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高校数学B 正規分布の逆算—割合から標準化した端点を読み元の境界値へ戻す｜武蔵野個別指導塾
上側の割合から中心までの面積を取り出し、境界値や平均の逆算を解く。
よくあるのは、高2が測定値の上位の割合を見て、その数を正規分布表の中心からの面積として探す場面です。表には中心から右側の端点までの面積が載っていて、上位の割合は端点より右の面積です。どちらも曲線の下の面積ですが、場所が違います。境界を先に決めて確率を求める計算を逆向きにたどり、割合から境界を決める道筋を整理します。
どの量を戻すか
出方の1つ目は、平均と標準偏差が与えられ、上側や下側の一定割合を分ける境界を求める型です。上側なら右端の裾、下側なら左端の裾を描きます。標準正規分布表の数値を直接探す前に、その表の面積に直します。
2つ目は、境界と割合から平均または標準偏差を求める型です。端点の標準化の式に未知数を残して解きます。特に標準偏差は正ですから、求めた値が負や0になる場合は条件と両立しません。
3つ目は、2つの境界とそれぞれの割合から平均と標準偏差の両方を決める型です。標準化後の2つの端点の位置関係を使って連立します。割合の違いをそのまま元の測定値の差とみなすことはできません。
面積から端点へ
確率変数 X が平均 m、標準偏差 σ の正規分布 N(m, σ²) に従い、σ > 0 とします。このとき Z = (X − m)/σ は標準正規分布 N(0, 1) に従います。標準化は平均を0、標準偏差を1にそろえる変換です。σ が正なので大小の向きは変わりません。
図1のように、右側の裾の面積を q とすると、0から正の端点 z までの面積は 0.5 − q です。左右対称なので、左側の裾が q なら端点は -z です。z を読んだ後は x = m + σz に戻します。左側なら符号を含めて x = m + σ(-z) とします。
図1の曲線全体の面積は1で、中心より右の面積は0.5です。ここで使う表は P(0 ≦ Z ≦ z) を4桁の小数で示すものです。表の1.0行と0.00列には0.3413、2.0行と0.00列には0.4772があります。この2つの表値を使い、面積の入力も表の丸めに合わせます。表値が丸められているため、逆算した端点や元の境界も表の精度での近似です。
例えば、右の裾が0.1587なら中心からの面積は 0.5 − 0.1587 = 0.3413 です。表から z = 1.00 と読みます。右の裾が0.0228なら中心からの面積は0.4772で、z = 2.00です。左の裾については、それぞれ -1.00、-2.00へ反転します。
入力された割合が表の値に対応しないとき、表にない端点を勝手に作ってはいけません。また、右の裾が0.5より大きいなら境界は中心より左です。先に中心より小さい側を描き、面積を分け直します。裾が0や1という条件では有限の境界は得られません。
基本例題：上側の割合から境界を求める
ある装置の測定値 X は平均120、標準偏差8の正規分布に従います。測定値が境界 a 以上となる割合を、表の精度で0.1587とします。a を求め、測定値の単位で答えてください。
図2のように、求めたいのは右側の裾の左端です。中心を120として a がその右側にあることを先に確認します。正規分布は連続型なので、境界そのものの確率は0であり、以上か超えるかの違いは面積に影響しません。
Z = (X − 120)/8 とおくと標準正規分布に従います。右半分の面積から裾を除くので、
P(0 ≦ Z ≦ (a - 120)/8) = 0.5 - 0.1587
= 0.3413表の1.0行と0.00列から、端点は1.00です。したがって、
(a - 120)/8 = 1.00
a - 120 = 8
a = 128答えは約128です。最後に128を元の条件へ戻します。標準化すると (128 − 120)/8 = 1 で、右の裾は 0.5 − 0.3413 = 0.1587 です。元の割合に戻り、128は平均より右にあります。表の値が近似なので、境界も表の精度での値です。
標準例題：平均を逆算する
ある部品の長さ X は標準偏差3 mm、平均 m mmの正規分布に従います。長さが21 mm以下となる割合を、表の精度で0.0228とします。平均 m を mmで求めてください。
