高校数学C 行列の積のまとまり—三段階の数量のつながりから計算順を工夫する｜武蔵野個別指導塾

セット数、品目数、材料量をつなぎ、括弧の移動と順序の交換を数量の内訳から区別する鍵は積のまとまりです。

よくあるのは、理系の高3が行列の積の括弧を外すとき、因子の順番も変えてよいと考える場面です。実数なら積の順番を変えても同じなので、その感覚で式を動かしたくなります。しかし数量の表は、左から右へ分類をつなぐ向きを持っています。括弧を動かす操作と、表の順序を入れ替える操作を分けて考えましょう。

どのまとまりから計算するか

問題の出方は主に3つあります。第1は、3つの表が与えられ、左の2つを先に掛けた場合と右の2つを先に掛けた場合を比較するものです。途中の表の意味が違っていても、最後の分類が同じなら同じ数量を表せます。第2は、似た数量表の和を含む積を分け、別々の集計を足すものです。第3は、式の変形が正しいかを、行列の型や具体的な成分から判定するものです。

計算の前提として、行と列の分類の名前、並び、単位を固定します。たとえば同じ2列でも、一方が赤、青の順、他方が青、赤の順なら、成分の位置をそろえる必要があります。型が合うだけで数量の意味まで合うとは限りません。和を取る表は型と分類の順序をそろえ、積を取る表は左の列と右の行が同じ分類、同じ順序であることを確かめます。

表をつなぐ場所と括弧

行列の積では、左の行列の列数と右の行列の行数が一致するときに計算できます。左が m 行 n 列、右が n 行 p 列なら、積は m 行 p 列です。積の各成分は、左の行と右の列の対応する成分を掛けて足します。数量表では、消える内側の分類ごとに内訳を作って足すことに対応します。

図1のように、場所からセット、セットから品目、品目から材料へと3つの表をつなぎます。行列を順に A、B、C とすると、A は場所別のセット数、B はセット当たりの品目数、C は品目当たりの材料数を表します。左側の AB は場所別の品目数で、右側の BC はセット当たりの材料数です。どちらを先に作っても、最後は場所別の材料数に着地します。

図1の分類の順序は、場所、セット、品目、材料です。(AB)C と A(BC) はこの順を保ったまま、先に処理する境界を変えています。これが結合法則 (AB)C = A(BC) です。積が定義される型なら成り立ち、A と B の位置を交換する法則ではありません。

なぜ同じになるのでしょう。ある場所とある材料を固定すると、材料の個数は、セットの種類と品目の種類の組ごとの「セット数・セット当たり品目数・品目当たり材料数」を足したものです。先に品目ごとにまとめても、セットごとにまとめても、同じ組の内訳を一度ずつ足します。有限個の数の和では、足す順を変えても合計は変わりません。これが数量の場面での結合法則の理由です。

また、型と分類が合う B、D に対して A(B + D) = AB + AD、(B + D)C = BC + DC です。これが分配法則です。和の両方の項に同じ側から掛け、因子の順を保ちます。足す対象が異なる条件の数量なら、重複して数えていないかも確認します。

基本例題：セットから材料へ

2つの会場 P、Q で、セット X、Y を用意します。X と Y に入れる品目をノート、カードの順とし、それぞれの品目に使う紙と留め具を数えます。次の A は行が P、Q、列が X、Y で単位はセット、B は行が X、Y、列がノート、カードで単位は個/セット、C は行がノート、カード、列が紙、留め具で単位は枚/個、個/個です。紙と留め具は別の列として扱います。

A = [ 2  1 ]    B = [ 1  2 ]    C = [ 3  1 ]
    [ 1  2 ]        [ 2  1 ]        [ 1  2 ]

各会場に必要な紙の枚数と留め具の個数を、(AB)C と A(BC) の両方で求め、整数で答えてください。材料の使用数は自作の条件で、品目を作る際の余りは考えません。

図2のように、まず AB を作ると会場別の品目数になります。各成分を行と列の積和で求めます。

AB = [ 2・1 + 1・2  2・2 + 1・1 ]
     [ 1・1 + 2・2  1・2 + 2・1 ]
   = [ 4  5 ]
     [ 5  4 ]
(AB)C = [ 4・3 + 5・1  4・1 + 5・2 ]
        [ 5・3 + 4・1  5・1 + 4・2 ]
      = [ 17  14 ]
        [ 19  13 ]

