10)/40 × 100 = 60.0 %
(14 + 10 + 6)/40 × 100 = 75.0 %
(14 + 10 + 6 + 10)/40 × 100 = 100.0 %

その他を最後にするため、棒の順は14、10、6、10件です。最後の棒が一つ前より高く、全体としては厳密な降順ではありません。70%に相当するのは28件なので、最初の2項目の24件では不足し、3項目の30件で到達します。答えは刃の緩み、目盛りのかすれ、持ち手の傷です。

内訳を分けた表では、度数を14、10、6、5、3、2件の順に並べます。合計は次のとおり変わりません。

14 + 10 + 6 + 5 + 3 + 2 = 40 件
14 + 10 = 24 件
24 + 6 = 30 件

こちらも3項目で28件に達します。最後の3項目は元のその他の10件に戻るので、記録を二重に数えていません。ただし、この一致はこの数値での結果です。その他の内訳や境界が変われば、必要な項目数も変わりえます。まとめ方を変えた図を比べるときは、棒の数だけでなく分類の単位も記録します。

誤答を直す：途中の合計を分母にしない

基本例題の2項目目で「12 + 8 = 20件だから、20/20 × 100 = 100%」とする答えを考えます。足し算は正しいものの、分母に2項目までの件数を置いたため、全体30件に対する割合を表していません。残る補修6件と確認4件が、分母から消えています。

図3のように、分子は20件へ増えても、分母は最初に求めた30件のままです。正しくは20/30 × 100 = 66.6…%で、整数なら67%です。30件から20件を引くと10件残り、その内訳6 + 4とも一致します。残りがあるのに100%と出たら、何を分母にしたかを見直せます。

逆に、最後が100%になっただけでは正解と限りません。分類を一つ落として分母もその合計にしていれば、最後はやはり100%です。元の記録の総数、表の度数の和、最後の累積度数を照合します。丸めた割合を足して累積割合を作る方法も、丸めの誤差を持ち込みます。整数の累積度数から毎回割合を計算し、表示の段階で丸めます。

練習問題

いずれも各記録を一つの項目に分類した自作の集計です。割合は指定がなければ小数第1位を四捨五入して整数の%で答え、境界の判定は丸める前の値で行います。

1. 架空の温室の点検記録は、水やり7件、換気5件、清掃3件、道具1件です。降順の累積度数と累積割合を求めてください。
2. 架空の料理会の準備記録は、食器11件、材料7件、机4件、掲示2件です。累積割合が70%以上に初めて達するまでの項目を答え、対応する累積度数も件数で答えてください。
3. 架空の園芸作業の記録は、苗8件、土4件、鉢4件、札4件です。同数は記載順に並べます。累積割合が60%以上に初めて達するまでの項目を答え、土と鉢の順を入れ替えた場合の答えも示してください。
4. 架空の映像制作の修正記録は、音声9件、字幕6件、色4件、その他5件です。その他は最後に置きます。累積割合を求め、棒が全体として降順か答えてください。
5. 架空の配布物の点検記録は、印刷6件、折り5件、封入3件、宛名2件です。折りまでの累積割合を11/11 × 100 = 100%とした答えの誤りを説明し、正しい割合を求めてください。

練習問題の解答と解き方

1. 合計は7 + 5 + 3 + 1 = 16件です。累積度数は7、12、15、16件です。元の4項目の和と最後の16件が一致します。

7/16 × 100 = 43.75 % → 44 %
12/16 × 100 = 75 %
15/16 × 100 = 93.75 % → 94 %
16/16 × 100 = 100 %

2. 合計は11 + 7 + 4 + 2 = 24件です。70%に相当するのは24 × 70/100 = 16.8件です。食器までの11件では届かず、食器と材料で11 + 7 = 18件となり、初めて達します。残りの4 + 2 = 6件と18件を合わせれば24件です。

3. 合計は8 + 4 + 4 + 4 = 20件で、60%に相当するのは12件です。苗8件では不足し、苗と土で8 + 4 = 12件です。入れ替え後は苗と鉢が答えです。土、鉢、札は同数なので、表示順によって境界上の項目が変わります。残りの2項目もそれぞれ4件で、合計は20件に戻ります。

4. 合計は9 + 6 + 4 + 5 = 24件です。累積度数は9、15、19、24件なので、累積割合は順に38%、63%、79%、100%です。最後の5件は直前の4件より大きいため、全体として降順ではありません。その他を最後に置くという指定を図に添えます。各項目の和は最後の24件に一致します。

5. 全体は6 + 5 + 3 + 2 = 16件です。11件は印刷と折りの累積度数であり、全体ではありません。正しくは11/16 × 100 = 68.75%なので69%です。残りは3 + 2 = 5件で、11 + 5 = 16件と元の全体に戻ります。

覚えておくこと

• 棒は度数、折れ線は全体に対する累積割合を示します。
• 全件数を先に求め、累積割合の分母を固定します。
• 同数の順序とその他の置き方を明示します。
• 最終累積度数と元の件数を照合し、判定は丸める前に行います。

つまずきを見分けるには

生徒の計算記録では、分母を書いた行を追うと、各項目の度数、途中の累積度数、全体の件数のどれを使ったかがわかります。棒の順番が誤っている場合は、元の表の項目名と数字を組にして並べ替えたか確認します。数字だけを移すと、正しい高さの棒でも別の項目を指してしまいます。

個別指導では、2項目目の分子と分母をそれぞれ何件と読むか、生徒自身に元の分類表を指して説明してもらいます。同数の位置やその他の内訳も表に戻り、図から選んだ項目が条件どおりか確かめます。パレート図は、数えた範囲と分類の仕方を明らかにしてこそ、次に調べる対象を選ぶ手がかりになります。