0.0228は0.5より小さい左の裾なので、21は平均より左にあります。中心から対称な右側の端点までの面積は、
0.5 - 0.0228 = 0.4772表の2.0行と0.00列より、右側の端点は2.00です。左側なので標準化した端点は -2.00です。Z = (X − m)/3 として、
(21 - m)/3 = -2.00
21 - m = -6
m = 27答えは約27 mmです。代入すると (21 − 27)/3 = -2 です。左の裾は対称性から右の2より外側と同じで、0.5 − 0.4772 = 0.0228に戻ります。21が27より小さいという位置関係も合います。
もし右側の端点の符号をそのまま使うと m = 15 になります。しかし、そのとき21は平均より右です。21以下の割合は0.5より大きくなるため、問題の小さい左裾と矛盾します。計算後の位置確認は符号の間違いを見つける手がかりです。
発展例題：2つの境界から平均と標準偏差を求める
ある材料の測定値 X は平均 m、標準偏差 σ の正規分布に従い、σ > 0 とします。X が14以下の割合は表の精度で0.1587、26以上の割合は表の精度で0.0228です。m と σ を測定値の単位で求めてください。
14以下は左裾0.1587です。中心からの面積は 0.5 − 0.1587 = 0.3413 なので、14の標準化した値は -1.00です。26以上は右裾0.0228です。中心からの面積は 0.5 − 0.0228 = 0.4772 なので、26の標準化した値は2.00です。
Z = (X − m)/σ にそれぞれ代入し、σ > 0 を用いて両辺にσを掛けます。
(14 - m)/σ = -1
14 - m = -σ
m = 14 + σ
(26 - m)/σ = 2
26 - m = 2σ
m = 26 - 2σ両方とも同じ平均を表すので等しくおきます。
14 + σ = 26 - 2σ
3σ = 12
σ = 4
m = 14 + 4 = 18答えは平均約18、標準偏差約4です。σは正で条件に合います。14を戻すと (14 − 18)/4 = -1、26を戻すと (26 − 18)/4 = 2 です。対応する裾は順に0.1587、0.0228で、与えられた2つの割合に戻ります。境界間の差12も、標準偏差3個分である 3・4 = 12 と一致します。
2つの式からσが負になる場合、計算の符号か境界と割合の組を点検します。両方正しく写しても負になるなら、σ > 0 の正規分布という条件と両立しません。2つの条件が同じ式になれば未知数を一意には決められず、別の条件が必要です。
誤答を直す：裾を表の面積と混ぜない
基本例題で「上側が0.1587だから、表の中から0.1587を探せばよい」とする答案を考えます。誤りの原因は、右端の裾と0から端点までの面積を同じ場所に置いたことです。表は後者を示します。
図3のように、まず右半分を0.5として、その中から裾を除きます。0.5 − 0.1587 = 0.3413 を表で探せば、1.00が得られます。元の尺度に戻して初めて境界128になります。図3で区切られた2つの部分を合わせると0.5に戻ることも確かめてください。
別の誤りは、表から1を読んだ後に a = 1 とすることです。1は標準化後の値で、測定値の単位ではありません。a = 120 + 8・1 = 128 と戻します。左裾の問題で -1 を使うべきところに1を入れる誤りも、境界が平均のどちら側かを確認すれば見分けられます。
分散が与えられる場合は平方根を取り、正の標準偏差を使います。たとえば分散が9なら標準偏差は3で、9をそのまま掛けると元の幅が3倍になります。負の標準偏差を選ぶこともできません。条件に正規分布がない場合は、平均と標準偏差だけで同じ裾の割合を決められないため、この表を適用しません。
割合が50%に等しいときは、左右対称なので境界は平均そのものです。この場合、中心からの面積は0で、符号を無理に正か負に決める必要はありません。また、百分率を使った条件では、例えば15.87%を0.1587に直してから0.5と引き算します。単位をそろえずに 50 − 0.1587 と計算すると、違う尺度の数を混ぜることになります。割合を小数に直した後、塗った部分と計算結果を照らし合わせます。