一方、BC を先に求めると、X と Y の各セットに必要な材料数になります。

BC = [ 1・3 + 2・1  1・1 + 2・2 ]
     [ 2・3 + 1・1  2・1 + 1・2 ]
   = [ 5  5 ]
     [ 7  4 ]
A(BC) = [ 2・5 + 1・7  2・5 + 1・4 ]
        [ 1・5 + 2・7  1・5 + 2・4 ]
      = [ 17  14 ]
        [ 19  13 ]

答えは P が紙17枚、留め具14個、Q が紙19枚、留め具13個です。どちらの積も 2 行 2 列で、行は会場、列は材料です。図2のセットから品目への対応をたどると、P のノートは 2・1 + 1・2 = 4 個、カードは 2・2 + 1・1 = 5 個です。紙は 4・3 + 5・1 = 17 枚で、行列の左上成分に戻ります。留め具は 4・1 + 5・2 = 14 個です。Q もノート5個、カード4個なので、紙19枚、留め具13個と直接集計できます。

AB の成分を材料数と読んでしまうと、単位が個であることを見落とします。BC の左上の 5 は X が使う紙の枚数で、会場全体の枚数ではありません。途中の表の行と列を言葉で書けば、どこで集計を終えたかを追えます。

標準例題：追加分を分ける

2つの教室 R、S に、箱 A、B を配ります。午前の箱数を D、午後の追加箱数を E とし、箱当たりの鉛筆と消しゴムの数を F とします。D、E の行は R、S、列は A、B で単位は箱、F の行は A、B、列は鉛筆、消しゴムで単位は個/箱です。午前と午後の箱は別に配ったものです。

D = [ 1  2 ]    E = [ 2  0 ]    F = [ 2  1 ]
    [ 3  1 ]        [ 1  2 ]        [ 1  3 ]

各教室に配った品物の合計を、(D + E)F と DF + EF の両方で求め、個数を整数で答えてください。

D + E = [ 1 + 2  2 + 0 ]
        [ 3 + 1  1 + 2 ]
      = [ 3  2 ]
        [ 4  3 ]
(D + E)F = [ 3・2 + 2・1  3・1 + 2・3 ]
           [ 4・2 + 3・1  4・1 + 3・3 ]
         = [ 8   9 ]
           [ 11  13 ]

別々に集計すると、午前と午後それぞれの品物数が残ります。

DF = [ 1・2 + 2・1  1・1 + 2・3 ]
     [ 3・2 + 1・1  3・1 + 1・3 ]
   = [ 4  7 ]
     [ 7  6 ]
EF = [ 2・2 + 0・1  2・1 + 0・3 ]
     [ 1・2 + 2・1  1・1 + 2・3 ]
   = [ 4  2 ]
     [ 4  7 ]
DF + EF = [ 4 + 4  7 + 2 ]
          [ 7 + 4  6 + 7 ]
        = [ 8   9 ]
          [ 11  13 ]

R は箱 A が3箱、箱 B が2箱なので、鉛筆は 3・2 + 2・1 = 8 個、消しゴムは 3・1 + 2・3 = 9 個です。S は箱 A が4箱、箱 B が3箱なので、それぞれ 11 個と13個です。これが答えで、元の箱数から直接集計しても一致します。

分配する利点は、午前と午後を分けて確認できることです。一方、合計だけ必要なら先に箱数を足してから計算する方法もあります。E が追加ではなく、午前の箱に含まれる再掲の数なら足すと二重計上です。式の正しさと、式が場面に合っていることは別々に確認します。

発展例題：型と順番を選ぶ

ある作業で、A は 1 行 2 列、B は 2 行 3 列、C は 3 行 1 列です。A の列と B の行は部品 X、Y の順、B の列と C の行は材料 U、V、W の順とします。A は1組当たりの部品数、B は部品1個当たりの材料数、C は材料1個当たりの質量を表します。質量の単位は g です。

A = [ 2  1 ]
B = [ 1  0  2 ]
    [ 0  3  1 ]
C = [ 2 ]
    [ 1 ]
    [ 4 ]

1組に必要な材料の質量を整数の g で求めてください。また、二通りのまとまりのうち、積和に必要な掛け算の回数が少ない方を選んでください。回数は零との掛け算も1回と数えます。

AB = [ 2・1 + 1・0  2・0 + 1・3  2・2 + 1・1 ]
   = [ 2  3  5 ]
(AB)C = [ 2・2 + 3・1 + 5・4 ]
      = [ 27 ]
BC = [ 1・2 + 0・1 + 2・4 ]
     [ 0・2 + 3・1 + 1・4 ]
   = [ 10 ]
     [ 7  ]
A(BC) = [ 2・10 + 1・7 ]
      = [ 27 ]

答えは27 gです。AB は材料 U、V、W の個数が順に2個、3個、5個であることを示します。元の質量を掛け直すと 2・2 + 3・1 + 5・4 = 27 g です。部品側からも、X 1個が10 g、Y 1個が7 g なので、2個と1個で27 gと戻せます。

(AB)C の掛け算は AB に6回、最後に3回の計9回です。A(BC) は BC に6回、最後に2回の計8回です。この数え方では後者が少なくなります。ただし、材料別の個数も必要なら AB を先に求める価値があります。計算回数だけでなく、途中結果として何が必要かを選択の条件にします。

型を見ると、AB は 1 行 3 列、BC は 2 行 1 列で、どちらも最後は 1 行 1 列です。BA は 2 行 3 列と 1 行 2 列の積なので内側の 3 と 1 が合わず、定義されません。括弧の移動で並べ替えが許されたわけではないことが、この例でも見えます。型が合わない式に無理に値を与えず、何を表そうとしていたかに戻ることが修正の出発点です。

誤答を直す：括弧の移動と交換

次のような答案を考えます。「(AB)C = A(CB)。括弧を右へ移したので、右の2つを逆にした」。図3のように、右へまとまりを移すときも、表の並び A、B、C はそのままです。正しくは (AB)C = A(BC) です。

原因は、実数の積で使える交換法則を、結合法則と一緒に使っていることです。3つの行列が同じ型の正方行列なら、CB も計算できることがあります。しかし計算できることと、BC と等しいことは別です。次の小さな表で比べます。

B = [ 1  1 ]    C = [ 1  0 ]
    [ 0  1 ]        [ 0  2 ]
BC = [ 1・1 + 1・0  1・0 + 1・2 ]
     [ 0・1 + 1・0  0・0 + 1・2 ]
   = [ 1  2 ]
     [ 0  2 ]
CB = [ 1・1 + 0・0  1・1 + 0・1 ]
     [ 0・1 + 2・0  0・1 + 2・1 ]
   = [ 1  1 ]
     [ 0  2 ]

右上成分が違うので BC と CB は等しくありません。したがって、型がそろうという検査だけで交換の正しさは保証されません。直すには、まず文字を A、B、C の順に並べてから括弧だけを書き換えます。次に左の列と右の行を照合し、出力の行と列の意味を確認します。数が合わない場合は積和を1成分ずつ展開し、さらに元の品目ごとの内訳に戻します。

分配でも同様です。A(B + D) を AB + DA とすると、後半だけ順序が変わっています。正しくは AB + AD です。DA が型の上では定義できる場合でも、AD と一致するとは限りません。和の両項に左から A を掛ける、と言葉にしてから式にすると、方向を保ちやすくなります。

練習問題

以下はそれぞれ独立した自作の条件です。答えは指定された形で求めてください。表の行と列の並びは、各問題に書かれた順とします。

1. 行列 G = [ 3 1 ]、H は行が2つ、列が1つで上から 2、4、J = [ 5 ] とします。(GH)J と G(HJ) をそれぞれ計算し、1行1列の行列で答えてください。
2. 行列 K = [ 1 3 ]、L = [ 2 1 ]、M = [ 4 2 ] とします。いずれも 1 行 2 列で、N は 2 行 1 列、上から 2、3 です。(K + L)N と KN + LN を計算し、1行1列の行列で答えてください。M は使いません。
3. 行列 P は 2 行 3 列、Q は 3 行 4 列、R は 4 行 2 列です。PQ、QR、(PQ)R の型を答え、QP が定義できるか判定してください。
4. 2種類の袋 X、Y に、シールとしおりを入れます。X には順に2枚と1枚、Y には1枚と3枚です。会場 T は X を3袋、Y を2袋受け取ります。シール1枚には台紙を2枚、しおり1枚には台紙を1枚使います。必要な台紙の枚数を、袋ごとと品目ごとの両方から計算し、整数で答えてください。
5. 行列 U、V、W はいずれも 2 行 2 列で、U は対角成分が1、残りが0、V は上段が 1、2、下段が 0、1、W は上段が 2、0、下段が 0、1 です。U(VW) と U(WV) を求め、両者が等しいか答えてください。