練習問題
各問で正規分布表の P(0 ≦ Z ≦ 1.00) ≒ 0.3413、P(0 ≦ Z ≦ 2.00) ≒ 0.4772 を用い、割合と答えは表の精度で扱います。答えは指定された単位で求めてください。
- ある容器の容量 X は平均70 mL、標準偏差5 mLの正規分布に従います。X が a mL以上となる割合が0.0228のとき、a を求めてください。
- ある工程の所要時間 X は平均40秒、分散16秒²の正規分布に従います。X が b 秒以下となる割合が0.1587のとき、b を求めてください。
- ある紙の厚さ X は平均 m mm、標準偏差2 mmの正規分布に従います。X が18 mm以上となる割合が0.1587のとき、m を求めてください。
- ある線材の長さ X は平均50 cm、標準偏差 σ cmの正規分布に従います。X が42 cm以下となる割合が0.0228のとき、σ を求めてください。
- ある試料の量 X は平均 m g、標準偏差 σ gの正規分布に従い、σ > 0 とします。X が24 g以下となる割合が0.0228、36 g以上となる割合が0.1587です。m と σ を求めてください。
練習の答えと解き方
- 右裾が0.0228です。中心からの面積は 0.5 − 0.0228 = 0.4772 なので端点は2です。
(a - 70)/5 = 2
a - 70 = 10
a = 80答えは約80 mLです。80を戻すと標準化した値は2で、右裾は 0.5 − 0.4772 = 0.0228 です。
- 分散16秒²の正の平方根は4秒で、標準偏差は4秒です。左裾0.1587に対応する端点は -1 です。
(b - 40)/4 = -1
b - 40 = -4
b = 36答えは約36秒です。36は平均より左で、標準化すると -1 です。左裾は 0.5 − 0.3413 = 0.1587 に戻ります。
- 右裾0.1587に対応する端点は1です。18を標準化して平均を解きます。
(18 - m)/2 = 1
18 - m = 2
m = 16答えは約16 mmです。18は平均より2 mm右で、標準偏差1個分です。対応する右裾は0.1587となります。
- 左裾0.0228に対応する端点は -2 です。標準偏差は正という条件を使います。
(42 - 50)/σ = -2
-8 = -2σ
σ = 4答えは約4 cmです。42は50より8 cm左で、標準偏差の2個分です。標準化した値は -2 となり、左裾0.0228に戻ります。
- 左裾0.0228の端点は -2、右裾0.1587の端点は1です。2つの境界をそれぞれ標準化します。
(24 - m)/σ = -2
24 - m = -2σ
m = 24 + 2σ
(36 - m)/σ = 1
36 - m = σ
m = 36 - σ同じ m を表すので等しくおきます。
24 + 2σ = 36 - σ
3σ = 12
σ = 4
m = 36 - 4 = 32答えは平均約32 g、標準偏差約4 gです。σ > 0 を満たします。24と36を戻すと標準化した値は順に -2、1です。左裾0.0228と右裾0.1587という両方の条件に戻ります。
覚えておくこと
- 裾の割合を、表が示す中心からの面積に直します。
- 端点が平均の左右どちらにあるかで符号を決めます。
- 元の境界は x = m + σz に戻し、元の割合で検算します。
- 標準偏差は正で、表の丸めによる近似を区別します。
つまずきの見分け方
まず曲線の中心、境界、指定された割合の位置を描いてもらいます。面積を正しく塗れても表の値を探す段階で迷うなら、右半分が0.5であることから引き算を確認します。左裾を描けているのに正の端点を使う場合は、標準化後の0と端点の左右関係を一緒に見直します。
個別指導では、求めた境界を (x − m)/σ に代入し、表を順方向に読んで元の割合に戻るかを確かめます。未知の標準偏差を求めた答案では、正であることと、元の単位が分散の単位ではないことも確認します。面積の場所と尺度を往復できれば、正規分布の逆算は筋道を持って解けます。
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