練習問題の解答と解き方

1. G の列数と H の行数は2で、GH は 1 行 1 列です。両方の式を順に計算します。

GH = [ 3・2 + 1・4 ]
   = [ 10 ]
(GH)J = [ 10・5 ]
      = [ 50 ]
HJ = [ 2・5 ]
     [ 4・5 ]
   = [ 10 ]
     [ 20 ]
G(HJ) = [ 3・10 + 1・20 ]
      = [ 50 ]

答えはともに [ 50 ] です。元の積和を展開すると 3・2・5 + 1・4・5 = 50 で、2つの内訳に戻ります。途中の HJ は 2 行 1 列で、GH の 1 行 1 列とは型も意味も異なります。

2. K と L を先に足し、N を右から掛けます。

K + L = [ 1 + 2  3 + 1 ]
      = [ 3  4 ]
(K + L)N = [ 3・2 + 4・3 ]
         = [ 18 ]
KN = [ 1・2 + 3・3 ]
   = [ 11 ]
LN = [ 2・2 + 1・3 ]
   = [ 7 ]
KN + LN = [ 11 + 7 ]
        = [ 18 ]

答えはともに [ 18 ] です。分類ごとの内訳は 3・2 = 6 と 4・3 = 12 で合計18です。M は条件にあるものの和には含まれないので、足しません。与えられた表を使い切ることより、式が指定する表を選ぶことが先です。

3. PQ は 2 行 4 列、QR は 3 行 2 列、(PQ)R は 2 行 2 列です。QP では Q の列数4と P の行数2が異なるので定義できません。外側の数を見て答える前に、掛け合わせる境界の数を照合します。P(QR) も 2 行 2 列となり、結合法則の両側の型が合います。

4. 品目ごとなら、シールは 3・2 + 2・1 = 8 枚、しおりは 3・1 + 2・3 = 9 枚です。台紙は 8・2 + 9・1 = 25 枚です。袋ごとなら X は 2・2 + 1・1 = 5 枚、Y は 1・2 + 3・1 = 5 枚の台紙を使うので、3・5 + 2・5 = 25 枚です。答えは25枚で、元の袋数と品目数の両方から確認できます。

5. まず積の順序を保って計算します。

VW = [ 1・2 + 2・0  1・0 + 2・1 ]
     [ 0・2 + 1・0  0・0 + 1・1 ]
   = [ 2  2 ]
     [ 0  1 ]
WV = [ 2・1 + 0・0  2・2 + 0・1 ]
     [ 0・1 + 1・0  0・2 + 1・1 ]
   = [ 2  4 ]
     [ 0  1 ]
U(VW) = [ 2  2 ]
        [ 0  1 ]
U(WV) = [ 2  4 ]
        [ 0  1 ]

U を左から掛けても各行はそのままです。右上の 2 と 4 が異なるので、答えの2つの行列は等しくありません。U を加えた式に戻しても、順序を交換した差は消えていません。

覚えておくこと

結合法則では因子の順序を保ち、括弧の位置を変えます。
分配法則では各項に同じ側から掛けます。
積の内側の分類と順序、和の分類と順序をそろえます。
途中の行列の行・列・単位を言葉にします。
結果を元の数量の内訳に戻して確かめます。

つまずきを見分けるには

途中式の記録で、各行列の脇に書いた行と列の名前を見ます。名前が消えた箇所で順序が入れ替わっていれば、括弧を動かす操作を分類の図に戻して説明してもらいます。型は正しくても値が違う場合は、右上など1成分の積和を品目別に書き出し、掛ける相手と足す範囲を確認します。

個別指導では、正答の有無に加え、先に作った中間表を何の数量と読んだか、単位をどう付けたかを確認します。分配の答案なら、各項の左右どちらに因子を置いたかと、追加分を重複なく足したかをたどります。分類を保ってまとまりを選ぶと、式の変形は数量の流れとして読めます。